Full text of "Theorie Des Potentials Und Der Kugelfunktionen II Band"

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CARNEGIE INSTITUTE 
OF TECHNOLOGY 




THE LIBRAEY 



Sammlung Schubert L!EXL 

Theorie 

des Potentials und der 
Kugelfunktionen 



Von 

Dr. A. Wangerin 

Professor an der Universitat Halle a. S. 



IL Band 

Mit 17 Figuren 




Berlin tmd Leipzig 
Vcrcinigung wissenschaftlicher Verlegcr 

Walter de Gruyter & Co. 
vonnafe G.J.Gfochen'sche Vei u 

f- GorgKeimer KarlJ. 7 ] 

1921 



Alle Bechte, auch das der TTbersetzung, vorbehalten. 



Draek YOU a G. Roger G-, m.b.L, Leipidg. 813020L 



Tnh altsyerzeichnis. 



L Abschnitt. Seite 

Die wiehtigsten Eigenscliaften der Kugelfunktionen. 

EL a p. l. Transformation des Laplaceschen Differen- 
tialausdmcks auf beliebige orthogonale Ko- 
ordinaten ................... 1 

Kap. 2. Die einfache Kugelfunktion erster Art ... 8 

a) Definition der Kugelfunktion P,(#) .......... 8 

b) Analytischer Ausdruck fur Pn(x) ........... 11 

c) Entwicklung von Pn (cos &) nacn Kosinus der Viel- 
fachen von -8- .................... 13 

d) Das Liaplacesehe Integral ............. . 15 

e) Werte von Pn (cos #) fur sehr grofie Werte des Index n 19 

f) Darstellung von Pn (#) als Diflferentialqiiotient. Wurzeln 
der G-Ieiclmng P n (a;) = ............... - 22 

g) Die Integralsatze der Kugelfunktionen ........ 26 

n) Anwendung*n der Integralsatze. Bekursionsformeln fur 

die JJCugelfunktionen ................. 28 

Kap. 8* Die Differentialgleichung der Kugelfunk- 

tionen und die Kugelfunktion zweiter Art . 84 

a) P n (a?) genugt einer linearen DifEerentialgleichttng zweiter 
Ordnung. Doppelte Ableitung dieser Gleichung .... 34 

b) Das allgemeine Integral der Differentaalgleichung der 
Kugelfunktionen. Die Kugelfunktion zweiter Art ... 38 

c) Andere Darstellung der Kugelfunktion zweiter Art 



d) Folgerungen aus der Integraldarstellung von 
Rekursionsf ornaeln fur Qn (as) . . .......... , . , 45 

e) Die DiSerentialgleichung der Kugelfunktionep. fftr dlen '; 
' ITalL daB der Parameter n keine ganze ZaM ifft . . . . 4& ' 

" f ' ' ' iWr !f^i ' ' 

CARNEGIE INSTITUTE 



IV Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

Kap. 4* JDie zugeordneten Kugelfunktionen 53 

a) Definition der zugeordneten Kugelfunktionen ..... 53 

b) Die zugeordneten Kugelfunktionen zweiter Art .... 55 

c) Die Differentialgleichung der zugeordneten Kugel- 
funktionen. Bekursionsformeln fur diese Funktionen . 56 

d) Integralsatze fur die Zugeordneten erster Art .... 59 

e) Die Different ialgleichung der Zugeordneten fur v>n 

(v Nebenindex) 62 

Kap. 5. Die Kugelfunktionen mit zwei Verander- 

lichen 65 

a) Das Additionstheorem der Kugelfunktionen 65 

b) Die Kugelfunktionen nut zwei Veranderlicnen oder die 
allgemeinen Kugelfunktionen 71 

c) Integralsatze der allgemeinen Kugelfunktionen .... 76 

Kap. 6. Entwicklung naclx Kugelfunktionen .... 81 

a) Form der Entwicklung. G-ultigkeit derselben fur ganze 
Punktionen von cos 5-, sin # cos <p , sin&sin$p .... 81 

b) AUgememe Bedingungen fur die Gultigkeit der Ent- 
wicklung nach Kugelfunktionen 85 

c) Anwendung auf die Entwicklung einer Funktion einer 
Veranderlichen nach einfachen Kugelfunktionen ... 94 



EC. Abschuitt. 

DiePotentialaufgaben fur die Kngel. Elektrizitats- 
verteilnBg auf einer Kngel. 

Kap. 1. Das Potential einer Kugelflache bei be- 

liebiger Massenverteilung 97 

Zusatz. Das Potential einer Doppelbelegung der 
Kngel 104 

Kap. 2. Das Potential einer r&umlicnen, von kon- 
zentnschen Kugeln begrenzten Masse, Satz 
von der aquivalenten Massentransposition. 105 

Kap. 3. Ableitung der Losung der Eandwertauf- 
anfgabe aus der Laplaceschen G-leichnng. 
Anwendung auf die Q-reensche Funktion 
der Kugel 112 

Kap. 4. Die zweite Bandwertaiifgabe fiir die Kugel 123 
Die zweite Greenscne Funktion fur die Kugel . . . 127 

Kap. 5, Die Elektrizitatsverteilung auf einer leiten- 

den Kngel oder Kngelschale 129 

a) Grundlage der Untersucltung 129 



Inh.altsverzeich.nis. V 

Seite 

b) Elektrizitatsverteilung auf einer leitenden Kugel . . . 183 
Anwendung. Verteilung unter Einwirkung eines 

auBeren elektrischen Massenpunktes 136 

c) Elektrizitatsverteilung auf einer von zwei konzentri- 
schen Kugeln begrenzten Schale 140 

I. Die wirkenden Krafte haben ihren Sitz im Aufien- 

ranm 140 

n. Diese Krafte haben ihren Sitz im inneren hohlen 
Raum . 141 

d) Elektrizitatsverteilung auf einem nahezu kugelfor- 
migeo Leiter ohne Einwirkung aufierer Krafte . . . 143 
Beispiel 146 

Kap. 6. Anwendung der Methode der Transforma- 
tion durch reziproke Radien in der Poten- 
tialtheorie 147 

a) Die Transformation durch reziproke Radien 147 

b) Beziehungen yon Losungen der Laplaceschen Grlei- 

chung fur reziproke Raume 150 

Zusatz. Die Poissonsche G-leichung fur reziproke 

Raume 152 

Anwendung 153 



III. Absclmitt. 

Die Potentialaufgabeu fiir Rotationsellipsoide und 
exzentrische Kugeln, 

Kap. 1. Verlangertes E-otationsellipsoid 155 

a) Emfuhrung neuer Variabler 155 

b) Transformation und Losung der Laplaceschen G-lei- 
chung 15? 

c) Anwendungen 161 

d) Die reziproke Entf ernung zweier Punkte in elliptischen 

Koordinaten 167 

Folgerung. Entwicklung von l|(y ac) fur 

y>l, lar|<l 172 

e) Weitere Anwendungen 174 

Kap. 2. Abgeplattetes Rotationsellipsoid 181 

a) Einfuhrung zweckmkfiiger Variabler 181 

b) Transformation und Losung der Laplaceschen Glei- 
chung . . 188 

c) Die reziproke Entf ernung zweier Punkte 188 

Kap. 3. Exzentrische Kugeln 190 

1 a) Dipolare Koordinaten in der Ebene 190 



I Inhaltsverzeichnis, 

Seite 

b) Dipolare Koordinaten im Raum. Anwendung auf die 
reziproke JEntfernung zweier Punkte 194 

c) Das Problem der zwei Kugeln 196 

a) Yorbereitung 196 

$ Losung der Aufgabe . 199 

d) Die allgemeine Randwertaufgabe fur zwei exzentrische 
Kugeln. Elektrizitatsverteilung auf zwei Kugeln bei 
Einwirkung auBerer Krafte .... 204 

e) Hinweis auf weitere Probleme ... . . . 208 

) Ringflache 208 

f) Benihrende Kugeln 211 



IY. Abschnitt. 

Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie fiir be- 
liebige geschlossene FlSchen. 

Einleitung 213 

Kap. 1, Einige allgemeine Satze uber das Potential 

von Massen 214 

Satz 1 Der Gaufische Satz des arithmetischen 
Mittels 214 

Satz 2. "Wert des uber eine geschlossene Flache er- 
streckten Integrals/ / -do 216 



Satz 3. Das Potential kann nicnt in einem Teile 
eines von Masse freien Raumes einen konstanten 
Wert haben, in einem andern Teil desselben einen 
verschiedenen Wert 218 

Satz 4. 1st das Potential von Massen, die ganz aufier- 
halb einer gescblossenen Placbe F liegen, an F 
konstant, so hat es denselben konstanten Wert im 
Innern von F . 219 

Satz 5. Wert des Potentials von Massen, die inner- 
balb F liegen, und deren Potential an F konstant 
ist, im aufieren Raume . . . . 220 

Satz 6. In Punkten, die einen endlichen Abstand 
von der wirkenden Masse haben, kann das 
Potential dieser Masse keinen extremen Wert be- 
sitzen ... . .... 223 



Inhaltsverzeichnis, VH 

Seite 
Kap. 2 Ldsung der Bandwertaufgaben mittels der 

Greenschen Funktion . . 224 

a) Losung fur den Innenraum T einer geschlossenen 
Flache F 224 

b) Lbsung fur den Auflenraum yon F 228 

c) Die zweite Bandwertaufgabe und die zweiteGreensche 
Funktion . . . . . 231 

d) Eigenschaften der Greenschen Funktion . . 234 

e) Existenz der Greenschen Funktion. Ihre physika- 
lische Bedeutung ... 237 

Kap. 3. Das Dir ichletsche Prinzip nebst Folge- 

rungen ... . . . 238 

a) Das Dir ichletsche Prinzip fur emen endlichen 
Baum ... 238 

b) Ausdehnung auf Baume, die sich ins Unendliche er- 
strecken . 242 

c) Folgerungen aus dem Dirichletschen Prinzip . . 243 
a) Satz- Es lassen sich die Oberfiachen behebig 

vieler begrenzter Baume so mit Masse belegen, 
dafi das Potential dieser Massen an jeder Stelle 
einer jeden Oberflache emen vorgeschriebenen Wert 
hat ; es ist nur eine solche Belegung mbghch . . 248 
p) Satz von der aquivalenten Massentransposition . 244 

1. Die Massen liegen innerhalb einer geschlossenen 
Flache 244 

2. Die MasstJi liegen auBerhalb einer geschlossenen 
Flache 245 

3. Beispiele fur die aquivalente Massentranspo- 
sition . .246 

y) Anwendung auf das elektrische Gleichgewicht eines 
Systems von Leitern . 249 

1. YoUe Leiter . 249 

2. Schalenformige Leiter, die auJ3eren ICrafte aufier- 
halb 251 

3. Schalenformige Leiter. falls die aufieren Krafte 
ihren Sitz im inneren hohlen Baume haben . . 252 

d) Eurwande gegen das Dir ichletsche Prinzip 253 

Kap. A. Die 0. Neumannsche Methode des arith- 

metischen Mittels 255 

a) -^ezeichnungen. Ableitung eines Hilfssatzes uber das 
Potential von Doppelbelegungen 255 

b) Die bei der Methode des arithmetischen Mittels auf- 
tretenden Potentiale von Doppelbelegungen 261 

c) Haupteigenschaffcen der Potentiale /*', f", . . . , f<&> . . . 264 



VIH 



Innaltsverzeichnis. 



Seite 

d) Losung der ersten Randwertaufgabe fur den Jnnen- 
raum T der Flache F ................ 268 

e) Losung fur den Auflenraum T' yon F ....... 270 

a) Bestinxmung einer Fundamentalfunktion von T . . 270 
$ Bildung der Potentialfunktion aus der Fundamental- 

funktion ....... .......... 272 

y) Bedeutung der in /?) auftretenden Hilfsfunktion JIa 274 

<5) Die Greensche Funktion fur den Innenraum yon F 275 

f) Anwendung der allgemeinen Formeln auf eine Kugel- 
flache .................... 276 

Zusatz. Direkte Ableitung des Potentials einer 
doppelt belegten EugeHache fur Punkte ,dieser 
FJache. Beweis einer dabei benutzten Hilfsformel 281 

Kap. 5. Zuruckfunrung der ersten Bandwertauf- 

gabe auf eine Integralgleichung ...... 285 



Drnckfehlerverzeichnis znm L Bande* 

Seite 46, Zeile 6 von unten muB es hei8en g statt ?i . 
51, in Formel (11) B r l- statt l- 

62, (2a) r dn d$ statt 

106, fl (15b) 

108, Zeile 15 von unten , 

109, 7 

149, r 14 r r 

152, p 14 oben n r 

154, 5 r 

165, n 8 n unten ,, bleiben 

184, in Formel (12) ist das eine d<p zu tilgen. 

191, in Figur 30 ist das obere P durcfat P* zu ersetzen. 

all, Formel (24) mufi es heifien A (9+2 A 2 ) statt 

(14) E 6 cos (N,Q]* statt 



A P. 

y(JB-r) 8 statt y(JS~r 2 ). 
Potentials Potential 

^rfo' xdo'. 
cos(JV f g) B cos (#,). 
hleiben. 



248, 



(16c) 



I. Absclinitt. 

Die wichtigsten Eigensehaften der 
Kugelfiinktionen. 

Kapitel 1. 

Transformation des Laplaceschen Differential- 
ausdrncfcs auf toelieMge orthogonale Koordinaten. 

Die allgemeine Bebandlung von Aufgaben der Potential- 
theorie, welcbe Massen betreffen, die von konzentrischen 
Kugelflacben begrenzt oder auf Kugelflacben verteilt sind, 
stiitzt sicb auf die Eigenscbaften gewisser Punktionen, dev 
sogenannten Kugelfunktionen. Auf diese wird man gefiihrt, 
wenn man die auf raumlicbe Polarkoordii^^en transformierte 
Laplace scbe Differentialgleicbung durob eine Heibe inte- 
griert. Wir beginnen demgemaB damit, den L/aplacescben 
Ausdruck 



8y* Be* 

auf raumlicbe Polarkoordinaten zu transformieren. Wir 
fassen diese Auf gab e etwas allgemeiner und formen A V 
fiir den Fall urn, daJ3 an Stelle der recbtwinkligen Koor- 
dinaten &,y,0 beliebige krummlinigej aber orthogonale 
Koordinaten treten. 

Dazu denken wir die recbtwinkligen Koordinaten x t y , z 
eines Punktes durcb drei neue Variable A , (.1 , v ausgedrUckt: 

(2) X ^f ( i^ l9 ^ } y- 

Wangerin, Theorie des Potentials II 



2 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Ivugelfunktionen 

Die Bedeutung der neuen Veranderlichen ist f olgende, 
Denkt man aus den Gleichungen (2) u und v eliminiert, so 
erhalt man eine Gleichung von der Form 
<3) JFi;e f y,*,;-)- - 

Diese Gleichung stellt, wenn man der Grbfie I einen be- 
stimmten Wert erteilt, eine Flache dar, fiir einen andern 
Wert von A eine andere Flache. Fiir beliebige veiander- 
liche /. stellt soniit (3) eine Flachenschar mit dem Para- 
meter /- dar. Ebenso kann man aus ( 2) ). , v oder auch A , JLL 
eliminieren und erhalt so Gleichungen der Form 

(3a) (x j ij , 2 , IJL) = , (3b) (x , y , z , v) = , 

d.h. man erhalt zwei neue Flachenscharen mit den Para- 
metern p, resp. v. Bestimmt man die Lage eines Punktes 
durch die die^em Punkte zugehorigen Werte von l,^i^v^ 
50 wird nach dem Gesagten der Punkt als Schnittpunkt 
dreier Flachen dargestellt, die je einer der Scharen (3), (3 a), 
(3b) angehQren. Man bezeichnet ^ 3 ^,v als die krumm- 
linigen Koordinaten des betrachteten Punktes. In dem Fall 
raumlicher Polarkoordinaten (s. Bd.I, 8.18) wird eine der 
Flachenscharen aus konzentrischen Kugeln gebildet, die 
zweite aus Eotationskegeln mit gleicheni Scheitel, gleicher 
Achse, aber verschiedener Kegeldffnung, die dritte Schar 
aus Ebenen, die samtlich durch die Kegelachse gehen Hier 
wird jede der drei Flachen, die die Lage eines Punktes be- 
stimmen, von den beiden andern Flachen senkrecht ge- 
schnitten, d. L die krummlinigen Koordinaten sind in diesem 
Falle orthogonal. 

Wir pollen nun zunachst unter suchen, unter welchen 
Bedingungen auch die allgemeinen krummlinigen Koordi- 
naten A , t , v orthogonal sind, d. h. unter 
welchen Bedingungen jede der Flachen einer 
der drei Scharen (3), (3 a), (3b) von den 
Flachen der beiden andern Scharen senkrecht 
geschnitten wird. Zu dem Zweeke betrachten 
wir neben dem Punkte P, dessen rechtwink- 
lige Koordinaten x , y , # und dessen krunam- 
linige Koordinaten k,f.i,v sind, drei andere 
Punkte Pi , P 2 ; P 8 , die derart liegen, daB zum 
Punkte Pi mit den rechtwinkligen Koordinaten x\^y\j #1 
die Parameterwerte / + d /, , /.i . v zu P 2 (3% w> z%) die 




Kap. 1 . Transformation des Laplaceschen Differentialausdiucks. 3 

Pararnetervverte A , f.i + d , ,v , zu Pa (x% , ys , #3) die "Werte 
A , p , v + dv gehoren; darin sollen 6 1 , d in , d v kleine Grofien 
sein. Nach (2) 1st 

(2a) xi=f(l+bk,ii,v), yi=<?(l+dh,[.i,i>), ^^^(l+dl^t.v). 

Der Abstand der Punkte P, Pi 1st, wenn man nach Potenzen 
von 61 entwickelt und nur die erste Potenz beibehalt, 



und die Kichtungskosinus von PPi sind 

xi x yi y #1 s 

PPi ; PPi ; PPi ' 
Piir unendlich kleine dh = dl wird 
(4a) PPi = Z.<U, 

imd die Richtungskosinus yon PPi 

1 dx 1 By 1 Bz 

(' T5l'T5T'T5l' 

Die gleiche Betrachtung ergibt fur die Punkte Pa , Pa 3 
^ unendlich Jdein = cZ/tt, ebenso 5v = ?y ist; 



(4b) 

ist; ferner sind die Richtungskosinus 
(5 a) 



^^ 1 dx 1 dy 1 e& 
von PP 2 -5, -/-, -= , 
m o ft m o ft m c n 



-0=5 

von PPs -5, 3^-, ^ . 
w av d v n ov 

Da zu dem Puakte Pi dieselben Werte der Parameter 
lt,v geh5ren wie zu P, so gehen diejenigen FlStchen der 
Scharen (3 a), (3b), die zur Bestimmung von P dienen, auch 



4 I Die VTiclitigsten Eigenschaften dei Kugelfunktionen. 



durch Pi, PPi ist daher ein Bogenelement der Schnittlinie 
der beiden in Kede stehenden Flachen. Ebenso ist P P ein 
Bogenelement der Schnittlinie der durch Pgehenden Flachen 
der Scharen (3j und <'3b), PP 8 endlich ein Element der 
Schnittkurve der durch P gehenden Flachen der Scharen 
(3) und (3 a). Soil jede Flache der einen Schar von den 
Flachen der andern Scharen senkrecht geschnitten werden, 
so miissen auch die Schnittkurven der Flachen aufeinander. 



d. h. jede der Lioien PPi, PPs, PPa muB auf den beiden 
andern senkrecht stehen. Es muB daher die Summe der 
Produkte des entsprechenden Richtungskosintis verschwin- 
den, alto 

'*xdx , Sy oy 3* Bz 



(6) 



6 x d x S y 8 y ( c # 02 _ 

+ " 1 "^ J 



y 
!Tv 



und diese Bedingungen miissen fur alle Punkte des Raurnes, 
d.h. fur beliebige Werte von A, p, v erfullt sein. Die 
Gleichungen (6) stellen die Bedingungen dafiir dar, daJB 
unsere drei Flachenscharen ein orthogonales System bilden, 
oder daB die krumnilinigen Koordmaten I , (.1 , v ortho- 
gonal sind. 

Diese Bedingungen (Gj nehmen wir im folgenden als 
erfullt an* Ein Volumenelement des Raumes erhalten 



nun, indem "vrir von jeder der drei 
Flachenscharen (3), (S a), (3b) je zwei 
unendlich nahe Flachen nehmen, denen 
die Parameter I und I + d I, resp. ju und 
[A + dfj,, sowie v und v + dv angehoren. 
Die bei P liegenden Teile dieser FlSchen 
begrenzen ein Eaumelement, das nahe- 
zu die Gestalt eines rechtwinkligen 
Parallelepipedons (Fig. 2) hat, von dem 
PPi , PP 2 , IPP* drei anstoBende Kanten 
sind. Die drei in P zusammenstoBenden GrenzflSchen des 
Elements haben, da PTi , PP 2 , PP 8 sich senkrecht schnei- 




Kap. 1. Transformation des Laplaceschen Differentialausdrucks 5 

Jen, resp. den Flacheninhalt PP 2 . PP 3 = m ndpdv. 

PR.PR<=lndldv, FP a .PP 2 = ZmcWc//S und das Vo- 
luruen des Elements i&t 



(7) dv 

Wir betrachten nun einen Raum, der begrenzt -wird von 
zwei beliebigeu Flachen der Schar (3), zwei Flachen der 
Schar (3 a) nnd zwei Flachen der Schar (3b), Auf diesen 
Eauni wenden wir den Greenschen Satz an [Bd.I, S, 96, 
(Gl. 1)], indem wir 17 1 , T7= F nehmen, wo F das Poten- 
tial irgendwelcher Massen ist ; die so liegen, daB die zweiten 
Ableirungen von V innerhalb des Integrationsgebiets be- 
stimmte endliche Werte haben; so ist, wenn wir fiir dv den 
Aiisdruck (7j benutzen 

(8) JIJ A Vlmndldpdv - / f~ do . 

Darin ist das dreifache Integral uber das Voluraen, das 
Doppelintegral iiber die gesamte Oberflache des Integrations- 
rauiues zu erstrecken. Wir verkleinern dann das Integra- 
tionsgebiet dadurch, daB mr die derselben Schar ange- 
hoienden beiden Grenzflachen einander immer naherruckec, 
bis sie schlieBlich einander unendlich nahe sind. Machen 
wir das mit alien drei Paaren von Grenzflachen, so redu- 
ziert sich schlieBlich das Integrationsgebiet anf ein Yolumen- 
element, die linke Seite von (8) aof 

(8 a) JVlmndldndv, 

wahrend die Oberflache des Integrationsgebiets aus den 
sechs G renzflachen des Volumen elements besteht, so daB die 
rechte Seite von (8) im Grenzfall in eine Sum me aus sechs 
Summanden ubergeht. Wir untersuchen die einzelnen 
Summanden dieser Snmme. Fiir die Flache PPaPiPs 
(Fig. 2) ist do^'PP^PR^mndf.idv. Ferner steht P^ 
auf do senkrecht, aber da in (8) dH die auUere Normale 
des Integrationsraumes darstellt, hat fur die Flache PP 2 P 4 Ps 
dN die entgegengesetzte Eichtung von PPi, d.h es ist 

d N = PPi = I d L Demnach ist -~= do, f fir die Flache 

8 Js 

PP* P* P 8 gebildet, 



6 L Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 

oV 



Eur die gegenuberliegende Flaclie 1st alles ebenso, nur hat 
hier d N die entgegengesetzte Richtung, 1st also = -j- ?<?/,, 
und zugleich tritt an Stelle von I der Vert i + dL Die 
Summe der fur diese beiden Flachen gebildcten Ausdriicke 

zrzrdo ist sornit 

a N 



( mn, , BV\ , (mn 7 , S 7\ 

-- r d ^ dv TTl + (^~ d l idv TTI 
\ I OK)*. \ << ^^// 

d. h. da u , v von -?- unabhangig sind und 



1st, jene Summe wird 

^ (in n S 7 
\ I d' 



, 7 
- 3-r -- df.t dv . 

Ahnliche Ausdriicke ergeben sich, wenn man -^j^do ftir 



die beiden andern Paare gegeniiberliegender Flachen des 
Volumenelements bildet; man hat, um diese zu erhalten, 
nur X mit //, resp. v und zugleich I mit m, resp. n zu ver- 
tauschen. Im Grenzfall geht daher die rechte Seite von (8) 
in folgenden Ausdruck iiber: 




Da die Gleichung (SJ bei belieLiger Verkleinerung des ur- 
spiunglich ins Auge gefafiten Integrationsraums giiltig bleibt, 
so gilt sie auch fur den Grenzfall, d h. die Ausdriicke (8 a) 
(Sb) sind einander gleieh, oder es ist 



(9) 




Kap 1. Transformation des Laplaceschen Differ en tialausdrucks. 7 

Wenden wir das Resultat auf rauraliche Polar- 
koordinaten an ; fur die 

(10) x = r sin # cos <p , y = r sin $ sm <p , z = r cos -3 

1st, so sind, wenn r = A,* = /i,p = r gesetzt wird, die 
Ortbogonalitatsbedingungen (6) erflillt. Ferner wird 



daher 



= /hr- +hrH+hrH-i'sin*. 



(12) 



JF= 



or 



e 



or 



sin^ 



J 

I q f\ *> Q 



da # von r und ^ unabhangig ist. 

Piir Zylinderkoordinaten, die man erhalt, wenn man in 
der x z/-Ebene Polarkoordinaten einf uhrt, wahrend die dritte 
Koordinate s bleibt, so daB 



1st, sind ebenf alls die Bedingungen (6) erfnllt^ und es wird. 
wenn A = r , / = p , r = ^ gesetzt wird, 

(II 1 ) ?l, Wss=f .,n-l, 

somit 



(121) 



Weitere Anwendungen der Formel (9) werden im 
III. Abschnitt folgen. 



S I Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen 

Kapitel 2 
Die einfache Kugelf anktion erster Art. 

a) Definition der Ivugelfunktion P n (x). 
Ehe wir an die Integration der auf raumliche Polar- 
koordinaten transformierten Gleichung J F=0 [s. Gl. (12), 
S. 7] gehen, behandeln wir einen speziellen Fall. Wir 
stellen uns die Aufgabe, die reziproke Entfernung zweier 
Punkte P,Q durcb die raumlichen Polarkoordinaten dieser 
Punkte auszudriicken uud dann in eine Reihe zu entwickeln. 
Die rechtwinkligen BLoordinaten von P seien #,/,#, die 
von Qg , r t , u , ihre Polarkoordinaten r, #, p 3 resp. n, ^i, y>i. 
Zwischen x,y,t undr ,*, p bestehen die Gleichungen (10) 
S. 7, und analoge Beziehnngen bestehen zwischen f,^,C 
nnd ri,#i,pi. Aus diesen Beziehungen folgt, wenn g den 
Abstand PQ bezeichnet, 

e *=(f_^ + ^_^ + ,;_,) 

; =r 2 H-ri 2 2rri [cos # cos ^ + sin & sin # cos (^ pi)]. 

Der Faktor von 2 r /*i ist gleich dem Kosinus des Winkels 

;', den r und r\. miteinander bilden, 

i b) cos y = cos & cos 7^1 + sin & sin #1 cos (<p pi) ; 

denn r, ri , (> sind die drei Seiten des Dreiecks PQ [0 der 
Anfangspunkt der Koordinaten].*) Indem wir vorlaufig 
von dem Zusammenhang z^vischen y und & , <p , t^i , pi ab- 
sehen ? wird unsere Aufgabe sich dahin vereinfachen, den 
Ansdruck 



+ n 2 2 r r cos y 



Die Gleichung fur cos y ist ubrigens nichts anderes als 
die Grundformel der spharisclien Trigono- 
metue, angewandt auf das Dreieck zAB, 
das man erhalt, wenn man um eine 
Kuffel mit dem Radius 1 besclireibt, mit 
z,A,jB die Punkte bezeichnet, in denen die 
^Achse, OP, Q die Kugel sclineiden, und 
je zwei dieser Punkte durcli groBte Kugel- 
Isareise verbmdet. Die Seiten dieses spha- 
rischen Dreiecks sind z A & , #.B = #i, 
AS = y, wahrend derWmkel A z = cp 9/1 
oder =yi 9: ist. 




Kap. 2 Die exnfache Kugelfunktion erster Art 9 

in eine Reihe zu entwickeln, und zwar in eine nach stei- 
genden oder fallenden Potenzen von r fortbchreitende Eeihe. 
je nachdem r<ri oder r>ri ist 

Fur den Fall r<ri schreiben vn- 



im Falle r>ri aber 
1 1 



r 
und haben dann beide Male einen Ausdruck von der Form 



y 1 2 a cos y + a 2 ' 

in dem </ positiv und kleiner als 1 ist, nach steigenden 
Potenzen von a zu entwickeln. Die so vereinfachte Auf- 
gabe verallgemeinern wir insofern, als wir den Kosinus 
des reellen Winkels 7 durch eine beliebige reelle oder 
auch komplexe Gro'fie x ersetzen, ebenso a beliebig nehmen 
und nur durch die gleieh zu erorternde Bedingung be- 
schranken. 

Es ist somit der Ausdruck 



nach steigenden Potenzen von a zu entwickeln. Den Ko- 
effizienten von a n bei dieser Entwicklung nennen wir die 
w-te Kugelfunktion von x und bezeichnen sie mit 
P n (#), so dafi wir haben 



(1) -- 



Zur Unterscheidung von anderen, spater zu untersuchenden 
Funktionen wollen wir P n (x) als Kugelfunktion erster 
Art mit einer Veranderlichen oder als einfache 
Kugelfunktion erster Ar4 bezeichnen. Yielfacb werden 



10 I Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 

diese Funktionen auch ^Legendresche Polynome u oder 
,,Legendresche Koeffizienten" genannt oder auch r zonale 
harmonische Funktionen'* oder ,einachsige harmonische 
Funktionen 4 * x ist das Argument, n der Index der Kugel- 
funktion. 

Es ist zunachst zu untersuchen, unter welchen Be- 
dingungen die Entwicklung der Imken Seite von (1) nach 
steigenden Potenzen von a. zulassig ist. Zu dem Zwecke 
zerlegen wir den Radikand in Faktoren und schreiben 

(la) ra L^ a 

= [l_0(3_i7TZT)i~T. fi_ a ( tr+ y^rri)-J~2- 

Wenden wir auf jeden der Faktoren den binomischen Satz 
an, so ist zur Konvergenz der entstehenden Reihen ei- 
forderkch, daB 

j a (x ]> 2 1) < 1 und ( a (x + ]'^-T) j < 1 

ist, falls, wie ublich, \m\ den absoluten "Wert von m be- 
zeichnet. Diese Bedingungen konnen \vir auch schreiben. 

d. h. i a | muB k^einer sein als der kleinere der absoluteii 

Werte von x | ? 2 1 und x + j'u; 2 1 . Durch passende 
Wahl von a kann man also fur jedes gegebene x erreichen, 
daB die Reihen, die sich aus dem binomischen Satze fur 
die Faktoren der rechten Seite von (la) ergeben, konver- 
gieren, und das Gleiche gilt dann auch fur das Produkt 
der beiden Reihen. 

Fiir den Fall, daB x der Kosinus eines reellen Winkels 
ist, x=co$y, ist 



der absolute Wert von ;+]'# 2 1 ist daher 1, und falls 
||<1, konvergiert unsere Entwicklung. Aus (1) folgt 
somit folgende Reihe f lir die reziproke Entfernung 1 ! q 
zweier Pnnkte. Es ist 



Kap. 2 Die einfache Kugelfunktion erster Art. 

T} f \ J? 1 1 

j-r Jr n (cos y) , tails r * 



(2) 






b) Analytischer Ausdruck fur P n (x) 
Wir schreiben 



und entwickeln die reclite Seite nach dem binomischen 
Satze, so ergibt sich 

(3) -= -- =^l+-(2a-a| + 
^ ; 2 2 V 2-4 



und diese Eeihe konvergiert unter den oben eroilerten Be- 
dingungen. Auf der rechten Seite von (3) entwickle man 
in jedem Gliede (2% a)^ nach dem binomischen Sat/e 
fiir ganze Exponenten und fasse alle gleichen Potenzen 
von a zusammen. Una den sich ergebenden Koeffizienten 
von u n zu erhalten, erwage man, daB a A '(2# o)^ 9 nach 
Potenzen von a entwickelt, die Poterszen von a^ bis a 2Jt -" 
enthalt. Soil dies Glied einen Beitrag zum Faktor von 

a n geben, so mufi Jc r zwischen n und -^-n liegen. Nun i^t 
der Koeffizient von a n 



p., 7/ . 

fdrf -1 - 



1.2 



12 I Die wchtigsten Ligensohaften der Kugelfunktionen 

, ,- , '-3 .i'2-2*-lj 

iur A /* k \ 1> _-- T ^ -^-7 

2 1 . . < 2 n 2 A' ) 

n l w -.7- l) /^ 9J_ul) 

Vrrri =-^(2*)-". 

uiid A- durt' hlclisteus -= n sein Faik man die Koef fizienteu 



Glieder. die den Fakir.: en o n enthalten, zusammen, so 
erhalt mac P^(x). Dabei rnoge noch der Koeffizient der 
ho'jhsten Potenz von x herausgesetzt werden, so wird: 



n\n i ( n 2 1 1 n 3 / 



Pnbei i?t, wie iiblich, n ! far 1 . 2 . 3 . . . n gesetzt 

Die Eeihe (4 , brieht von selbst ab. Der letzte Sinn- 
uaa'id inaerhall" der Klammer ist 



, , n J... 

tu: unmade, ,-., - o.,, (<! _ i .2 B _ 12n _ 3 .. w+2 ^ 



P,. (// kt also cine ganze rarionale Funktion von r, die 
fiir gerude n nur gerade, fiir ungerade n nur ungerade 
Poteczea von x enthiilt, so daS ailgemem 

J* P t l-.*='-i) n P n Cr) 

.\r. Fenier ist 

-" 3 _, 

IP' '-'/= ,-!/" -'-V^'- - ,P''0)~0 fur geradew, 



2.4. ( 1) 



Kap 2 Die einfache Kugelfunktion erster Art. 13 

falls Pn (#) die Ableitung von P n (x) bezeichnet. Ferner 
folgt aus (4) 

(7) 

) 



x** 00 
Setzt man in (1) (8. 9) a = 1 , so folgt 



und da andererseits 



1st, so hat man 

(8) P M (l) = i,P n (_l)=(-iy. 

Fiir die einfachsten Werte des Index n ergeben sich 
folgende Ausdriicke, deren erster daraus folgt, daB der 
Koeffizient von = 1 ist: 

(la) J>t ()-!, ft (*)-=*, P,U)- 



In diesen einfachen Fallen erkennt man, dafi nach Auf- 
losen der Klammern die Nenner der Koeffizienten aller 
Glieder Potenzen von 2 werden. Den Nachweis dafiir, daB 
das fiir jeden Wert von n zutrifft, ubergehen wir hier. 



c) Entwicklung von P n (cos &) nach Kosinus der 
Vielfachen von &. 



1st ijj = eos^, wb & einen recllen Winkel bezeichnet ? 
so wird (vgl. Gl. (la) S.10) 



dem binomischen Satze ist 



14 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 



2.4 



_ 

^ 



2.4. (8n) 

Jede dieser beiden Reihen konvergiert fiir |a|<l, und 
dasselbe gilt fiir ihr Produkt. Wir bilden letzteres und 
sammeln alle Q-lieder, die den Faktor a n haben. Seiche 
Glieder ergeben sich, indem man das Glied der oberen 
Eeine, das der Faktor a n enthalt, und das Glied der 
unteren multipliziert, das den Faktor a hat, multipliziert, 
ebenso das Glied mit a n ~ l der oberen und das Glied mit 
a 1 der unteren usw., schlieBlich das Glied mit a der oberen 
und das mit a n der unteren Eeihe. Der Faktor von a n 
in dem Produkt beider Reihen wird also 

^ 

-5) 1-3 ,, 

- ( ^ ) + "' 



Der Paktor von a n ist aber P n (cos ff). Man erh&lt daher, 
wenn man die ExponentialgroBen mit imaginaren Ex- 
ponenten dorch die reellen Kosinus ersetzt und den Ko- 
effizienten des tochsten Gliedes herausnimmt: 



(9) 



Die Reihe schlieBt fiir ungerade n mit dem Gli^de, das 
den Faktor 2 cos*, fur gerade n mit dem Gliede, das den 



Kap 2. Die einfache Kugelfunktion erster Art. 15 

Faktor cos (0 . $) hat, also konstant ist; doch fallt f iir ge- 
rade n im letzten Gliede der Faktor 2 } den alle iibrigen 
Glieder haben, fort 

Fur einfache Werte von n wird 

3/ 2\ 

Pi (cos #)= cos #, Pj (cos 3) =-J 2 cos 



(9 a) 



) = T2 cos 3 # + - 



Folgerung. Da in der Reihe (9) alle Koeffizienten 
positiv sind, nnd da alle Kosinus ihren grbBten Wert 1 
fur & = aunehmen, so folgt, daB auch P n (cos $) fur i9- = 
seinen groBten Wert hat, d. h P n (1) = 1 ist der grdBte 
Wert, den P n (cos^) annehmen kann. Ferner ist P n (cos^-) 
groBer als die Summe, die sich aus (9) ergibt, wenn man 
^tatt jedes Kosinus 1 setzt (und fiir gerade n auch das 
Vorzeichen des konstanten Gliedes umkehrt), d h. es ist 
P n (cos *) > P n (1) oder P n (cos #) > 1 . Die Kngelfunk- 
tionen haben daher mit dentrigonometrischenFnnktionen die 
Eigenschaft gemein, daB, wenn x reell ist und zwischen 
1 und +1 liegt, P n (x) zwischen 1 und +1 liegt. 

Aus dieser Eigenschaft folgt aufs neue, daB fiir reelle 
a und x, falls 



ist, die Reihe (1) konvergiert. 

AuBer den hier entwickelten Darstellungen von P n (x) 
existieren noch andere, z. B. fur x = cos # Reihen, die nach 

Potenzen von sin -^ ^ , tg -^ ^ oder tg # f ortschreiten. Auf 

Ci i 

diese gehen wir hier nicht ein, ebensowenig wie auf die 
Darstellungen von P n (x) mittels der hypergeometrischen 
lleihe. 

d) Das Laplacesche Integral. 

Laplace hat zuerst P n (x) in Form eines bestimmten 
Integrals dargestellt. Den Ausgangspunkt bildet die Formel 



a + b cos <p 



16 I Die wi3hng>ten S-genschaftea der Kugelfunkticnen 

zu deren Gultigkeit erf orderlich 1st, daB o reell und positiv, 
daB ferner b entweder reell und ab=>olut kleiner als a, oder 
auch daB b rein imaginar ist. x ) 

Mittels der Formel '10) laBt sick der Ausdruck (A] 
\S. 9), dessen Entwicklung auf die Kugelf unktionen f iihrte, 
dureh ein bestiLimtes Integral darstellen. "Wir beschranken 
uns dabei auf reelle Werte von x und reelle positive 
von . Da 



ist, so folgt aus ;10 



i *2vx a- ~ 

j 



Xach dem ? was oben bemerkt ist, ist zur Gultigkeit dieser 
Darstellung folgendes notig: a) Wenn x reell ist und 
zwischen 1 und 1 liegt, so inufi a kleiner als 1 sein. 

"j) Wenn x reell und gr"Ber als 1 ist, so muB a< und 



X 



v 
Ist diese letztere Bedingung erfiillt, so ist librigens auch 

die er?:e (< f erfiillt. c> Ist ,t negativ und absolut 

groSer als 1, so sind die fur die Anwendung der Formel 
(10; erforderlichen Bedingungen von selbst erfiillt Wir 
hier aber ; vrenn x = Xi ist, a < xi ]'xi* 1 . 



; Han leiret die Formel 10, fur reelle b ab, mdem man an 
Stelle von $ die neue Integrations variable v mittels der Substi- 
tution 

1 a o ^1 

tg v = I _^_ tg i ~ 

einfcihrt. Ist I rein imagin^r, b = i bi , so erweitere man die 
zru. integrierende Funktion mit a i bi cos 9. Dadurch zerfallt das 
Integral in die Summe zweier, und von diesen verschwindet das 
zweite. wahrend der Wert des ersten sicli mittels der Substitution 



fLap 2. Die einfach.e Kugelfunktion erster Art. 17 

Durch diese Wahl von a ist folgendes erreicht: 1) In 
alien drei Fallen sind die Bedingungen erfiillt, unter denen 
die Reihe (1) (S. 9) konvergiert; 2) 1st fur alle reellen x 



# i # V# 2 1 cos f | 

Daher kann auch die zu integrierende Funktion auf der 
rechten Seite von (11) in eine konvergente Reihe ent- 
wickelt werden: 



_ _ 
1 <7 7 J^a }',&- leosc? 1 a(#+y# 2 1 cos c) 



(12) 



Integrieren wir diese Reihe gliedweise, was wegen ihrer 
absoluten Konvergenz gestattet ist, setzen die integrierte 
Reihe in (11) ein und wenden zugleich auf die linke Seite 
von (11) die Gl (1) (S. 9) an, so ergibt sich 





Da diese Gleichung fiir beliebige, innerhalb der oben an- 
gegebenen Grenzen veranderliche a gilt, so sind die Ko- 
effizienten gleicher Potenzen von a beiderseits gleich, und 
wir erhalten das Laplacesche Integral 



1 



(13) P n (a?) ^/ (a; +}'* loosed ^. 



Bei der Ableitung dieser Gleichung ist x als reell 
vorausgesetzt. DaB sie auch fiir komplexe x gilt, kann 
folgendermaBen nachgewiesen werden. Entwickelt man 
unter dem Integralzeichen die n-te Potenz nach dem bi- 
nomischen Satze und integriert die einzelnen Summanden, 
so ergeben diejenigen Summanden, die ungerade Potenzen 
von cos y , also auch ungerade Potenzen von ]/ jc 2 1 ent- 
halten, den Integralwert 0. Die rechte Seite von (13) 

gsht dadurch in eine ganze lationale Funktion von x vom 
rade n fiber, und da diese fiir reelle x mit der Funktion 
(4), S. 12 identisch ist, so ist sie es auch fur komplexe x. 

Wangerin, Theorie des Potentials U. 2 



18 I. Die -wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 

Folgerung. Setzt man in (3) ^=cos#, soinit 
} ; 2 - 1 f'sin#, so wird 



und es wird fur ungerade 7; 



dagegen fur gerade ?; = 2 h 

{ 2 ; 7 1-3... (2fe-l) 
co^prfp- 2 , 4 ., (2h ^ 

v 



o 
und somit 



/^/t-^ 



dabei ist die Summe fur gerade von fe = l bis Ai=-, 

fur ungerade n von ii = l bis &i = ^(w_l) zu erstrecken. 

Setzt man fur den Binomialkoeffizienten n 2 fa seinen Wert 
so ergibt sich fur P r /eos#) die neue Reihe: 



oder ausgeschiieben 



n 'w l.fn 2){n 8) 
--- '2.4.0/4 -- ^ 



Kap. 2. Die einfache ICugelfunktion erster Art 19 

ej Werte von P,j(cos#) fur sehr grofie Werte 
des Index n. 

A us dem Lap 1 ace schen Integral ergibt sich derGrenz- 
wert, dem die Kugelf unktion P n (a) zustrebt, wenn der Index n 
liber alle Grenzen wachst. Wir wollen diesen Grenzwert 
nur fur den Fall untersuchen, dai? x der Kosinus eines 
reellen Winkels 1st, # = cos#. 

1st zunachst # = , also cos # = 1 , so wissen wir, daB 
p n (1) = i 1st fiir jeden Wert des Index n ; daher 1st der 
Grenzwert von P(l) fiir w = oo ebenfalls 1. 

1st aber -3 von nnd x verschieden ; so wird 

(15) lim P n (cos#) = 0. 

71=00 

Beweis: 1st zunachst n endlich, so 1st nach (13) 

-r 

n (cos^)= / [cos # + ? sin^- cos p] n d <p 



if 



/ 
/L 



o 
Setzt man 

cos # + i sin# cos <p = (cos A + f sin A) 7 
so wird 

P n (cos ff) = / o n [cos (n A) + f sin (w Aj] c? ^ 



= / o n 

^S 
i* 

/ 

*i 



cos n ^- ~~ 



o / 

= j 



(a) P n (cos^) = Q n cos (n A) <? r , 



und darin 1st 

^ 2 = cos 2 ^ + sin 2 # cos 2 ^ = 1 sin 2 # sin 2 ^ . 

Pur y>0 1st, da 0<^-<r, ^ ein echter Bruch, nnd 
wird mit wachsendem n beliebig klein. Aber fiir ^ 

2* 



20 I- Die wicktigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen 



selbst wird e = l, so daB nicht im ganzen 

gebiet g n beliebig kleiu wird. Wir zerlegen daher das 

Integral (a) in zwei andere 



o r 
/ 

7TV 




o f 
-r ^ 

7T/ 



und darin soil eine positive Gro'Be bezeichnen, fiber die 
weiterhin verfugt werden soil. Der erste Summand der 

2 
rechten Seite von (b) ist kleiner als 6 ; denn der grofite 

7T 

Wert, den Q innerhalb der Grenzen annehmen kann, ist 1, 
und daher wird die zu integrierende Funktion und mit ihr 
das Integral zn groB, wenn statt g n cos(A) gesetzt wird 1. 
Verfiigen wir nun iiber e derart, daB mit wachsendem n 
kleiner und kleiner wird ; indem wir setzen 



wo a. eine positive Zahl, a von n unabhangig ist, so ver- 
schwindet fiir n oo die GroBe und damit der erste Sum- 
mand der rechten Seite von tV) 

Im zweiten Summanden hat o, das mit wachsendem f 
abnimmt, seinen grofiten Wert f iir die untere Grenze s. Nen- 
nen wir diesen w ert QL , so ist 

\c) --/ e n cosfw^cZ^< $i n (-n ~ e\ 

JT 7T \ J 

t 

Nun kann man ^i so schreiben 



und 



Wachst nun n iiber alle Grenzen, so ist (sin s) / 1 , 



v F^ - , r a 2 1 
Inn 1 -sin 2 ^^- n 



2a 



Kap. 2. Die einfache Kugelfunktion erster Art 21 

somit - . 



Wahlen wir die positive Zahl a so, dafi 1 2 > , so wird 

1 i 2a 

Km n =H-oo und lim(>i n =0, 
^ 

d. h. nach (c) wird fiir w = oo auch der zweite Siimmand der 
rechten Seite von (b) gleich Null. Fiir w^cxjwird also 
P n (oosd) 0. 

Zusatz 1. Das Resultat bleitt auch richtig, wenn -^ 
zwar grofler als Null ist ; sich aber mit wachsendem n immer 
mehr dem "Werte Null iu gewisser Weise nahert. 1st namlich 



wo u von n unabhangig und ^>0 ist, so wird zunfcchst 



oder fiir e = 



und 



woraus man, wie oben, erkennt, daB limpi^^O, falls nur 

00 



wahrend im iibrigen a und /9 beliebige positive GroBen sein 
konnen. Die letzte Bedingung ist immer zu erf iillen, wenn 

B angebbar kleiner als -5- ist. Wir haben also das Resultat 
2 

(15 a) lim 



22 L Die wichtigsten Bigenscbaften der Zugelfunktionen. 

falls ft angebbar kleiner als ist. 

Zusatz 2. Anders gestaltet sich das Eesultat fur 
,3-1, Ist 

*-T' 

so wird 

lim i cos -9- i ^in ^ cos c S lim i cosp n~~2"r 

= 
daher 

T 

liniPJ cos~)=- / e*cr c? c 

/ 7TJ 



-/ cosi'wcosc) isi 

"" ' 



Das> rechtsstehende Integral ist die sogenannte Besselsche 
Funktion oder Zylinderfunktion J$u. 



t Darstellung von P n U) als Differentialquotient. 
Wurzeln der Gleichung P(a?)0. 

Wir stellen uns die Aufgabe, die in demLaplaceschen 
Integral auftretende Potenz 

(x }'a; 2 1 cos tp) n 

nacli Kosinus der Yielfachen von p zu ent\vickeln. Zu 
dem Zwecke dnicken wir cos c durch ErponentialgroBen 
mit imaginaren Esponenten aus, so wird 



(y) 



Kap. 2, Die emfache Kugelfunktion erster Art 23 

Setzen wir zur Abkurzung 
(a\ e 



so ist 



and 



Den Zahler der rechten Seite dieser Gleichung eatwickeln 
wir naeh dem Taylorschen Satze nach Potenzen von g. 



dividieren dann durch z n und ordnen nach Potenzen von 
, so wird 



( 



die Eeihe (/9) briclit bei v = w ab; im letzten Summanden 
ist unter ! die Zahl 1 zu verstehen. In ($) setzen wir 
fiir 2 seinen Wert (a) ein $nd drtickeu e v *r durcli Kosinus 
und Sinus von v<p aus, so ergibt sich 



w! da;" ( + >>)! rf rt + v 



24 I. -Die wichtigsten Eigenschaften der Kagelfunktionen. 

Auf der rechten Seite von (/} miissen nun die Koeffi- 
zienten aller Sinus verschwinden. Denn entwickelt man 
(x ~ y# 2 1 cos yf* nach dern binomischen Satze und drfickt 
alle Potenzen von cos <p durch erste Potenzen der trigono- 
metrischen Funktionen der Vielfachen des Winkels y aus, 
so erh'alt man nur Ko&inus dieser Vielfachen, keine Sinus. 
Auf der rechten Seite von (y) miissen sich daher alle Sinus 
fortheben. Es mufi somit die folgende, zuerst von Jacobi 
aufgestellte Gleichung besiehen: 

'^* - * ~ 



(x* - 



Infolgedessen geht die Gleichung \y> in folgende liber 
_ i f in t .A _ \ >n 

/' T > j V 7! -* it i iv ^^ -i. 1 

;: ( tf J- COS C.] A 2 - !)==: - : - j-r - 

' ' rt 



in der Summe rechts kann man iiberall H-V mit v ver- 



Inregrieren ^ir Gleichung (17 nach p zwischen den 
Grenzen und r. und beachten, daB fur jeden ganzzahligen 
Wert y < aufier fur > = Oj 




Das Integral auf der linken Seite ist nach (13) =x P n (x), 
daher ist 



I^ e ^ Gleichung {IS) ist zuerst von Rodrigues, spSter un- 
abhangig von diesem von Ivory und Jacobi gefunden. 
Wir wollen aus (17) noch einen weiteren Schlufi ziehen. 



Kap.2. Die einfache Kugelfunktion erster Art. 25 

Wir multiplizieren die Gleichung mit cos(y^) und inte- 
grieren zwischen und x. Dabei 1st zu beachten, dafi 

"Z 

I cos (v y] COB (v r p) d y 



= ist, wenn v und v' zwei voneinander verschiedene 
ganze Zahlen sind, wahrend das Integral fiir v = v' den 

Wert Q-;: hat So ergibt sich 




und darin kann wiederum +v mit v vertauscht werdea. 
Von der Gleichung (19) wird spater Gebrauch gemacht 
werden. 

Aus (18) ziehen wir die wichtige Folgerung, dafi die 
Gleichung 

Pn(*) = 

lauter reelle Wurzeln hat, die samtlieh zwischen 1 und 
+ 1 liegen. Denn hat eine algebraische Gleichung f(x) = Q 
zwischen x = a und % = 6 p reelle Wurzeln, so hat in dem- 
selben Interval! die Gleichung /'(#) = mindestens (p 1) 
reelle Wurzeln, da zwischen je zwei aufeinander folgendeu 
Wuraeln yon f(x)=Q mindestens eine Wurzel von f(x)^ 
liegt. Das fiber die Anzahl der Wurzeln Gesagte gilt nicht 
nur, wenn die zwischen x = a und x = b liegenden Wurzeln 
von f(x) Q alle verschieden, sondern auch, wenn mehr- 
fache Wurzeln darunter sind. Welter hat die Gleichung 
/*"(#)=() zwischen #=a und a;=& mindestens (p 2) reelle 
Wurzeln usw. 

Nun hat die Gleichung 



2 n reelle Wurzeln, von denen win #= + 1, n in # = 1 zu- 
sammenf alien. In dem Inter vail 5?= lbis# = + l hatdaher 
die Gleichung f'(x) = Q (2 1) reelle Wurzeln, von denen 
je ( 1) in ic = + 1 und x = 1 zusammenf alien ; die 
Gleichung /"' (x) =0 hat in demseiben Inter vail (die Grenzen 



26 I. Ine wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen 

'iingeschlosaen) (2 n 2) reelle Wurzeln usw., endlich. hat 
die Gleichung 



in Jem Intervall ( 1 , 1) mindestens n reelle Wurzeln. 
Da ferner diese Gleichung iiberhaupt nur n Wurzeln hat, 
so sind alle ihre Wurzeln reell und liegen zvrischen 1 
und 1. f n (t) iinterscheidet sich aber nack (IS) von 
P u V JT) nur urn einen konstanten Faktor, daher gilt das 
Resuliat fiir die Gleichung P n i^=0. x=-rl und x = 1 
selb-t gehuren nicht zu den Wurzeln von P n (rc) = 0, da 

P^ i) = l,p H (-i) = f-i/*ist 

Weiterhin ^ird sich ergeben, dafl die TTurzeln von 
P ft (j:;==0 tamtlich voneinander verschieden, dajB keine 
Doppel- oiler mehrfachen "\VurzeIn unter ihnen sind (siehe 
Kap. 3, S. 35). 



g Die Integralsatze der Kugelfunktionen. 

Fiir die Kugek'unktionen gelten folgende Integral- 
satze, die Jen 3. 25 benutzten Integralsatzen der trigono- 
metrischen Funktionen analog sind. 

Sind m und n z\vei voneinander verschiedene ganze 
Zahlen, so ist 






2 n 1 

-I 



i< Wird *.*>cos# gesetzt, so lauten die Satze: 

-r 

' P n ( cos ^ } P 7l (&>$ & sin # d ^ = (m ^ 5 



/ ,P^ (cos #p siud d & = - 

2 w+ 1 " 



Kap 2 Die einfache Kugelfunktion erster Art 27 

Beweis. Stellt man sowohl P n (J)) als P m (x) mittels 
der Gleichung (18) 8. 24 als Differentialquotienten dar und 
setzt zur Abkiirzung 

A 



2*. r 
so wird 



-1 -1 

Durcli teilweise Integration kann man den Index des einen 
Differentialquotienten erniedrigen und zugleich den des 
andern erhohen, und zwar wollen wir, wenn n>m 1st, n 
erniedrigen, m erhohen. Die einmalige teilweise Integration 
ergibt 






-i 

Der erste Summaod der rechten Seite verschwindet; denn 
der ( l)4e Differentialquotient yon (a; 2 l) n enthalt den 
Faktor a; 3 1, und dieser Faktor verschwindet fur die 
beiden Grenzen x=+ 1 und x= 1 . Ebenso verschwinden 
auch die niedrigeren Differentialquotienten von (a; 2 l) tt 
an den Grenzen. Durch m-malige teilweise Integration 
erhalt man daher: 



Hier ist der zweite Faktor unter dem Integral konstant 
= (2w)!, und da w>0, so wird 

(22b) /-(-If O.(2)l 



Der ( w l)-te Difierentialquotient yon (x 2 l) n ent- 
halt aber den Faktor (a; 9 I)* 1 * 1 , verschwindet also fiir 
die Grenzen. Damit ist die Gleichung (20) fiir n > m 
bewiesen. 'Analog wird der Beweis fiir m>n. 



28 I- Jha Tvichtigsten Eigenschaffcen der Kugelfunktionen. 



Fur den Fall n m veriahren wir ebenso, d h. wir 
vermindera durch fortgesetzte teilweise Integration den 
Index des einen und erhShen den des andern Differential- 
quotienten in (22). Durch w-malige Anwendung dieses 
Yerfahrens ergibt sich die Gleichung, in die (22a) fur n = m 
ubergeht, d. h 

/"* f]2f t '.,2 _ \\n 

tr*l)nl_:V dX) 

d.b. wegen der Bedeutung von J und C [Gl. (22) und 
fiir n = m 

-M +1 



(22d) p wt r,;^^(_l)(_l-y.f2n)! /(*-!) d*. 

-li ^ * * -i 

Fiihren wir in dem Integral der rechten Seite an 
Stelle von x die Integrationsvariable & durch die Sub- 
stitution X CQS& ein, so wird 



und dies Integral hat ; wie bekannt, den "VTert 



Die recline Seite von (22d) wird daher 

2*4. ., 



und damit geht (22 d) in die zu beweisende Gleichung (20a) 
uber. 

h) Anwendungen der Integralsatze. Eekursions- 
formeln fiir die Kugelfunktionen. 

Wenn man weiB, daB irgendeine Funktion f(x) sich 
in eine nach Kugelfunktionen fortschreitende Eeihe ent- 
wickeln laBt: 

(23) /-Z^P.(aO, 



Kap 2 Die einfache Kugelfunktion erster Art. 29 

so kann man mittels der IntegraMtze (20) und (20a) die 
Koeffizienten A^ der Entwicklung bestimmen. Multipliziert 
man namlich (23) mit P n (x) und integriert gliedweise 
zwischen den Grenzen 1 und -f 1 > so verschwinden nach 
(20) auf der rechten Seite alle Integrate, in denen v von n 
verschieden ist, wShrend (20a) den Wert des Integrals fur 
v = w bestimmt; es wird also 

-LI j-i 



(23 a) 



-i -i 

Durch dieselbe Argumentation, die zur Bestimnaung 
von An fiihrte, ergibt sich auch, daB, wenn eine Funktion 
f(x) sich in eine nach Kugelfunktionen fortschreitende 
Eeihe entwickeln lafit, diese Entwicklung nur auf eine 
Art rnoglich ist, oder anders ausgedruckt, dafi, wenn zwei 
nach Kugelfunktionen fortschreitende Eeihen 

a; und 



fur alle Werte von x gleich sind, die Koeffizienten der 
Kugelfunktionen mit gleichem Index in beiden Eeihen 
dieselben sein miissen. 

Die Frage, unter welchen Bedingungen man eine 
Funktion f(x] in eine Eeihe von der Form (23) entwickeln 
kann, wird spater in Kapitel 6 erortert werden. In einem 
Falle lafit sich die Moglichkeit der Entwicklung sofort 
zeigen, namlich wenn f(x) eine ganze rationale Funktion 
von x ist. Zunachst lafit sich jede ganze Potenz von x 
durch eine endliche Summe von Kugelfunktionen darstellea 
Aus den Ausdriicken (4a) S. 13, die P n (x) fur die ein- 
fachsten "Werte des Index n angeben, folgfc: 



Setzt man die Ausdriicke fiir x 1 und x 3 in die Gleichung 
fur PS (x) ein, so erhalt man die analoge Darstellung fur 



30 I Bie wiciitigsten Eigensckaften der Kugelfunktionen. 

x** , und allgemein ergibt sich aus der Gleichung (4) S. 12 
fiir P n (x) der entsprechende Ausdnick fur x n , falls die 
Potenzen x n ^\ w - 4 .... durch derartige Reihen dargestellt 
werden konnen. Durch den SchluB von n auf n + 1 ge- 
langt man demnach zu eiaer Reihe fiir x n von folgender 
Form: 



(24) &-A n Pn'z t -^-*iP n -2fr-An-*Pn 

Die Reihe schlieCt fur gerade n mu AoPofa), fur ungerade 
n mil AiPi(x). LaBt sich aber jede ganze Potenz von a 
durch eine endliche Summe von Kugelfunktionen aus- 
driicken, so gilt dasselbe fur alle gauzen rationalen Funk- 
tionen von #. 

"Wir wollen das Ergebnis auf mehrere Beispiele an- 
wenden und fiir diese die Koeffizienten der Reihe be- 
stimnien. 

I. Erf soil ~i~i i n eine nach Kugelfunktionen fort- 
ax 

schreitende Reihe entwickelt werden. 

Aus (4;S.12 ergibt sich, daB ^ ' nur die Potenzen 

ct x 

xP^ 1 , x n ~~",' l ~'*, . .. enthalt. Demnach enthalt die gesuchte 
Reihe nur die Kugelfunktionen mit den Indizes n 1 , 
n 8 . p 5 , . . . d. h. es ist 



worin 

^<m<n und v m iingerade 

ist. Gleichung f23a, lautet hier: 






*6 # "* / P M n *- /? j* 

-' ^"~ 2 j Fm( ^a^ dj - 

Femer foigt aus 25 un-T J 20/ 



f -j 
dr 



Kap 2. Die emfache Kugelfunktion erster Art, 31 

Ebenso 1st, da n>m 



M 
,26a) <\ 



Addiert man die mit ^ multiplizierte Gleichuag 1 26a) 
& 

zu (26) ; so ergibt sich 



-i 



Fiir x = +l haben P W ^J mid P w (j?) den Wert 1, fiii 
jr,= i dagegen den Wert ( l) w , resp. (I)" 1 , das Produkt 
P n P m wird also 1 fiir rc = +l, dagegen, da n m un- 
gerade, =1 fur x = 1. Deranach wird 



ir haben somit folgendes Eesultat: 
(27) ^-(2n-l)P n -, 



T[. Wir entwickeln noch das Produkt x ^ nach 

dx 

Kugelfunktionen. Nach dem vorher Gesagten hat die 
Entwicklung die Form 



wobei 

w<w ? w m gerade 
ist. Ferner ist 



oder, wenn teilweise integriert wird, 



32 I Die wichtagsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 

f28a) ^^Tl^Pn ^Pm^ 

~ -1 



Da /* m gerade i&t, so hat das Produkt x P n P m fur 
x*=~ 1 den Vert 1, wahrend iur x = -rl sein Tert 
1 ist. Daher hat der erste Summand der rechten Seite 
von (28^ den Wert 2, Ferner ist ffir m<n sowohl der 
zweite, als der dritte Summand gleich Xull, der erstere 

direkt nach (20) S. 26, der letztere deshalb, weil x -f^-, 

nach Kugelfunktionen entwickelt, nur Funktionen enthalt, 
deren Index kleiner als n ist. \Vir haben daher 

G*> =(2i 1), falls m<n. 

Fur m == n dagegen f olgt der Wert des zweiten Sum- 
manden ans (20 a j, und der dritte Summand ist fiir w = 
das in (2S) anftretende Integral, somit ist 

2 2 2 

woraus 



folgt. Wir haben also 
129- ^= 



Die Reihen (27) und (29) haben als letztes Glied beide 
entweder l.A(o;), oder S.P^j 1 ), 

Aus den Reihen (27 und f^29) ziehen wir noch fol- 
gende Folgerungen: 

la, Wird in (27j einnial -f-i, podann n i an Stelle 
von n gesetzt so hat man 



Kap. 2 Die einfache Kugelfunktion erster Art. 33 

Subtrahiert man beide Gleichungen, so folgt 

(30) )_W 



eine Gleichung, die fur # = cos# die Form annimmt: 



Fur n = Q geht Gleichung (30) in folgende iiber: 
(30b) ^-Po(*). 

II a. Setzt man in (29) ebenfalls einmal n-t- 1, sodann 
M 1 an Stelle von n und subtrahiert die dadurch ent- 
stehenden Gleichungen, so erhalt man 

*P,+i(aQ JPn-i 



(+ 1) P n+i (x) + (2 -1) JVa (a;)-f (2-5)P n _ 3 () 



- ( - 1) P n _i () - (2 n - 5) P B _s (*) - (2 tt - 9) P n _ 6 (ap) - . 
_! (as). 



Driickt man den zveiten Faktor der linken Seite mittels 
(30) aus, so folgt 



(31) (2 M + 1) * P B (*) = (+!) P n+ i (x) + n P n _j () . 

Damit ist eine Eekursionsformel gewonnen, welche die 
Werte von P mit drei aufeinanderfolgenden Indizes und 
demselben Werte des Arguments x verbindet, Durch suk- 
zessive Anwendung von (31) kann man aus Po(^) = l und 
P l (x) = x den "Wert von P n (x) fur jedes x berechnen. 
Fiir n^O geht (31) in folgende Gleichung iiber: 

(81a) xP*(x)-Pi(&). 

Wangenn, Theone des Potentials H. B 



34 I Die -Trichta-gsten Eigeaschaften der Kugelfanktionen. 

Kapitel 3 

Die Differentialgleiehung der Kngelfunktionen nnd 
die Eugelfimktion zweiter Art. 

a> P, t '2n genugt emcr linearen Differential- 

gleichung zweiter Ordnung. Doppelte Ableitung 

die?or Gleichung. 

Wendet man die Jacobische Gieichung (16), S. 24 auf 
den speziellen Fall y==l an, so lautet dieselbe: 



I)arch nochmalige Differentiation ergibt sicL: 

d i- , a'-i(^ 2 -l?l , ,, ^(^ 2 -i) 

i* -= ^ f/ 2 1) - T^ - ; - /=fcf 1} - ^ - *-. 

dx { ! dz r -~ l I dx n 

Xach IS ist aber 



dafi Gieichung (1 auch so geschrieben werden kann: 



oder, Tvenn man belderseits durch den konstanten Faktor 
2'*.?t! dividiert, 



oder 

2 a) - . - ^ -- n(n-rl}P n (z)*=Q 



Kap 3 Die Differentialgleichung der Kugelfunktionen usw. 35 

oder auch 

(2bj (l_^f)_2,l 



P n \X) genugt also emer linearen Dift'erentialg]eicliung 
zweiter Ordnung. 

1st x = cos & , so wird 

df(x)_ 
dx ~ 

und daher geht die Gleichung (2 a) in folgende uber: 



Folgerung 1. Aus der eben abgeleiteten Differential- 
gleichung f olgt, daB die Gleichnag P n (x) = keine Doppel- 
oder mehrfachen TVurzeln haben kann, Denn ware z. B 
z=5?o eine Doppelwurzel der Gleichung P n (x) = Q, so 

miiBte fiir X = XQ sowohl P n (x) selbst, als n ^ ^ ver- 

d of/ 

schwinden. Aus der Gleichung (2b) wiirde dann, da #r 

d z P (x) 
nicht = + 1 sein kann, folgen, daB auch ^ } fiir x = x^ 

OiX 

verschwindet. 

Differentiiert man ferner die Gleichung (2b) ? so folgt 



AYiirden nun fiir X~XQ P n und , n und damit auch _ ^ 

^a; eZa; 2 

verschwinden, so miifite, wie die letzte Gleichung lehrt, fiir 

d B P 

x = xs auch " verschwinden. Mit dieser Argumentation 
& x 

kann man fortfahren, indem man (2b) zweimal, dreimal usw. 
differentiiert und nach der Differentiation jedesmal X = XQ 
setzt. Aus der Annahme, daB XQ eine Doppelwurzel der 
Gleichung P n (x) Q ware, wiirde somit folgen, daB fdr 

3* 



36 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen 

, . , 
verschwmden 



miiBten. ^ ; ist aber, da ? eine ganze Funktion 

n-ter Ordnung ist, eine von Null verschiedene Konstante, 
Somit ist unsere Annahme unzulassig, d, h. die Gleichung 
P n (xj = Q kann keine Doppel- oder mehrfachen Wurzeln 
faesitzen. 

Folgerung 2. Die Differentialgleichung i2) gestattet 
eine neue Herleitung der Formel ( 20) S. 26. Multipliziert 
man namlich die Gleichung (2 a) mit P m (x), subtrahiert 
von dieser die Gleichung ; die sick aus ihr durch Yer- 
tauschimg von m und n ergibt, und integriert dann nach 
jc zmschen den Grenzen 1 und -r 1 , so ergibt sich 




Die ersten beiden Summanden von <3) integriere man teil- 
weise, wobei zu beachten ist, daB^l" x~] an den Grenzen 
verschwindet, so werden diese Sammanden 



sie heben sich also auf, so daB (3) wird: 

-i 



-i 



1st hierin TO n m Terschieden, so ist der erste Faktor von 
u verechieden daher mufi der zwite Faktor verschwiaden, 
und das ist die z 



a 
das ist die zu beweisende Gleieliung 



Kap. 3 Die Differentialgleichung der ELugelfimktionen usw. 37 

Zweite Ableitung der Diff erentialgleichung. 
Wir geben noch eine zweite Ableitung unserer Differential- 
gleichung, und zwar eine Ableitung, die den Zusammen- 
hang unserer Untersuchung mit ihrem Ausgangspunkte 
herstellt. 

In Kap. 2 [Gl.(2), S.li] ist der reziproke Abstand 1 Q 
zweier Punkte nach Kugelfunktionen entwickelt. Wir wen- 
den diese Formel auf den speziellen Fall an, daB r\ = 1 , #1= 0, 
inf olgedessen cos y = cos ^ ist. Zugleich sei r < 1 , dann ist 

1 

(4) ~ = ' [Jr 

^ 

Andererseits genugt 1 Q der Laplaceschen Gleichung 
jf )=0, d. h. nach Gleichung (12) des ersten Kapitels 
(S. 7) ist, da 1 j Q von <p unabhangig ist, 



Setzt man in (5) die Reihe (4) ein, so kann diese ohne 
weiteres gliedweise differentiiert werden. Denn bei der 
Differentiation von 1 i Q (1 2 r cos # + r 2 )* entstehen 

aus der Potenz mit dem Exponenten ^ mir die Potenzen 

Q K " 

mit den Exponenten , , . . . , und entwickelt man 

diese nach steigenden Potenzen von r, so sind die Kon- 
vergenzbedingungen genau dieselben wie die fur die Potenz 

mit dem Exponenten ^- . Konvergiert also die Reihe fur 

lj^ (und das tut sie nach S. 10 und 15), so konvergieren auch 
die daraus durch Differentiation hervorgehenden Reihen. Aus 
(4) folgt also 

a! 

^ r 2 _ co 

(4 a) 



38 I- Die vrichtigsten Eigenschaften der Kvigelfunktionen. 
.. 



ah- 

* * 



Naeh (5) ist die Summe der linken belt en von (4 a") und 
f4Vi gleick Xull, dalier ist auch die Suimne der rechten 
Seiten gleich Xull; und da das fiir beliebige TTerte von 
f < 1 gilt, so mlissen die Koefiizienten aller Potenzen von 
/ versohwinden, d h, es ist 



~ - -- -- 
and das ist die Gleichiing (*2c s die fiir co-.ft = x in (2 a) 



ie ei'ate Ableitung hat den Torzug. dafi sie auch fiir 
x >1 gilt, wahrend die zweite voranssetzte, dafi x reell 
i-t and zwischen 1 und 1 



i>) Da? allgemeine Integral der Differential- 

gleichung der Kugelf unktionen. Die Kugelfunktion 

zweiter Art. 

Wir wollen nunmelir die DiffereDtialgleichung (2) un- 
ftbhangig von ihrer Entstehung behandeln. Bezeichnen wir 
die abhangige Veranderliche mit ?/, so kutet die Gleichung (2): 

i6< f i-^ ( ^4-O vi ^_ w ( w _ 1 p / = . 

d i- dx 

Wir &uchen dieser Gleichung dnrch eine nach fallenden 
Potenzen von x forr-chreitende Eeihe z\i geniigen von 
der Form 



7 y 
]>ann \vird 



i_a a 1) nf l)]^ t c*- [!/ 1) n(w4-l)] 
-[. % 1 'a 2 wf'w-1 42jr- 2 -.. 



Hap 3. Die Dif erentialgleickung der Kugelfunktionen us\v 39 
und 



(a-2)(a-Z) A* %-*+.. 



Soil durch Einsetzen dieser Ausdriicke Gleichung (6 1 
erfullt werden, so miissen die Koeffizienten der einzelneii 
Potenzen von x verschwinden, d.h es muB 



sein. Die erste dieser Bediagungen erfordert, da A nicht 
= ist [denn A = Q wurde nur die Bedeutung einer An- 
derung der Bezeictmung haben], daB 

entweder a = n oder a= 



ist In* beiden Fallen ist a (a i) tt(tt-fi) von Null ver- 
schiedeD, daher erfordert die zweite Bedingung, dafi A=0 
ist. Die letzte Bedingung sagt aus, dafi At gleicli -Ift-.a? 
multipliziert mit einem endliehen Faktor, ist. Ist also 
J.fc_2 = 0, so muB auch ji? c =0 sein. Aus ^li=0 folgt also 



d. h. die samtlichen Koef fizienten J. mit ungeraden Indizes 
verschwinden. 

Zur Berechnung der A mit geraden Indizes unter- 
scheiden wir die beiden Falle a = n und a = (+!). Zu- 
gleich setzen wir in (8), da ft gerade sein mufi & = 2&', 
Dann lautet die letzte Gleichung (8) 

a) fur a = w: 



oder 
(8 a) 2^(2 w+l-2)k / )^'=-(w2i / +2)(n-2A / + 1)^-2 



40 I Die wichtigsten Eigenschaftea der Eugelfuuktionen. 

Setzt man in (3 a) an Stelle von k' der Reihe nach W 1, 
r-2,...,2,i;fiuri'lwd2(2w-l)A = --M(n-l)ui] 
und multipliziert alle diese Gleichungen, so folgt 

2.4, '2i')(2-l ; (2w--3;...r2--l--2t / j42k'-^ft'-2...42 

^ 



oder 

_ . .n-r . 

Jafe-l 1)" 9.4..(2//)i'2;;---' ' 

die Reihe (7, wird also 



. , v n-^l / (^2)..(n~2^Vl) 
^" l ; 2.4..'27/i(2w~l;(2w-3)..(2^2^+l) " l " 



Die Reihe brichr, dn H eine ganze ZaH ist, von selbst ab 
und ist, abgesehen von einem konstanten Faktor, ~ P n (#) 
[vgl, Gl. (4), S.12\ Damit ist unabhangig von der Ableitung 
der Gleichung (6; gezeigt, da8 C.P n (x) ein partikulSies 
Integral derselben ist, wenn G erne villkiirliche Konstante 
Lezeirhnet 

b\ Fiir a { n - 1) , I = 2 i' folgt aus der allgemeinen 
Gleichung (8) an Stelle von 'Sa) die Gleichung 

8b) 2 f 2 - 1 - 2 F; .-loy (n^- 2 V) (n-r 2 i'- 1) 4 2 ^-2 

[f Or 1'- 1 wird ; 8b i 2 M2 it -r 3j A - (n+ 1 J (w-h 2) 4 Wen- 
det man (Sb) wiederholt an, indem man ' 1, ft ; 2^..., 
1 an Stelle von f serzt, und nraltipliziert alle Gleichungec, 
so ergibt sich 



und die Seihe -7i \rird in diesem Falle 
(iOb, 



Sap. 3 Die Differentialgleickung der Kugelfunktionen usw. 41 

Die Reihe (lOb), in der, wic oben, A willkiirlich bleibt, 
stellt ein zweites partikulares Integral der Gleichung (6) 
dar, und zwar in Form einer unendlichen Reihe, die nach 
den allgemeinen Konvergenzbedingungen fiir \x\>\. kon- 
vergiert, far # = co verschwindet [Fur ;#|<i und #| = 1 
konvergiert die Reihe nicht mehr.] Gibt man in (10 b) der 
willkurlichen Konstante A den "Wert 



so bezeichnet man die Reihe mit Q n (z)> 

Mn x n / _ >^ ! f 1 

liuoj WW-ri- 



und nennt sie die Kugelfunktion zweiter Art. 

Daunt haben wir fur den Fall la:|>l zwei partiku- 
lare Integrale der Gleichnng (6) gefunden, und fiir diesen 
Fall ist das allgemeine Integral der Gleichung 

(11) y-CP n (x)^CTQ n (x) ) 

worin C und C' willkurliche Konstante sind. 

Fiir # = oo wird P n (x) = cQ, Q n (%), ^ie bemerkt =0. 
Sucht man also ein Integral von (6) ; das fiir #=oo ver- 
schwindet, so ist in dem allgemeinen Integral (11) (7=0 
zu setzen, d. h. das gesuchte Integral hat die Form 



c) Andere Darstellung der Kugelfunktion zweiter 

Art Q n (x). 

Eine andere Darstellung der Kugelfunktion zweiter 
Art, und zwar eine solche, die fiir beliebige x gilt und 
fur |#;>1 mit (lOc) iibereinstimmt, gewinnt man durch 
Anwendung einer schon von Euler angegebenen Methode ; 
die aus einem partikulSren Integral einer Differential- 
gleichung zweiter Ordnung ein andres abzuleiten lehrt. 
WeiB man, daD y^P n (x) der Gleiohung (6), S.38 geniigt, 
so setze 

(12) 



4& I. Pie v, ichtigsten Eigerschaften der Kugelfuiiktionen 

wo u eine Funktion von x 1st, und bestimme u derart, 
daB auch der Ausdruck (12i der Gleichung (6) genu'gt. Setzt 
man Jen Ansdruck (12) In (6) ein, so ergibt sich 

d P u j e? u d P n j?\ cP u 



FaBt mitii in (12a, die Glieder rait dem Faktor w zu- 
, ^o ^eben diese 



uind der Faktor v'on v versch^ indet, da P n (z) der Gleichung 
(6; genugt. Deiiinach reduziert sich die Gleichung (12a) 
uuf folgende. 



oder nach Division iiiit -= ^ 2 1} P n (x} auf 



12n d log V^ ' ^ 



' Q ^ log p n ( d log (a 8 - 1) Q 
~ ~~ ' 



dx ~ dx dx 

i!2b' laBr sich integrieren und gibt 



wenn log die Integrationskonstante bezeichnet, daher 
^ eiter 

.18. 

vl3b " 



Kap 3 Die Differeatialgleichung der KugelfunktioneL us-* 43 
tind 



Diese Losung 1st, da sie zwei willkiirliche Konstante K 
uad JEi enthalt, das allgemeine Integral von (6) A us 
ihr folgt fur K^Q } Ki = i die schon bekannte partikulare 
Losung y=P n (x), daneben fur Zi==0,5'= 1 eine zweite 
partikulare Losung r die wir einstweilen mit q*Jx) be- 
zeichneB, 

(15) g^ ^ 



Es soil zuaSchst gezeigt werden, dafi % n (x) i iir j x \ > 1 mit 
^ n (x) ubereinstimmt. Dazu ist g n (x) in eine Form zu 
bringen, die fiir groBe Werte von x die Entwicklung der 

rechten Seite nach steigenden Potenzen von - ermoglicht 
Dabei ist zu beachten, daB P n (ss) die Form hat 



worin 

,15.) g ,i.3...p,-l } 

; n! 

ist. Daher kann man (15) so schreiben: 




Fiir groBe Werte von \x kann man den Ausdruck 

1 _ 
// l\r, 01 2 T 2 
l 1 "?)^? 1 -^-] 

nach 'steigenden Potenzen von - entovickeln 



.... 

eine Eeihe, die sicher konvergiert, wenn j x \ grofi genug 
gewahlt wird. Fiir derartige Werte von re wird also 



44 I Die wichngsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 
15b) q n (?} = -.?K\ 



und hieraus erkennt man, daB die Funktion % n ($) fiir 
x oo verschwindet. Xach dem, was am SchluB von 
Xo b tS. 41) bemerkt ist, muB dalier fur alle 1 j; i > 1 



sein. Una C' zu bestimmen, midtipliziere man (16) mit 
t/ .n-i uri( i g^ zur Grecze fiir r = oo uber, so wird 



(16a; lim ^^^x}} - CMim 

-T = X " r = X 

Nun fol^t aus (15 a ttnd b 



und aus Gleichung fiOc. S. 41 ergibt sich fur 
Km l&'-iQnW] 

T=-X ~ 

derselbe Wert. Sorait geht i!6a) in 

1 = C' 
liber, und es ist fiir , r > 1 



lEt dem Ausdruck ilo) ist ein zweites partikulares 
Integral der Differentialgleichnng (6) gefunden, und zwar 
stellt ! 15j dieses z^eite partikulare Integral auch fiir Werte 
von $ <1 dar, wahrend zugleich fiir \x >1 die Funktionen 
q n und Q h identiseh M'erden. Die Funktion q n ist also 
von beiden die nmfassendere, sie enthalt Q n als besonderen 
Fall. Da es ublich ist, das zweite partikulare Integral 
von (6, fiir alle x mit Q n ( t c' zu bezeicnnen, so wollen wir 
von jetzt ab statt q n t r,) setzen Q A y?) d. h. wir wollen 
Q^U' nicht, wie vorher ; durch die Eeihe (lOc), sondern 
durch das Integral (15j definieren; fiir '#!>! gilt nach 
dem Gesagten dock die Reihe (lOc). 



Kap 3. Die Drfferentialgleiclmng der Kugelfunktionen us\v 45 

d) Folgerungen aus der Integralstellung von Q n (rf- 
Rekursionsformeln fiir Q n (x) 

Aus dem Integral (15) fur Q n (x) ergibt sich, daB 
Q H (jf) fiir # = -!-l und x = 1 logarithmisch unend- 
lich wird, wahrend Q n (x) fiir alle iibrigen endlichea 
Werte von x endlich ist. 

Um das nachzuweisen, zerlegen wir die zu integrie- 
rende Funktion von (15) in Partialbriiche. Da die G-leichung 
P n (x) = lauter reelle, voneinander verschiedene Viirzeln 
hat, die mit MI, $3, .., x t , . ., x n bezeichnet werden 
mdgen, so ist 



wo die Konstante C dieselbe ist, wie oben [GL (15 a), 8.43], 
und die PartialbruchzerlegUDg hat die Form 

Mm ~ A , v i.y ^ i yt ^ 

^ / //*2 H\ rr> /M2 ^ i ., i i T^ / ./- . \s^ 7 . 



Multipliziert man (17) nut re 2 1, setzt nachher o; = -|- 1, 
resp. # = 1 und beachtet, daB P n (1) 1 , P n ( 1) = ( l) n 
ist, so folgt 

(17 a) =-|,&=1. 

Multipliziert man ferner (17) mit (x #,) 2 , so wird 

(17b) 



wo durch { . . . } eine Summe angedeutet ist, deren einzelne 
Summanden fiir x = x t endlich bleiben. Nun ist 



falls P n '(x) den Difierentialquotienten von P n (x) bezeichnet. 
Setzt man daher in (17b) x*=x t , so ergibt sich 



46 I- Die wichtigsten Eigensokaften del Kugelfanktionen. 
TJm Bt zu erhalten, differentiiere man (17b) nach x: 

(s)-(s-aj) P n '(x) 



und setze hierin =. Der Bruch 



nimmt fiir ^ = ^ die unbestimmte Form ~ an. Urn den 

wahren Vert zu erhalten, ist Zahler und Nenner nach $ 
zu differentiieren und nachher erst x~Xi zu setzen. Das 

1 1 P"(ay) 

' 



Fiir z = a:i geht somit (17d) in folgende Gleichung fiber: 
2^ 1 2 __ 1_ 1 P/fo) 

(V-l) 1 [P.' 1 "*"' *'' ' a ~ 
oder 

(17e) ^(^ 

Nun gilt fiir beliebige x die Differentialgleichung (2b), 
S. 35, die in unserer Schreibweise 



lautet; und setzt man hierin M = XI, so wird die rechte, 
daher aizch die linke Seite =0, miihin folgt aus (17e) 

(17f) A0. 

Die Partialbruchzerlegung (17) ergibt daher, da alle Bi 
verschwinden, 



worin die A^ durch (17e) bestimmt sind, und es -wird 



Kap 3. Die Diifeientialgleiclrung der Kugelfunktiouen usw. 17 



--l 
und welter nach (15) 

(19) ^ (a; ) = P n 



Da alle Xenner x x t in P H (x) als Faktoren enthalten 
sind, so heben sicli bei Ausfiihrung der Maltiplikation im 
letzten Summanden der rechten Seite von (19) alle ISTenner 
fort; jener Summand ist also eine ganze Fanktion (n l)-ten 
Grades, die wir mit jR n _i (x) bezeichnen pollen. Es ist 
also 

(19 a) ^--g 

Aus (19aj kann man die zu beweisende Eigenschaft der 
Funktion Q n (x) unniittelbar ablesen. Allerdings ist die 
Funktion Q n (&) nicht eindeutig, sondern besitzt die Viel- 
dentigkeit des Logarithmus. Doeh ist diese Vieldeutigkeit 
insofern besehrankt, als fiir positive reelle Werte von x t 
die >1 sind, der reelle "Wert des Logarithmns zu nehmen 
ist. TJbrigens macht die in Kede stehende Vieldeutigkeit 
fiir die Anwendungen nichts aus, da bei diesen nur solche 
Argnmente von Q n auftreten, die reell und groBer als 
1 sind. 

Fiir die einfachsten Werte des Index n lautet die 
Gleichung (19a): 



Hieraus f olgt 
(19c) 

Diese Gleichung bildet einen speziellen Fall einer allge- 
meinen Eekursionsformel, die der Formel (31) 8. 33 analog 
ist, namlich 

(20) 



48 I. Die wichtigsten Eigenschaften der ELugelfunktionen 

d. h. die RekursioDsformeln fiir Q n und P n sind identisch, 
mit einer Ausnahme allerdings. Fiir n = wird, wie sich 
aus U9b) ergibt, 
(20 a) Q*.(x) JLQi>(& l 9 

seiche GleichuDg mit (31a) S. 33 nicht identisch ist 

Die Gleichung (20) leitet man fur AVerte von \ x \ > 1 
am einfachsten aus der Reihe (lOc) [S. 41] ab, indein man 
die&e mit f 2 n 1) c multiplizien und da von die Reihe fiir 
nQ n ~i Uj abzieht. Dann erMlt man naeh einer einfachen 
Reduktion die Reihe fiir ( l}Q n +i(x). In ahnlicher 
Art ergibt sich auch die weitere, der Gleichung (30) S. 33 
analoge Formel 



an deren Stelle jedoch fiir w = die folgende, mit (30b) 
S. 33 nicht identische Form el tritt: 



Zusatz. Aus der Integraldarstellung (15) fiir Q n (x) 
ergibt sich noch folgende Beziehung, die spater ihre An- 
wendung finden mrd. Differentiiert man (15), so erhalt 
man 



, 

' 



dx ~ (x 2 -l}P n (x) ' dx P n (x) 
oder 



und diese Gleichnng gilt auch fur w = 0. 

Bemerkung. Bei der Definition von Q n (z) y die in 
der Wahl des Vertes 1 fiir die Konstante K [S. 43] 
liegt, habe ich mich Heine angeschlossen. F. Neumann 
wiihlt fiir K den doppelten Vert, so daJB unsere Funktion 
Q n die Halfte der F. Xeumannschen Funktion Q n ist. 

Andere die Funktion Q n betreffende Formeln iibergehe 
ich hier: eine von f!5) verschiedene Integraldarstellung 
dieter Funktion wird sich gelegentlich der Anwendungen 
in Abschnitt IH, Kap. 1 ergeben. 



Kap.3. Die Differ entialgleichtmg der Kugelfunktionen usw. 49 

e) Die Differentialgleichung der Kugelf unktionen 
fiir den Fall, daB der Parameter n keine ganze 

Zahl i&t. 

1st vermoge der Definition von P lt (x), aus der die 
Differentialgleichung (6) S. 38 abgeleitet ist, der Parameter 
n auch auf ganzzahlige positive Werte beschrankt, so kann 
man hinterher doch die Untersuchung auf Differential- 
gleichungen ausdehnen, die dieselbe Form wie jene Glei- 
chung (6) haben, in denen aber n ganz beliebige "^Yerte 
annehmen kann. Hier stellt sich nun zwischen dem Falle, 
in dem n eine ganze Zahl, und dem, in dem n keine ganze 
Zahl ist, ein wesentlicher Unterschied heraus. Wahrend 
namlich fiir ganzzahlige n die Gleichung (6) eine partikulare 
Losung P n (x) be&itzt, die sowohl fiir A -f- 1, als # = 1 
endlich ist, gilt ein Gleiches nicht mehr, falls n keine ganze 
Zahl ist. In diebem Falle existiert keine Losung von (6) ; 
die gleichzeitig fiir # = -~l und x = l endlich ist; viel- 
mehr wird diejenige partikulare Losung von (6), die fiir 
x = + l endlich ist, fur x = 1 unendlich; und umgekehrt 
wird die partikulare Losung, die fur # = 1 endlich ist, 
fiir x = -\- 1 unendlich. 

Beweis. Wir entwickeln die Lt>sung der Gleichung 
(23) (i_ a; 



in der Q eine beliebige Zahl sei [fiir reelle Q kbnnen 
uns auf positive Werte von Q beschranken ? da das 
Produkt Q (Q + 1 ) fiir Q *= ft und Q = ( ft + 1) denselben 
Wert hat], nicht nach Potenzen von #, sondern nach 
Potenzen von 1 x. Das geschieht am einfachsten, indem 
wir an Stelle von x die neue Veranderliche .sr durch die 
Substitution 



(24) ,- 
einfiihren. Dann geht (23) in 

(25) J ,(l_ 



"Wangerin, Theone des Potentials JL 



50 I- Die wichtigs:en Eagenacliaiten der Kugeifunktionen 

hber. Wir suchen eine L8sung dieser GleichuBg, die nach 
steigenden Potenzen von 2 fortschreitet : 



(26) y 

Die Ein&etzung des Ausdrucks *26} in f25j ergibt 



- i f - 1 ) ^o P - i a - 1) ~ 2 ) A i * a - i - , . 

" 



uud damit diese Gleichung fiir beliebige z gilt, miissen die 
Koeffizienten der einzelnen Potenzen von ? yerschwinden, 
also 



(a 1 2 *li o *Q 1 < </ a i j -4o = , 

f f S; " J.fc -- [^ ( 1 j ~ J* 1) (<7 -r A*) i -^ ' v 1 = B , 



.27) 



Die erste dieser Bedingungen erfordert 
(28 ' a - ri : 

denn A^ ** D wiirde A\ = , A* = \ , . . . A* = n , . . , also 
i/ = zui* Folge haben. Die fibrigen Bedingungen (27) 
nehmen daher die Form an 



und daraas folgt 



A us (^Sb) erkennt man, daB, falls eine ganae positive 
Zahl 1st. die Eeihe bei l**q abbricht; denn fiir i = f4-l 
vvird -1 : = 0; imd fiir neffarive ganze Zahlen 9 wurde die 
Jteihe bei J-=.-_^_i; abbrechen. Fur den Fall, dafi ^ 



Kap. 3. Die Differentialgleichung der Kagelfunxtiouen usw 5 i 

eine ganze positive Zahi = ?/ j-jj, ergib* ^i-.h also die 
Losung 



. 

Das IST eine gauze rationale Funktion ^-ten Grades von 
z und daher von i/'. Ans den friiheren Untersuchungen 
wissen wir, daB P w (^) die einzige ganze Funktion ist, die 
derDifferentialgleichung (6) S. 38 fd. i. der Gl. (23) fiir den 
Fall Q = n] geniigt. Somtt mnB die Eeihe (29) bis auf einen 
konstanten Faktor mit P,, (x) tibereinstimmen. Fiir ^ = 
ist x=l und P n (!) = !, daher wird die Eeihe (29) fiir 
Ao = 1 mit P A (x) identisch. und wir haben, wenn wir 

8 =-g(l a setzen, eine neue Reihe fiir P n \ /) gewonnen 

Ist aber ^ keine gauze Zahl, so verschwindet, da I 
eine ganze Zahl bezeichnet, der Zahler von A\ fiir keinen 
Wert von fc. Die Reihc (26) bricht dann nicht ab. 

Um die Konvergeiiz dieser fieihe zu untersuchen, 
bilden wir den Quotienten zweier aufeinanderfolgender 
Glieder: 



A, ' (jfc+l? ^ (*^l? 

derselbe ist i'tir hinreichend grofie k und ? ' < 1 stets < t 
Fiir |*i < I konvergiert daher die Reihe (26) 

Um ihr Verhalten fiir 2^= i zu ennitteln, beachte man, 
falls A'>^(^-f-l) ($ werde als reell vorausgesetsst) 



" A 



ist. !Nach (30") wird daher 



Ist ft' die kleinste gan#e Zahl, die >#(4-l), so setze 
man in C31) der Reihe nach = &', S'+l, .., ^'-rp, so 
wird 



52 I Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen, 
Av^i iT - 1 Q i $ -r 1)" > A- [/' l ^ 1)] 



1st 



-~ 7 .- - - r> 

' 7- o ( Q T 1 r 

wird also 



,32a) 

daher 
i 33 



\ 

)!' 



In ("33 j bildet al>er der Faktor von /- ftir ^) oo eine 
livergente Reihe, d. h. 

f34*j lim fJ/f-r-d-._i .. Av+ p )=*oa 

P=K 

inithin konvergiert die Eeihe j V 2b; nur fur j % \ < 1 ; ist aber 
fwc z = 1 unendlich groB. Da sich f iir a nur ein Wert 
ergeben hat [Gl. ^28)], und da den Werten ^ = -f 1 und ^= 1 
die Werte ^ = nnd z == 1 entsprechen, so haben wir 
folgendes Eesultat: Ist q keine ganze Zahl, so hat die 
Diiferentiaigleichung (23) nur ein partikulares Integral, 
das fdr 1 A <2 konvergiert: fiir 1 p;~2 oder #== 1 
\vird dies partikulare Integral unendlich groB. 

Wiirde man in '23j"aii Stelle von & die Variable 

^ 
:i *(1 ^ ejnfahrta und die Looung nach steigenden 

Poten/en von xi tnt*nckeln, s> wuide man eine Eeihe erkal- 
ten. die fur /; = I endlich. fur ^ = 4-! aber unendlich 
ist. Daraas folgt also: Fiir den Fall, daB Q keine ganze 
Zahl ist, hat die Differentialgleichung (23) keine Losung, 
die gleiehzeitig fur ^ = ^1 und o? = 1 endlich ist. Eine 
Lo^img, die fiir .< =! und = i endlich ist, besitzt 
Iie Gleichang (23"; nur. wenn gleich einer ganzen 
Xahl ist. 



Kap.4. Die zugeordneten Kugelfonktionen 53 

Kapitel 4. 
Die zugeordneten Kugelfunktionen, 

a) Definition der zugeordneten Kugelfunkuonec. 
Wir kniipfen an die JReihe (17), S. 24 an: 
1 #(tf a I/" 



, 



2* ( 
_ 



in der man +v niit v vertauschen kann. In (Ij ist, wie 
wir gesehen haben, das erste Glied derrechten Seite=P n (x). 
Die Koeffizienten von cos(vc) fur y>0 nenrit man nun 
zugeordnete Kngelf unktionen erster Art und bezeich- 
net sie, nach Multiplikation mit einem passend gewahlten 
Koeffizienten, mit P WiV (a;), also 



Von den beiden Indizes n und v nennen wir n den Haupe- 
index und stellen ihn voran, v den Nebenindex. Der koii- 
stante Faktor c soil ferner so bestimmt werden, daB nach 
Ausfiihrung der (w+i>)-nialigen Differentiation die hochste 
Potenz von $ den Faktor 1 hat,*) d. h. daB 

*' - 2 n (2 n 1 ) . . . ( /t v -i- 11 = i 



*) Bei dieser Bestimmung des Faktors c schliefie ich mich 
Heiae an, von dem ich nur in der Bezeichnung abweiche, da 
Heine Pjf statt P ;Z , V sckreibt Abweichend davon definiert F. Neu- 
mann die Funktionen Pn^v(x), die er abgeleitete Kiigelfunktionen 
nennt, durch die G-leichung 



Bei Neumann wird also Pn(x) und P,o(as) identisch, wahrend 
unsere Definition den Nachteil hat, daB P n und P,o nicht iden- 
tisch sind, sondem sich um emen konstanten Faktor unterscheiden 
Einfacher werden bei unserer Definition die Eeihen for P jV (a;) y 
die G-renzwerte von x P t T(as) fur =*co, so wie verscMedere 
andere Formeln. 



54 I Bie wichtigeten Eigenschaften der Kugelfunktionen 
oder 



ifit, wobei fiir />, wie iiblich, unter 0! der "Wen 1 zu 
verstehen ist. Die Jacobische Formel (16), S.24 kann 
rnittels die q er BezeichmiDg auch so geschrieben werden: 



Mit Anwendu.ig der Formel (18, S. 2 1, kann manGleichung('2) 
auch so sehreiben: 



peaiell mrd 



><<: 



Einfuhning der neuen Bezeichnung kanu die 
Reihe li) so geschrieben werden- 



nl 



wo duren den Strich an dein Summenzeichen angezeigt 
werden soil, da^ fur v nur die Hiilfte des betreffenden 
Koeffizienten za nehmen, d.h. Jer Faktor2 fortzulassen ist. 
Au& dor oMgen Definition ergibt sich fiir P n ^(s) 
'lie Reihe 



Tiie, fails * ungerade ist, mit x l , wenn aber n v gerade 
ist 3 init ^ endet. Fern^r folgt ans der Gleichung (19), 
S. 25 folgende 3 dem laplaceschen Integral fiir P n (x) ana- 
'oge Integraldarstellung der zngeordneten Kngelfunktionen : 



-^ 

10 P >t 6) --..1 



ap.4. Die zugeordneten Kugelfunktionen. 55 

Endlich folgt, wie S.25 26, da8 die Gleichung 



lauter reelle Wurzeln hat, die saintlich zwischeu i und 
f 1 liegen. DaB die Wurzeln voneinander verechieden sind, 
ergibt sich : wie 8. 35, aus der Gleichung (12), 8. 56. 

b) Die zugeordneten Kugelfiinktionen zweiterArr 

Diese hSngen in ahnlicher Weise von der Funktion 
Q n (x) ab, wie die Zugeordneten erster Art von P n (#), nur 
wird dabei dern konstanten Faktor der rechten Seite von 
(2b) ein andererWert erteilt. Wir definieren also die Zu- 
geordneten zweiter Art durch die G-leichung 



Setzen wir fur Q n (x) die Reihe (iOc), 8. il ein, so 
folgt fur 'j)\>l folgende Reihe: 




2.4.(2fl+8)(2- i -~5) 



[Die gliedweise Differentiation jener Eeihe (10 c) 1st ge- 
atattet, da fur |^i>l sowohl diese Reihe, als die daraus 
durch Differentiation eiitstehenden absolut konvergieren.] 
Durch (6) ist aber Q n ; (x) nicht nur fiir Werte von ]a:|>l, 
sondern fiir beliebige a definiert. ]S T imnit man fiir Q n (x) 
den Ausdruck (19 a), S. 47, und beachtet, dafi der r-te Dif- 

ferentialquotient von -Q-lgf-; 7} den Faktor (# s 1)"' hat, 

u \X I/ 

so sieht man, daB Qn tV (x) einen Summanden rait deni 
Faktor (a/ 2 1)~^ besitzt, und dafi daher fiir a? = l und 
0; = 1 die Funktion njV (a;) unendlich wird. 

Ferner folgt aus (7), dafi Q n v (#) fiir a? = cso verschwin- 
det 3 und daB 

(8) li 



5G I. Die wich tighten Eigenschaften der Kugeifunktionea. 
Fur P n| ,f#j lautet die analoge Gleichung: 

/ru v ^>' r ' i 

(9) hm^-i. 

,17=2; * 

ScblieBlicb mag noch bemerkt werden, daB 



wirtl. 

cj Die Differentialgleichung der zugeordneten 

Kugelfunktionen Kekursionsformeln fur diese 

Funktionen. 

Different iiert man die Differentialgleichung (2 b), S. 3o ? 
der die Fimktioa P n ,X) genugt, y-mal, wobei v<n sei, so 
erhalt man 



Xuch (2b), S, 34 ist aber 

^P M ^/)_ 
^ ^ u \.A 1 J - .r^ T (XJ , 

uenn zur Abkdrzuug 



w r) 



gesetzt T^ird. Somit kann die Gleichung (ii) aucb so ge- 
schrieben werden: 



8 

U " ' 



Fiihrt man die DiffeieQtiation aus und multipliziert nach- 
her mit -j~ \ r lp ' , so ergibt sich folgende Differential- 
gleicliUE e ' fur P^,!/,: 



Kap.4 Die zugeoidneten Kugelhmktionen 



die man auc-h folgendermaBen sclireiben katin- 

d\l j*/ f *' ( 
(13.) --- 5- ^ 

oder, wenn 2 = cos & gesetzt wird, 



Da Qn(v) derselben Dlfferentialgleichung ^ie P n lXi 
geniigt ; und da Q n ,(x) ebenso von Q n (x} abhangt, ^\\ie 
Pfl,, v (x) von P n (x) (nur daB die oben mit C bezeichnele 
Konstante einen andern IVert hat), so gilt fur Q H . r (x) die- 
selbe Differentialgleichung [('13) oder(13a)] Tvie fiir P,,,, ( n 
1st daher die Differentialgleichung 

W-**>17 
(14) ---- 



gegeben, in der n und v ganze Zahlen sind und v<n ist ? 
so sind von dieser zwei partikulare Integrale bekannt, nnd 
ihr allgemeines Integral ist 

(14 a) y-i'P u) +*!&,(,/ 1, 

worin A und Ai \villkiirliclie Konstanten bezeichnen. 

Wir sind bisher von den Funktionen P n , v (x) und 
Qn,* (^) ausgegangen und haben aus den diese Funktionen 
definierenden Gleichungen die Differentialgleichung abge- 
leitet, der beide geniigeu. Geht man umgekehrt von der 
Gleichung (14) aus, so setze man, um deren Lb'sung z\i 
fin den, 

(15) ^_(|'i=I)'. f> 

so ergibt sich fiir g die Gleichung 

(16) (a;S_i) + 2 ( V+lj A -[j 



58 ^* I)*-- wichtigsten Eigenseiaften der K 

Sucht man dieser Gleichang durch emt nach fallendeu 
Potenzen von ; fortschreitende Reihe zu genugen: 

'17- z^^-rAi^-^Ai r~* ..... 

i-o ergibt sich durch eine ahnliohe Rechnung, wie sie 
S.3S 40 durchgefiihrt ist, dafl 

n i oder a~ 'n v 1; 

^eir muB, uiui welter fulgen fiir xwei Reilien. die mit 
*lem Fakrur von (p;- 1) auf der .rechten Seite der 
(ileiehungen 4s nnd (7) tS. 54, 55} ideBtisch sind. Auf diese 
Wei&e kann man also umgekehrt mis (14 s , jene Reihen (4) 
und (7) ableiten. 

Rekursionsformeln. ilultipliziert man die vor- 
-tehende Gleichung (11) mit (} <;' 1)* und benutzt die 
Gleichung ^2b^ die auf v t r 1 und i 2 anzuwendea ist, 
^o ergilit sich folgende Gleichung zwischen drei Zugeord- 
neten mil demselben Hauptindex /* und drei aufeinander- 
folgenden TFerteii de- Xebenindex r: 



^ * 2 1 . 

Eiiie andere funnel zwischen drei Zugeordneten mit 
demselben Xebenindes v und drei aufeinanderfolgeuden 
NTerten des Hauptindex n leitet man folgendermafien ab. 
Alan differentiiere die Gleichung (31), 8.38, v-mal nach x 9 
wodurch 



tsteliTj T md setze darin 



seiche Gleichung aus (30), S. 33, folgt, so wird 



Kap. 4. Die zugeordneten Kugelfuaktionen 59 

Letztere Gleichung multipliziere man mit (j-'^j- i)' und 
wende (2b) auf n, n 1, n 1 an, so erhalt man 

,19) ^.W-P^ .W^^jg^P-1 ^) 

(v< i). 



Da die fur die P n (^) benutzten Hilfsf ormeln auch fur die 
$n (^) gelten (vgL S. 47 48), so kann mau die zu (18) und 
(19) analogen Rekursionsformeln fur die Funktionen Q n ^ 
in derselben Art herleiten. 



d) Integralsatze fiir die Zugeordneten eroter Art. 

Den Seite 26 ff. abgeleiteten Integralsatzen fiir die 
Funktionen P n (x) lassen sich analoge Satze fiir die Zu- 
geordneten zur Seite stellen. Wir betrachten zunachst zwei 
Fanktionen P n ^(x) und P w , v (#), die denselben Neben- 
index v , aber verschiedene Hauptindizes n , m haben. Da- 
bei ist v kleiner oder gleich der kleineren der beiden 
Zahlen n, m. Dann gilt folgender Satz: 



(20) p f j) p t vU)a* o, 

falls m^n. 

B eweis. FiirP rti> ^) gilt dieDifferentialgleiehung (13 a), 
8.57. Multipliziert man diese mit P w , v (#), zieht dann von 
dem Produkt die Differential gleichung ab, der P m ^(%) 
genugt, nachdem man diese mit P n ,v(#) multipliziert hat, 
so erhalt man 

" 



(Der Kiirze halber sind die Argumente x in P n?v und P m , v 
fortgelassen.) Die Gleichung (21) integriere man nun nach 
x zwisclien den Grenzen 1 und + 1 , so ergibt sich, 
wenn man die beidea ersten Summanden teilweise integriert: 



60 I- Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 



-i 



In (2 la) verschwindet der erste Summand der linken 
Seite nach Einsetzen der Grenzen x = 1 und # ~ 1 ; 
die beiden folgenden Summanden heben sich auf. Mithin 
mufi der letzte Suinmand fiir sich verschwinden. Sein 
erster Fattnr [n (n -f- 1 ) m (m 1) ] verschwindet aber nicht, 
falls m<n^ also muB der zweite Faktor = werden, und 
das i^t die zu beweisende Gleicbung. 

Fur dea Fall t/i n verschwindet der erste Faktor 
des letzten Summanden von (2 la), diese Gleichung wird 
dann identisch erfullt Das Integral der linken Seite von 
(20) kann in diesem Falle nicht verschwinden, da die zu 
integrierende Funktion dann ein Quadrat, das Integral die 
Sumine von lauter positiven Summanden ist Um den 
Integral^ert fiir m n zu ermitteln, benutzen wir die 
Form el ("2\ 



wofur nach dem Jacobischen Satze [GLfl6), S.24] auch 



gesetzt werden kann. ilultipliziert man diese Gleichungen 
und integriert. so kommt 



,, 

-i 
wu zur Abkiirzung 

(22 a, 



Kap. 4. Die zugeordnetea Kugelfunktionen <3 

gesetzt 1st. Fur v = ist der Wert des Integrals ^22 
fruher ermittelt (8,28). Fur r>0 integnere man teil 
weise, so wird 

+ 1 

/_, /d n '-r v l (r~ _ IV* /7 

[p^)f te-c ( d d ^_* A 

-f-1 

*-*-' (x*l n d'^*- } <X 2 1 > 



-i 



Nun hat der (n v)-te Differentialquotient von (^ 2 I)' 2 den 
Faktor (x* l) v , verschwindet daher fur x = + l , da v>0. 
Integriert man welter noch (v l)-mal teilweise, so gilt 
analoges, und es ergibt sich 



-H 



-1 



i)?i AI t \2 / P / , \ P 

a . vi 1 ) / Jr n \JU I z^ 

-( ' 



-.-,, ^. va . .^jj-j-J 

[nach (18\ S.24 und (20 a), S. 26J. Da 



ist, so geht (23 a), wenn man fur C seinen Wert (22 a) 
setzt, in 



tiber, eine Formel, die ohne weiteres auch fiir v = (\ gilt 
[vgl. Gl.(2c), S.54]. 

Zusatz. Fiir die Zugeordneten gilt iioch ein anderer 
Integralsatz, in dem das Produkt zweier Funktionen mit 



62 I- Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktioneru 

gleichem Hauptindes and ver&chiedenen Nebenindizes 
anftritt. 

P., , U) P n , n j-^s = , (v^y) , 

-i 
der 4ch genau \vie Gleichung (20), S. 59 ableiten laBt. 

e". Die Differentialgleichuug der Zugeordnetea 

fur v>/?. 

Die Definition von P n ^\%) (s. S.53) setzt voraus, daB 
y eine positive ganze Zahl < n 1st. Fiir r > n verschwindet 
der (?? j')-te Differ entialquotient von i;/* 3 Ij^ 1 und mit ihin 

PivOri. 

Geht man aber von der Diierentialgleichung(14), S. 57 
aus, s. kann man in dieser dem Parameter v auch Werte 
erteilen, die > /? sind. Um das Verhalten der Integrate 
jener Gleichung (14j fur diesen Fall zu untersuchen, fiihren 
wir darin an Stelle von x die imabhangige Veranderliehe 
3 ein durch die Substitutiun 

,'25, -' = 1: '' 



so geht jene Gieichung in 

<2, --~_ ^ rf - 

rfr 

iiber. Welter fiihren wir auch an Stelle von y eine neue 
abhangige Veranderliche u durch die Substitution 



ein, 5.0 ergibt sich aus (26) fur u die Gleichung 
(28) *fi_e,^- 



Soll dieser Gleichung durch die nach fallenden Potenzen 
von z fortschreitende Eeihe - 

(29 , tf = $- ( i ? l ft ? a ** - 



Kap 4. Die zngeoidneten Xugelfunknonen f-> ; 

geniigt werden, so miissen nach Einsetzen von (2y) m r2^) 
die Koeffizienteu der einzelnen Potenzen von ^ ver- 
sch^rindeii. 

Das gibt folgende Relationen 

1; (a + 1 1 = , 



wobei C f o=l "M. Die erste Grleichung (30: erfordert, daft 

a = n oder a = (>? i i 
wird. Nehmen wir zuer^t 
(30 a) </ = /, 

so folgt aus der zweiten Gleichung (30) fiir belielige A 
(30 b) i(-2-T-l Z^ A = ( W 4-l Jif>' >'-ri M^-i. 

Nach (30 b i wird C\ = , wenn fc entwcder = w v 1 udei 
= w-f-l A\irJ. 1st nun zun'ackst v<n, so ist /i v1 eine 
positive Zahl < w 1 , die Zahl A-^" die von 1 ab wachst, 
erreicht von den vorstehenden beiden Werten, fiir die ^,= 
wird, zuerst den ersten, d.h. es ist 



und ebentio verschwinden wegen (30bj alle 
Die Eeihe f29) hat daher die Form 

(81) z^^-r'i^^-rfte"- 2 -..-^- 2"- ij< ' - 

[Tiir y = w \vird 2=> Jt j. 

Ist dagegen v eine gauze Zahl ^ n , &O i&t T> r -h t 
negativ oder gleich Null, w v -f 1 i verschwindet fiir 
keinen Wert von k, da ja A- positiv ist; f* Avird dann =0 
nur fiir A* = 1 , d. h. es ist 

0,-i-C, 
and die Reihe (29) hat die Form 

(32) w^^'-rG ^-^ft^-^-r..^^, (v>^i. 

Aus (27) ergibt sich im ersten Falle fur y eine Reihe 
von der Form 



t>4 I Die vichtigsten Eigenschaiten der Kugelfunkuonen. 



m zweiten Falle dagegen wird 



deu Reihen (31 a) imd (32 a) besteht folgender 
Cntersehied. Die erstere versclrvvindet, falls v > , sowohl 
fur 2=1 j als fur = [uud falls v = 0, 1st sie fur z=l 
und ,2 = endlich]: die zweite Eeihe verschwindet zwar 
.'uch fur ^=i ? Tnrd aber fur ^ = wegen der in ihr ent- 
halrenen negativen Potenzen von z nnendlich. 

Xinimt man fiir a den z^eiten moglichen Wert 

(33, = v/?lj, 

-o tiin, me sich au^ i30) ergibt, an Stelle der Gleichung 
30 b) die folgende: 



aua dur man erkennt, daB, da n,y,i' positive ganze Zahlen 
^indj keiner der Koeffizienten verschwindet, daB sich also 
iiir u eine unendliche Eeihe der Form 

,34, {s=s r-^" : -^^-'n-2 -Cj-e-^-^-r.-.tin infin.) 



e:*gibt, and diese A\ird fur = nnendlich, nm so mehr y. 
Aach fiir ^=1 wird die Eeihe unendlich; y hat dann 

i ie unbestimmte Form oc . Auf die nahere Untersuchnng 
uieser Unbestimmtheit soil hier nicht eingegangen werden.j 

Aus aLem Gesagten sehen wir ; wenn wii von dem Fall 
> = ab&ehen. in dem die Differentialgleichung (14), 8. 57 
a die der einfachen Kugelfunktionen iibergeht, dafi zwischen 

- ien Fallen v < n ond v > /i der folgende wesentliche Unter- 
-chied besteEt: 1st < > < n , so hat die Gleichung (26) ein 

:nd nur ein partikulares Integral, das fiir z = und &=1 ver- 
-oh\\mdet 1st dagegen v>n, so hat (26) kein partiku- 
'ires Integral, daf. zugleich fur r = und ?=! verschwin- 
uet. Yielmehr wird da^jenige partikul^re Integral, das fur 
fiir e = nnendlich groB. 



Kap. 5 Die Kugelfunktionen nut zwei Yeranderhchen, (j5 

Da (26) nur eine andere Form der Differentialgleichung 
fl4), -S. 57 ist, und da den Werten # = und # = 1 nach 
(25) die Werte #=i und # = 1 entsprechen, so hat auch 
diese Gleichung nur ftir den Fall v<Zn em partikulares 
Integral, das gleichzeitig fur # = -i-l und 2 = 1 ver- 
schwindet [im Falle v = endlich bleibt], wahrend fur v > n 
kein derartiges Integral existiert, vielmehr dasjenige, das 
fur x = 1 verschwindet, fiir x = -f- 1 unendlich wird, un J 
umgekehrt dasjenige, das fiir jc = 4- 1 verschwindet fiir 
x = 1 unendlich "wird. 

Das letztgenannte Resultat ergibt sich, \venn man in 
(14) ? S 57 an Stelle von cc die unabhanpge Veranderliche 



2 
einfuhrt und ebenso verfahrt vri.e oben. 

Zusatz. Falls in der Different! algleichung (26) zwar 
v eine ganze Zahl >0, n aber keine ganze Zahl ist, so 
fo]gt aus der Rekursionsformel (30), dafi weder die fiir 
a = w, noch die fur a = (w-r 1) sich ergebende Reihe at- 
bricht. Beide Reihen enthalten negative Potenzen von # 
und werden fiir # = unendlich. Demnach wird auch fiir 
die Differentialgleichung der Zugeordneten, falls in ihr n 
keine ganze Zahl ist, das Integral, das fiir x = 1 ver- 
schwindet, fiir x = -f- 1 unendlich groB, und umgekehrt. 



Kapitel 5. 
Die Kttgelftmktionen mit znrei Teranderliehen. 

a) Das Additionstheorem der Kugelfunktionen. 

Auf die Kugelfunktionen sind \vir durch Entwicklung 
der in raumlichen Polarkoordinaten ausgedriickten rezi- 
proken Entfernung zweier Punkte gef uhrt. In dieser Ent- 
wicklung [s. GL (2), S. 11] tritt die Kugelfunktion P n mit 
dem zusammengesetzten Argument 

(i) cos y = cos & cos &i 4- sin & sin &i cos (<p ^i) 

auf. Hier bietet sich naturgem&B die Aufgabe dar, 
P n (cosy) durch Funktionen auszudriicken, die aflein # ? A 

Wan gen a, Tlieone des Potentials IL 5 



66 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen, 

und <p <pt als Argmnente enthalten, Dazu leiten w eine 
partielleDifferentialgleichung ab, der P n (cosy), als Funktion 
von # und p betrachtet, geniigt Diese ergibt sich daraus, 
daB I\Q der Laplaceschen Gleichung geniigt, die, auf 
r'aumliche Polarkoordinaten transformiert, nach (12), 8. 7 



lautet. Setzen mr in diese Gleichung eine der beiden 
Eeihen (2), 8.11 ein ; so folgt [genau wie 8. 3738 bei der 
zweiten Ableitung der DiSerentialgleichung fiir 
fiir P n (cosy) die Gleichung 

* * o.d 



und einer Gleichung von genau derselben Form geniigt 
P ft (cosy), als Funktion von #1 und ft betrachtet. 

Ehe wir an diese Difierentialgleiohung Schliisse kniipf en, 
wollen w die Aufgabe in khnlicherWeise verallgemeinern, 
wie die Grundaufgabe S. 9 verallgemeinert ist, iiidem wir 
an Stelle von COST? und cos#i neue GrOfien x und #1 
einfiihren, deren absolute Werte auch > 1 sein konnen, 
wahrend die Winkel p und ^ beibehalten werden. Wir 
stellen uns also die Aufgabe, P n (#) mit dem zusammen- 
gesetzten Argumente*) 

(4) % = x 1 y^ fi 1 ya?j 8 I cos (<p pi ) 

durch Funktionen der einzelnen Argumente #, xi, y> yt 
auszudriicken, und zeigen zu dem Zwecke zunSchst, daB 
Pn(&] auch fiir ||>1 der Differentialgleichung geniigt, 
die aus (3) entsteht, wenn man darin x^wsft an Stelle 
von & als unabhangige Variable einfiihrt, 



*) Fur cos 5- = as, cos #1= 

sm^.sin^i^ 
daher das Zeiclien in z 




Kap, 5. Die Kugelfunktionen mit zwei Veranderliohen 67 
Nach den Regeln der Differentialrechnung iat 



da* 



uud 



S^tzt man hierin die sich aus (4) ergebenden Werte der 
partiellen Ableitungen von e ein, so wird 



cos ? 



In (5) kann der Paktor von , ^ ^ so geschrieben werden: 



und der Faktor von 






y^ a i 

so dafi die rechte Seite von (5) 

(Ba) v- 



wird. Der Ausdruck (5 a) ist aber, da P*(*) 9 als Funktion 



68 I Die wichfagsten Eigenschatten der KugelfunktioneD, 

von 8 betrachtet, der DifEerentialgleichung der einfaohen 
Kugelfunktionen geniigt [GL (2), 8. 34], 

-n(+ !)?. 
Mithin wird die Gleichung (5): 



oder aueh 



** 



und diese Gleichung ist fiir # = eos#, jsf=cosy mit (3) 
identisch. VermSge der Ableitung der Gleichting (6 a) 
(oder (6)) ist deren Gtiltigkeit aber nicht auf Werte von 
x und %i beschrUnkt, die, absolut genommen, kleiner als 
1 smd, sondern sie gilt fiir beliebige $ und XL. 

Da durch Vertauschung von x mit xi und p mit <p i 
z sich nicht andert, so geniigt P n (js) noch einer zweiten 
Gleichung, die aus (6) entsteht, wenn man statt x setzt 
xi und zngleicii statt <p setzt <pi. 

Nun ist P n (8) eine ganze Funktion von & von der 
Ordnung n. Setzt man darin fiir 8 den Ausdruck (4) ein 
und entwickelt die einzelnen Potenzen von 8 nach dem 
binomischen Satze, so enthalt der Ausdruck von P n (t) 
alle ganzen Potenzen von cos(^ pi) bis zur n-ten ein- 
schlieBlich. Jede ganze Potenz von cos(^> pi) lst sich 
aber durch die Kosinus der Vielfachen von p pi aus- 
drii<ien. Macht man das und faBt die Kosinus der gleichen 
Vielf ashen von p pi zusammen, so ergibt sich fOr PH($) 
die Form 



worin / eine Funktion von x und x\ ist Urn diese zu 
bestimmen, setzen mr den Ausdruck (7) in (6a) ein, so 

I i 1 \ / V / 7 

ergibt sich: 



Hap. 5. Die Kugelfunktionen mit zwei Veranderhehen. 69 

Soil eine derartige, nach Kosinus der Vielfachen von 
y> pi fortschreitende Summe ftir beliebige Werte von 
y y> verschwinden, so mufi der Koeffizient jedes einzelnen 
Kosinus verschwinden. Denn multipliziert man (8) mit 
cos v (<p fi) und integriert nach <p zwischen den Grenzen 
und 2?r, sd verschwinden nach dem schon 8. 25 be- 
nutzten HUfssatz alle Integrale, in denen" v von v f ver- 
schieden ist. Mithin folgt aus (8), daB fiir jedes v 



sein muB. (8a) ist aber die Differentialgleichung der zu- 
geordneten Kugelfunktionen, und da v eine ganze Zahi 
^, so muB f v die Form haben 

(9) fv^c.P^W + cJQ*^- 

Nun wird aber Qn,v(%) f&r % = + ! unendlich, also wtirde 
it P n 



auch f, und damit P n (#) fttr o? = l unendlich werden. 
Andererseits nimmt fiir ^ = +1 g den Wert +a?i an, und 
Pn(+:#i) ist fiir alle endlichen ri endlich. Daher muB 
in (9) der Koeffizient c' v verschwinden, so daB (7) in 

n 
(10) P n (*) = V C v P n , r (5?) COS V (f - ft) 



iibergeht. Darin ist c v eine Konstante in bezug auf a?, 
rauB aber noch von x abh&ngen. Hatten wir anderer- 
aeits den Ausdruck (7) in diejenige Differentialgleichung 
eingesetzt, die aus (6 a) durch Yertauschung von x mit Xi 
und y mit <p\ entsteht, so wlirde sich in ganz analoger 
"Weise fiir P H (*) statt (10) die Q-leichung 

n 

(10a) PW 

ergeben haben, in der A v in bezug auf a?i konstant ist^ wohJ 
aber von x abh&ngt Die beide'n Gleichungen (10) und 
(10 a) werden erfiiUt, wenn man 

n 
(11) P n (e) = V A n , P, r (<p) P B , r (i) cos v (y - ft) 



70 I- Die wichtigsten Eigensohaften der Kugelfunktionen, 

setzt, wo die Koeffizienten V* weder von x, noch von #1 
abhSngen, also wirkliche Konstante sind. 

Zur Bestimmung der Koeffizienten 7z n ,, dividieren wir 
(11) dureh ./., schreiben das Resnltat 




und gehen dann zur Grenze ^ = 00 uber. Fur A = wird 
auch * = co. Naeh Gleichung (7), S. 13 und (9), S. 56 ist 
aber 



Inn 



ferner folgt aus (4), S. 66 



folgt daher aus (11 a): 



= V *.. Pfi, * (id) COS V (jp jftl) . 

'=0 

Andererseits folgt aus der Gleichung (3), 8. 54, wenn wir 
darin statt ^ setzen n- (p pi) (und statt setzen .TI): 




dabei zeigt der iStrich an dem Summenzeichen an, dafi fiir 
v = nur die Halfte des betreffenden Koeffizienten zu 
nehmen ist Setzen wir die Ausdrilcke (12) und (13) fur 
[ft ]/i a 1 cos (jp fi)] n einander gleich, so miissen die 



Kftp. 5 Die Kugelfunktionen mit zwei Yeranderhchen 71 

Koeffizienten der Kosinus gleicher Vielfacher beiderseits 
dieselben sein. Wir erhalten also 



und fiir v = ist die Halfte zu nehmen, 

Damit ist die gestellte Auf gabe gelost. Gleichung (11), 
in der * durch (4), li n ^ t durch (14) gegeben ist, heifit das 
Additionstheorem der Kugelfunktionen. Da die 
Ableitung fiir beliebige Werte von und # gilt, kann 
das Resultat auch auf x = cos , #1 == cos i9-i angewandt 
werden, wodurch 2 in cosy tibergeht. Somit ist, wenn 
cosy den Ausdruck (1), S. 65, darstellt, h n ^ durch (14) ge- 
geben ist: 

(15) 

Bemerkt werden, mag noch, dafi nach S.5S,54 dieFunktion 
Pn aV (cos^) den Faktor (]/ cos 2 ^ l)* i v sin r # enthalt. In 
dem Produkt P n ^ (cos 5) P n%r (cos #1) verachwindet das 
Im agio are 



Die Funktion P n (cos/) wird haufig als Laplaoescher 
Koefiizient bezeichnet. 

Folgerung. Integriert man P n (cos y) nach pi zwischen 
den Grenzen und 2^ 3 so verschwinden auf der rechten 
Seite alle Integrale, in denen v>0; der Vert des Integrals 
fiir v = ist 2;r. Ferner ist wegen des Wertes von h n 
[Gl. (14)] und wegen des Zusammenhangs von P n mit 
P n [Gl. (2o), S. 54)] 

*n,o Pn,o (cos &) P w , (cos *9i) P n (cos d) P n (cos 5i) . 
Somit folgt 

2* 

(15 a) ^ (cos y)d?i = 2nPn (cos #) P (cos &i) . 

o 

b) Die Kugelfunktionen mit zwei VerS,nderlichen 
oder die allgemeinen Kugelfunktionen. 

Wir kniipfen an die partielle Differentialgleichung (3) ? 
S. 66 an und bezeichnen darin die abhangige Ver&nderliehe 
mit y , also an die Gleichung 



72 I* 3)ie wichtigsten Eigenschaften der Kngelfunktionen. 



sn 



in der w erne positive gauze Zahl ist. 2/=P^(cosy) ist eine 
partikulare Losung dieser Gleichung. Wir stellen uns nun 
die Aufgabe, die allgemeinste L6sung von (16) zu finden, 
die fur alle Punkte einer mit dem Radius 1 um den An- 
fangspunkt beschriebenen Kugel endlich und eindeutig ist 
j> und <p sind ja die raumlichen Polarkoordinaten eines 
Punktes dieser Kugel]. 

Wir suchen der Gleichung (16) durch eine LSsung 
von folgender Form zu geniigen: 

(17) *, = 0.<P, 

worin der Faktor 6 nur von ?, $ nur von p abhSngt. 
Setzt man den Ausdruck (17) in (16) ein, dividiert dann 
dtirch 6 . (5 und multipliziert mit sin 2 & , so ergibt sich 



(17a, s 
' 



In (17 a) muJJ jede der beiden Seiten derselben Konstante 
gleich sein. Denn differ entiiert man (17 a) nach y>, so 
wird die linke Seite = ; d. h. die rechte Seite ist in bezug 
auf <p eine Konstante; und da jene rechte Seite all ein 
von <p abhangt, kann jene in bezug auf <p konstante GrSJBe 
aueh nicbt ^ enthalten, ist also konstant Aus (17 a) 
folgt also 



Die Differentialgleiehung (17 b) hat bekanntlich folgende 
Lflsung: 

1) faUs c>Q, ist ^^ 

2) falls c<0 ; ist = 

3) falls c = Q, ist ^== 

A un( i -B be^eichnen jedesmal willkiirliche Konstante. Nun 
soli aber ^, und dainit ^ in alien Punkten der um den 



Kap. 5. Die Kugelfunktioneu rait zwei Veranderlichen 7& 

Anfangspunkt mit dern Eadius 1 beschriebenen Kugel 
eindeutig sein, 3> mufl daher fiir irgendein p and fiir 
o + 2;r denselben Wert haben; denn zu diesen beiden 
Werten von <p gehort derselbe Punkt der Kugel; d, h. <2 
muB eine run 2 TT periodische Funktion von <p sein. Daher 
1st die zweite L6sung zu verwerfen, die dritte hat die ver- 
langte Eigenschaft nur fiir J3 0, die erste nur dann, wenn 
YC eine ganze Zahl = v ist. Somit mu6 

(17c) $ = A cos (i> <p) + J5 sin (v <p) 

sein, wo v eine positive ganze Zahl oder !N~ull ist. [An 
sich konnte v auch eine negative ganze Zahl sein; aber 
negative Werte von v ergeben, da die Faktoren A, B will- 
kiirlich sind, nichts anderes als positive v.] 
Setzt man (17 e) in (17 a) ein, so wird 



und (17 a) geht in folgende Gleichung liber: 

(17d) 1 ***** 

^& a 6- 

Das ist die Differentialgleichung der zugeordneten Kugel- 
funktionen, allerdings die allgemeinere, in No. e) des Kap. 4 
behandelte, in der v auch >w sein kann. Aus dem dort 
Gesagten wissen wir, daB (17 d) fiir v>n keine Losung 
besitzt, die zugleich fiir cos ^- = -1-1 und cos^ = 1, d. h. 
in beiden Polen unserer Kugel, endlich ist. Da wir mm 
eine L6sung von^(16) suchen, die fiir alle Punkte unserer 
Kugel endlich ist, so konnen wir dem Parameter v in (17 d) 
nicht beliebige ganzzahlige "Werte erteilen, sondern nur 
solche, die <n sind; und fiir diese ist die einzige LSsung, 
die auch in~3en Polen der Kugel endlich ist 

(17 e) 0=<7.P n , v (cos#). 

Da B mit # zu multiplizieren ist ; und da das Produkt 
zweier willkiirlicher Konstanten nur meder eine willkiir- 
liche Konstante ergibt, kann (7=1 gesetzt werden. Wir 
sehen somit, daB jede L3sung unserer Differentialgleichung 



74 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen 

(16), die die Form (17) hat und auf der Einheitskugel 
iiberall eindeutig und endlich ist, die Form haben mufi: 

(18) y = P nt ,(m){Awa(r) + Bfa(vf)}, 

worin v eine ganze Zahl <n ist. Solcher LfJsungen gibt 
es (#+1), da v die Werte 0, 1, ..., n annehmen kann. 
Die Summe mehrerer oder aller dieser Ltfsungen, geniigt 
ebenfalls der Gleichung (16), da diese linear ist Als all* 
gemeinste LSsung der Gleichung (16), die auf einer Kugel 
iiberall eindeutig und endlich ist, ergibt sich also folgende: 

(19) Y n (&, <f) = P n . f (cos *) [Xcos (v <p) -h B v sin (v p)] . 



(Durch die Indizes an den Konstanten A, B ist ange- 
deutet, daB diese von Glied zu Glied verschieden sein 
kSnnen.) Die so erhaltene Funktion r(#,p), die (2n+l) 
willkiirliche Konstante enthalt, da JBb von selbst fortfallt, 
nennt man Kugelfunktion n-ter Ordnung mit zwei Ver- 
&nderlichen oder allgemeine Kugelfunktion oder auch 
Laplaeesche Kugelfunktion. Die in 35To. a) dieses Kapilels 
behandelte Funktion P n (cosy) ist ein spezieller Fall der 
allgemeinen Kugelfunktion. In P w (cosy) haben die im 
allgemeinen -willkiirlichen Konstanten A>, S r die speziellen 
Werte 



Ubrigens ist Y n (&,y>) eine ganze homogeneFunktion 
n-ter Ordnung von cos #*, sin & cos p und sin & sin <p. 
Das ergibt sich zunSlchst fiir die einzelnen Summanden 
von (19). Denn nach Gleichung (4) 8. ?4 hat P ntV (Gos) 
die Form 



(die konstanten Koeffizienten der zitierten Gleichung shad 
der Kiirze halber nur durch () angedeutet), und cos(r^) 
ISJJt sich, 'wie bekannt, nach Potenzen von cos^ und von 
sine? folgendermafien entwickeln: 



Kap. 5. Die Kugelfunktionen mit zwei Verknderhchen 75 

Daher ist sin" & cos ? 30 ein gauze homogene Funktion v-ter 
Ordnung von sin # cos y und sin & sin tp und cos n ~* # 
sin" & cos r ^ ist eine gauze homogene Funktion n-ter 
Ordnung von cos #, sin # cos <p und sin # sin p . Fur 
cos*-*^ 2 # sin* & cos y p ergibt sich dasselbe, wenn man 
dies Glied mit dem Faktor 

cos 2 & + sin a & cos 2 <p + sin 9 ?? sin 2 <p , 

der ja = 1 ist , multipliziert. Ebenso ist cos* 1 "*- 4 sin" ft 
QQSv<p mit dem Quadrat jenes Faktors zu multiplizieren 
usw.- JSTach der Multiplikation der einzelnen Summanden 
von P n)> ,(cos^) init den genannten Faktoren wird also, da 
die Summe von ganzen homogenen Funktionen derselben 
Ordnung wieder eine derartige Funktion ergibt ; P n , v (cos&) 
Qoavp eine ganze homogene Funktion n-ier Ordnung von 
cos & } sin ^ cos tp und sin & sin p ; ebenso P Wj ,, (cos ??) sin v tp 
und damit schKeBlich Y n (&,$>). 

YQ(&,&) ist eine ganze homogeue Funktion nullter 
Ordnung, d. h. eine Konstante. Ferner ist, ausgeschrieben, 



(008 19-) + (A* cos f + JBi sin p) P J?1 (cos #) 
= .-io cos ^ + * sin # f^'li cos f + -& sin p) 
usw. 

Der Faktor ^ von P^ iV ^cos &) ergibt im JResultat 
nichts ImaginSres. Man braucht fur ungerade v nur den 
willkiirlichen Konstanten A V ,B V rein iinaginSre Werte bei- 
isulegen. 

Folgerung. Die Summe zweier oder mehrerer Kugel- 
funktionen derselben Ordnung ergibt eine Kugelfunktion 
gleicher Ordnung. 

Denn sind F w (#,p) und Xn(d-,tp) zwei Kugelfunk- 
tioneii ^i-ter Ordnung, so sirid beide duroh Eeihen von 
der Form (19) dargestellt; nur treten in X n an Stelle der 
Konstanten A?, B*> andere Konstante C v , D v auf. Addiert 
man X n und Y n , so sind nur die entsprechenden Konstanten 
zu addieren, die Summe hat wieder die Form der Reihe 
(19). Ebenso bei mehreren Summanden. 

Da ferner eine Anderung der Konstanten A v) S v die 
Form der Ueihe (19) nicht verandert, so erhalt man, falls 
A v , J5 V einen von ?^ und (p unabhSngigen Parameter ent- 



76 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 

halten, durch Differentiation oder Integration der Kugel- 
funktion Y n nach diesem Parameter wieder eine Kugel- 
funktion w-ter Ordnung. 

Bemerkung. Die Funktion T n nennt man auch 
^Kugelflachenfunktion^ r n Y n , wo r den Radius vom An- 
fangspunkte bezeichnet, ^raumliche Kugelfunktion". Ferner 
werdendieFunktionen (18) von Thomson und Tait, sowie 
von Maxwell fiir den Fall Q<v<n w tesserale harmo- 
nische Funktionen" genannt, Sie verschwinden namlich 
auf gemssen Parallelkreiseu und gewissen Meridianen einer 
Kugelflache, nnd durch diese Kreise wird die ganze Kugel- 
flache in Kngelvierecke geteilt. Fiir den Fall v==n gehen 
die Vierecke in Kugelzweiecke iiber, weshalb die Funktionen 
in diesem Falle j,3ektorielle harmonische Funktionen a 
heiBen* Fiir v = endlicli werden die Funktionen nur auf 
gewissen Parallelkreisen =0, an Stelle der Vierecke treten 
Kugelzonen, und die Funktionen werden dann w zonale 
harmonische Fanktionen" genannt 

c) IntegralsStze der allgemeinen Kugelfunktionen. 

^ Satz I Sbd r w (#,j?) und 3^(*,p) zwei allge- 
meine Kugelfunktionen verschiedener Ordnung, so ist 

(20) 

Beweis: 3T(*,jp) genugt der Gleichung (16), S. 72. 
Multipliziert man diese mit 2^ (&, p) sin & d & d <p und 
integriert fiber die Kugelflache vom Eadius 1, d. h. nach 
& von bis TT, nach <p von bis 2?r, so ergibt sich, da 
die Reihenfolge der beiden Integrationen beliebig ist, 




Kap. 5. Die Kugelfunktionen rait zwei Yer&nderlichen, 77 

(In (21) sind der Kiirze halber die Argumente bei X m 
und 7 n fortgelassen.) Das zweite Integral der rechten 
Seite ist trotz des Nenners sin# endlich, Denn bildet 

man aus (19) -j-) so fa'llt das von <p unabhangige Glied 

(d. h. das aus v = entstehende) fort, und fur v>0 hat 
P ftiV (cos$) den Faktor sin v ^-, so dafl sich der Nenner 
sin-tf- forthebt, Durch zwehnalige teilweise Integration 
wird nun 

(21a) [^ Zmif J Y ^ i9i 



da bei der teilweisen Integration die vom Integral freien 
Glieder verschwinden (7 n und seme Ableitungen nach ^?, 
desgleichen 2^ und seine Ableitungen haben ja f iir y 
und $0 = 27r denselben Wert). Ebenso erhalt man durch 
zweimalige teilweise Integration, da sin $ an den Grenzen 
verschwindet, 



(21b) 





VermSge (21 a) und (21b) geht (21) in 

2^t * 

*.(.+i) Lfr.!, 










iiber. Der in Klammern stehende Ausdruck in dem Integral 
der rechten Seite von (21e) ist aber = m(m+ 1) X m , da 



78 I. Die wichtigaten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 

X m ebenfalls der Gleichung (16), S. 72 geniigt, darin n 
dureh m ersetzt; d. h, es ist 

2 n In n 

*A^ . 

oder 
(21d| [n( 

Da n(w + l) (f+l) von Null verschieden ist, muB 
der zweite Faktor der linken Seite von (21) verschwinden, 
q.e.d. 

Im folgenden wd die allgemeine Gleichung (20J 
namentlich auf den Fall angewandt werden ; wo an Stelle 
der allgemeinen Funktion 7* die spezielle P n (cos /) [GL (15), 
S. 71] steht 

SatzlL Siad Y n (d,<p) und X(*,y) zwei allge- 
meine Kugelfunktionen derselben Ordnung, ist also F n 
durch (19) dargestellt, 

(22; X n (*, f) Yj P w , v (cos ) [ftcos (v p) + r sin (r ^ | , 
so ist 

2* ^ w 

^^\ f* fv {*,\v f* \-;*^* 4;r MO^O . V^yCy+y/.^v] 
(23) Jg f J y.(, f )J& l (*, f )M*- g j pfI T _+2 i ^^ - ; 



und darin bezeichnet A n)V dieselbe Konstante, die beiui 
Additionstheorem der Kugelfunktionen auftrat [GL (14), 
S. 71). 

Beweis: Multipliziert man die Keihen fur Y n und 
X n , so erhSlt man eine Summe, deren allgemeines Glied 



D v > cos ( v f) sin (/ y?) + B v C v > cos (v </>) sin (y p) j 

ist, und zwar sind im allgemeinen v und v' verschieden. 
Integriert man nun nach <p zwischen den Grenzen und 
2?r, so wird 



Kap. 5. Die Kngelfunktioaea mit srwei Veranderlichen. 7S? 
2* 2* 



/c 



fiir 



cos (v $?) sin (/^)d^ = sowohl fiir v^/, als fiir 



Dagegen ist 

2* 2* 

s*(v^)<f^[sin 2 (vp)^==jr fiir v>0, 
o 

w&hrend das linksstehende Integral fiir y=0 den Wert 
2;r hat Durch Ausfiihrung der Integration nach <p ver- 
schwinden demnaeh alle Summanden, in denen v und v r 
verschieden sind, und es wird 



(24) 






ft + & Dv) [Pn,v (COS 



Multipliziert man mit &n& d& und integriert nach 
zwischen den Grenzen und TT, so wird 




nach Gleichung (24), 8. 61; und die rechte Seite ist, wenn 
wir die im Additionstheorem auftretende Konstante [Q-l. (14), 
S. 71] einfiihren, 



Die Einsetzung dieser Ausdriicke in die mit sin^ 1 multi- 
plizierte und nach -^ integrierte Gleichung (24) ergibt 
aber (23). 

Satz ID. Nimmt man statt der allgemeinen Funktion 
Tn(&,f) die spezielle P n (cosy) [01 (15), & 71], so sind 



80 I. Die wiclitigsten Eigensekaften der Kugelfunktionen. 

A V) S V durcli (19 a) S. 74 bestimmt; setzt man diese spezi- 
ellen Werte in (23) ein, so wird die rechte Seite 






Der zweite Fabtor ist nach (22) der Wert, den die Funk- 
tion X n (fr 9 <p) annimmt, wenn man darin #,$p mit #1,501 
vertauscht. "Wir haben damit den wichtigen Satz: 

2?E A 

(25) ^.Y 



Die Gleichung (26) kann ; da cosy durcli Vertauschung 
von # , y mit & , ft sich nicht Sndert, auch BO geschrieben 
werden : 





Folgerung 1. Ist 
'26) cos y 2 = cos ^2 cos ^i + sin a sin -^i cos (<p* j?i) , 

and nimmt man fiir X n (^fi} den speziellenWertP,i(cosy 2 ), 
so gett (25 a) in folgende Gleichung u'ber: 

2^ 

r 

1 27) /i 
/ 



wo 

(27 a) cos <5 = cos # cos ^2 + sin # sin ^2 cos (<f 2 y) 

ist. 

Folgerung 2. Ist in (26) -^=^ nnd 502 = 50, also 
;' 2 =y, so mrd in (27 a) eosd=l, and da PH(!)=- 1 ist, 
so folgt 



(28) 



Kap. 6. Entwicklung nach Kugelfunktionen. 81 

Kapitel 6. 
Entwicklung nacli Kugelfunktionen. 

a) Form der Entwicklung. Giiltigkeit derselben 

fiir ganze Funktionen 
von 



Wir stellen uns die Aufgabe, eine auf der KugelflSche 
beliebig gegebene Funktion f(&,<p) in eine nach den 
Yn(^,^) fortschreitende Reihe zu entwickeln. Palls eine 
solche Entwicklung mSglich ist: 

(i) /"(*,?) -2 *(*,*>> 

971 

[welche Reihe im allgemeinen unendlioh sein wird], konnen 
die einzelnen 'K m mittels der Integralsatze der allgemeinen 
Kugelfunktionen bestimmt werden. Zu dem Zwecke mul- 
tiplizieren wir (1) mit P n (cos y) sin & d & d <p , wo cos y der 
bekannte, in dem Additionstheorem auftretende Ausdruck 
ist [Gl. (1) S. 65], und integrieren uber die KugeMache. 
Nacn Satz I von Nr. c) des vorigen Kapitels verschwinden 
dann rechts alle Integrale, in denen der Index m der 
Kugelfunktion X von n verschieden ist, wahrend sich der 
Integralwert fiir m = n aus dem Satze III desselben Kapitels 
ergibt. So erhalt man 



[dp ff ( 
II 

/ / 





(2) dp f ( , <p) P n (cos y) sin & d & 



oder, wenn man &,p mit #1,^1 vertauschi^ wodurch ich, 
wie schon friiher bemerkt, y nicht andert, 

n In 



(2a) 

" i i 

so daB die Reihe (1) ausgeschrieben lautet: 

7t 2tf 

(3)f(#,p)=i2(2+l)Ai 





"VF anger in, Theorle des Potentials H. 



82 I* Die wichtigsten Eigenschaften der Jugelfunktionen, 

DaB der Ausdruck auf der rechten Seite von (2 a) eine 
allgemeine Kugelfunktion n-i&r Ordnung 1st, folgt aus dem 
friiher Gesagten. P w (cosy), als Funktion von # und <p 
betrachtet, 1st eine Kugelfunktion, ihre Koeffizienten sind 
in (19 a), 8.74 angegeben. Diese Koeffizienten sind mit 

^ n f (#1 , pi) sin #1 zu multiplizieren, und dann ist nach 

den Parametern &i , <pi zu integrieren. Dadurch andert 
sich nur der Wert der Koeffizienten, nicht die Form der 
Entwicklung; das Eesultat ist also eine allgemeine Kugel- 
f unktion derselben Ordnung wie P n (cos /) . 

Ferner ist, wenn eine Funktion / (# , <p) in eine Reihe 
der Form (1) entwickelt werden kann, die Entwicklung nur 
auf eine Art mSglich. Denn soil f(& 9 y>) sowohl durch 
die Reihe (1), als dureh eine andere Reihe 



(la) 

mi 

dargestellt werden, so muB fur alle Werte von &,y 

(4) S**(#,?)-sr*(#,?) 

m ii 

sein. Multipliziert man (4) mit P n (cos y) sin ^ d & d <p und 
integriert (iber die Kugel, so wird 



d. h. in den Reihen (1) und (1 a) sind die einzelnen Kugel- 
funktionen derselben Ordnung identisch. 

Im vorstehenden ist vorausgesetzt, daB eine Ent- 
wicklung von der Form (1) mSglich, auBerdem, daB ; falls 
die Reihe unendlich, gliedweise Integration zulassig ist. 
Unter welchen Bedingungen aber die Entwicklung moglich, 
dariiber gibt das auseinandergesetste Verfahren keinen 
AufschluB. * 

In einem speziellen Falle laBt sich die Giiltigkeit der 
Entwicklung leicht zeigen, in dem nSLmlich, in welchem 
f(&>p) e ^ ne ganze rationale Funktion der Koordinaten 
der Punkte der Einheitskugel ist, d. h. eine ganze Funktion 
von cos & , sin & cos <p , sin & sin y ; und in diesem Falle ist 
die Reihe (1) endlich. Das ergibt sich aus f olgender tlber- 



Kap. 6. Entwicklung nach JKugelfunktionen. 83 



legung. Eine ganze Funktion w-ter Ordnung von 
sin# cos y , sin & sin <p ist eine Surame von Glicdern der Form 

(5) cos n ~* & sin" 3 cos 1 '-* y sin a y , 

jeder Summand mit einer Konstanten multipliziert. Dabei 



sind n } v,a ganze Zahlen, n<m,v<n,a<zV. 1st a eine 
gerade Zahl, so laMJt sich die^Potenz 

cos v ~~ a <p sin* $p = cos v ~ a p (1 cos 3 ^?)^ a 

nach Potenzen von cos <p entwickeln, und jede Potenz von 
cos y lafit sich durch eine nach den Kosinus der Vielfachen 
von y fortschreitende Summe darstellen, und zwar treten, 
da nur. die v-te, (v 2)-te, (v 4)-te usw. Potenz cose? vor- 
kommen, auch nur cos (v y] } cos (v 2) y , cos (v 4) ^ usw. 
auf. Der Ausdruck (5) nimint dann die Form an 

(6 a) oo& n -#sm2-4fccos0> 2i)p, 

worin h alle Werte von bis %v fiir gerade v, von bis 
i(v 1) iir ungerade v annimmt. Das allgemeine Glied 
von (5 a) laBt sich, mit Fortlassung des konstanten Faktors, 
so schreiben: 



- v # (1 cos 2 dy sin*- 2A; ^ cos (v 2 A) 9? 
oder, wenn zur Abkiirzung 

v 2i = /K 
gesetzt wird, 

sin^ ^ cos (p j?) cos w -' - 2 fc ^ (1 cos 2 *)*, 



worin ^ + 2S<w ist, d. i. ? wenn (1 cos 2 -^) 75 aufgelo'st 
wird, ein AusoTruck der Form 

(5b) sin^ * cos (JJL y) { ( l) ft cOb w 

+JS 2 cos w -.- 4 *+ 

Weiter ist, falls ^ eine gerade Zahl, 



W (cos *) = ^ sin^ ^ . cos -5- . 

6* 



84 I- Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfonktionen. 

In den Gleichungen (6), deren konstante Koeffizienten 
nur angedeutet sind, betrachte man die einzelnen Potenzen 
von cos#, einschlieBlich eos # als Unbekannte und l$se 
die Gleichungen, deren Zahl gleich der der Unbekannten 
ist, nach diesen auf, so erhalt man fur alle in (5b) auftreten- 
den, mit sin. u -^ multiplizierten Potenzen von cos# Eeihen 
der Form 

(7),^{<7P n , iU (cos^ 

und die Summe melirerer Eeihen von dieser Form gibt 
eine Eeihe derselben Form, 'so daB der Ausdruck (5b) die 

Form frTvnj[TnTr)t. 

(7 a) WBfap)'D k P H -n tll (CQB#) (-2*>jl); 

das ist aber eine endliche Summe von Kugelfunktionen 
versehiedener Ordnung, denn D&P W _ afc,^ ( eos ^) cos (p(p) ist 
ein spezieller Fall von r w _2fc(^j?0- 

In (6) war angenommen, daB n p eine gerade Zahl 
sel 1st n (4 ungerade, so hat in jeder Reihe der letzte 
Summand den Faktor cos-^-, und die letete Gleichung (6) 
wird dann 

(cos ^) = ** 



Die aus den Gleichungen (6) gezogenen Schliisse bleiben 
dieselben. 

Der Ausdruck (5b) war nun einer der Summanden 
von (5 a); in gleicher Weise lassen sich alle Summanden 
von (5 a) umformen, und da die Summe mehrerer Kugel- 
funktionen gleicher Ordnung wieder eine Kugelfunktion 
'derselben Ordnung ergibt, ist auch der Ausdruck (5 a) und 
damit (5) eine Summe von Kugelfunktionen verschiedener 
Ordnung. 

Ftir den Fall, daB in (5) a ungerade ist, laJBt sich (5) 
ebenfalls in eine Eeihe der Form (5 a) entwickeln, die nur 
sin (y 2 i) <p an Stelle von cos (v 2 A) <p enthalt. In (7 a) 
steht also nun sin(,*^) an Stelle von cos(/w^>), und wir 
haben nur andere spezielle Falle der Kugelfunktionen. 

Da die Potenz (5) sich durch eine endliche Summe 
von allgemeinen Kugelfunktionen darstellen ISJBt, so gilt 
das gleiche fur eine endliche Summe solcher Potenzen, 



Kap. 6. Entwicklung nach. Kugelfunktionen. 85 

jede mit einer Konstanten multipliziert, d. h. fiir jede 
rationale ganze Funktion f(&,<p). 
Spezielle Anwendungen: 

1. Jede Funktion erster Ordnung von cos # , sin# cos <p , 
sin # sin <p 

Wo + mi cos # + m% sin # cos <p + m& sin & sin y 

hat, wie unmittelbar aus dem S. 75 angegebenen Ausdmcke 
fiir Yo und T\ hervorgeht, die Form 



2. Urn die Funktion 



in der mo , mi , ma , Ws konstant sind, nach Kugelfunktionen 
zu entwickeln, drxicke man cos 2 <p und sin 2 <p durch cos (2 ^) 
aus, so wird 



f 
-/W1 



Ferner ist 



Mithin wird 

worin 

^ 

Fo = mo -I- 



ist. 

b) Allgemeine Bedingungen fur die Gultigkeit der 
Entwicklung nach Kugelfunktionen. 

In eine endliche Reihe von Kugelfunktionen lassen 
sich nur ganze Funktionen von cos ^ , sin & cos <p , sin ^ sin f 
entwickeln, da ja Y n eine homogene ganze Funldion w-ter 
Ordnung der genannten GroBen ist, damit jede endliche 



86 I. Die wichtigsten Eigenschafteii der Kugelfiraktionen, 

Summe von Funktionen Y erne ganze rationale Funktion. 
Um zu untersuchen, unter welchen Bedingungen fiir andere 
Funktionen eine Enfrwicklung in eine unendliche Reihe der 
Form (3) m<5glich 1st, betrachten wir zuerst eine endliche 
Reihe jener Form und nennen S r die Summe der (r + 1) 
ersten Glieder 

(8) Sr-2fii(*,?0i 

w=o 

worin die einzelnen X n durch (2 a) bestimmt sind. Gelingt 
es, fiir S r einen Ausdruck zu finden, aus dem man er- 
kennen kann, welcher Grenze S r zustrebt^ wenn r iiber alle 
Grenzen waehst, und wird dann HmSI r =/(^, p), so ist 
unsere Entwicklung gultig und stellt die Funktion f dar. 
Ein einfacher Ausdruck ftir S r lafit sich zunSlcnst in 
einem speziellen Falle ermitteln, namlich fur den Pol der 
Kugel, Ai. fur * = 0. Fiir *=0 wird cosy = oos-5i, 
/^(cos^i) ist aber von <p^ unabhangig. Wird daher in 
(2 a) zuerst nach^i integriert, so kann P w (cosy) in unserem 
speziellen Falle vor das innere Integral gestellt werden. 
Wird noch 




gesetzt, so wird 

a 

n (cos SO sin ^dto. 





^ JO 

l 




nach Gleichung (30 a), S.33. Speziell wird 



Eap. 6, Entwicklung nach Kugelfunktionen. 87 

Fiir # = geht also (8) in folgende Gleichung iiber: 



(lla) 




oder schliefilich, da P (cos -fti) = 1 1st und die Difierential- 
quotienten von Pi , P 2 , . . , P r -i sich f ortheben , 

(lib) -tBr-flwf^^ 

5 5 



Es ist nun zu ermitteln, was aus den beiden Sum- 
manden der rechten Seite von (lib) wird, wenn r iiber 
alle Grenzen wachst. Zu dem Zweeke zerlegen wir das 
Integral J r in Teilintegrale 



(12) J r 



Darin soil t\ eine Gr5Be bezeichnen, die sich mit wachsen- 
dem r der Null beliebig nahert, derart aber, daB 
(13) lim 



88 I- Die wichtigsten Eigenschaffcen der KugelfunMonen. 

ist. Dafi das mt>glich 1st, 1st inKap. 2, Nr. e), Zusatz 1 (S.21) 
gezeigt. Man braucht nur ij==w:fP zu nehraen, wo u eine 
von r unabhSngige endliche Gr5fie und /?<- ist, Ferner 
soil eine Gr&Be bezeichnen, die sich mit wachsendem r 
demWerterc in derselben Weise nahert wie 17 der Null, d.h. 

(13a) Z = 7t iji, lim P r (cos ija) = . 

rsacjo 

Yon den drei Summanden der rechten Seite von (12) 
untersuchen wir zuerst den zweiten und zerlegen ihn in 
Teilintegrale, deren Grenzen die zwischen ij und f liegen- 
den Wurzeln der Gleicliung P r (cos #a) = sind. Die 
Gleichung P r (a;) hat ja lauter reelle, zwischen 1 und 
-j- 1 liegende Wurzeln, d. h. P r (cos -^i) wird = f Ur r ver- 
schiedene reelle, zwischen und ic liegende Werte von &i . 
Von diesen m5gen, der Gr66e nach geordnet, die Wurzeln 
-5-jss^j a,.. ? o^(p<r) awischen ^ und liegen. Dann 
lautet unsre Zerlegung 




Weiter wissen wir, daJB zwischen irgend zwei aufeinander- 
f olgenden Wurzeln der Gleichung P r (x) = stets eine und 

nur eine Wurzel von y ^ == liegt; d. h. zwischen je 

d 

zwei aufeinanderfolgenden Werten a m u^d a m +i liegt stets 

J ' TfT L a j 5 P r (COS #1) 

em und nur ein Wert von ^i , fur den - % - ' ver- 

Onuri 

schwiudet. Ist dieser Wert von #i = y9 f ,i und zerlegen 
wir das betrachtete Teilintegral nochmals in die Sumine 
zweier 




Kap.6. Entwicklung aach Kugelfunktioixen. &9 

so andert in den rechtsstehenden Integralen *; a *' 



innerhalb der Grenzen sein Zeichen nicht, und es kann 
daher der Mittelwertsata angewandt werden, woraus 



,, 
+F ( d **j 



a m 

Om+l 

,, rd 
**jJ 



folgt. Darin ist d m ein Wert zwischen a m und y9 m , d' m ein 
solcher zwischen ft m und o^^i- Nach Kap. 2, Nr.e) ist 
limP r (cos#i) = 0, falls ^-i von Null und jr verschieden 

r^ 00 . 

ist, ja noch, wenn &i gleich dem obigen ^ wird, erst recht, 
wenn ^i>*^, Daher ist 



und somit auch 
(15) lim 



vorausgesetzt, dafi 1T(<J W ) und F(d'^) endlich sind. Das 
ilt fur jeden Summanden der rechten Seite ron (14), auch 
r den ersten und letzten, und daher wird 



(15a) 



vorausgesetzt, daB JP(^i) zwischen den Grenzen y und 
stets endlich ist. 




90 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen 

Um den Grenzrwert des ersten Summanden von (12) 
zu ermitteln, wenden wir den sogenannten dritten Mittel- 
wertsatz an, nach dem 



1st, falls f eine zwischen a und J (die Grenzen einge- 
schlossen) liegende GrSBe ist und f(x) innerhalb der Gren- 
zen weder vom Zunehmen zum Abnehmen, noch vom Ab- 
nehmen zum Zunehmen iibergeht. Danach ist, falls JF(#i) 
zwischen den Grenzen und vj kein Maximum oder 
Minimum hat, " 



(cos 

Geht man zur Grenze r = oo uber, so wird nach (13) 
lim P r (cos ij) = , ij selbst versehwindet, weshalb lim[F(0) 
= wird; und da P y (1) = 1 ist fur jedes r , so wird 



(16) lim 

r=oc 

6 



Der Grenz-wcrt des dritten Summanden von (12) er- 
gibt sich, wenn man &t=i:d-i als Integrationsvariable 
einfiihrt, dann wird mit Riieksicht auf (13 a), und da 

x) ist, 



daher nach (16) 



Kap. 6. Entwicklung nach Kugelfunktionen. 91 

(16.) Km 



Aus (15 a), (16) und (16 a) folgt 
(17) 



Der Grenzwert des zweiten Summanden J"^ . der reehten 
Seite von (lit) ergibt sich aus (17) durch Vertausehung 
von r ami r+1, d. h. 

(17 a) Km / r+ i = - 

t ~= 00 

und somit 

lim (- 2 &) = Km 

r= QO f -a o 

oder 

(18) 



Result at. Die Eeihe (8) naliert sich unter der Vor- 
aussetzung, daB die duroh (9) definierte Tunktion F(&i) 
zwischen ^^=0 und -5-1=71, die Grenzen eingeschlossen ; 
iiberall endlich ist und in unmittelbarer Nahe von ^i = 
und 5-1 = ^ kein Maximum oder Minimum besitzt, in dem 
speziellen Fall ^ *= mit unbegrenzt wachsendem r immer 
mehr dem Werte JF(0). 

Welche Bedeutung hat nun J'(O)? ^ 1 = Const, stellt 
einen Parallelkreis der Einheitskugel dar, und die Funktion 
F(&i) in (9) ist das arithmetische Mattel der Werte, die 
ffa- 1 fO au f diesem Parallelkreis annimmt. Benkt man 
nSmlich den Parallelkreis & t in n gleiche Teile geteilt^ so 
ist das arithmetische Mittel der Werte, welche /(^i ? ^) iix 
den n Teilpunkten annimmt, 



Multipliziert maTi den Ausdruck(19) mit 2?r und laBt dann 
n tiber alle Grenzen wacbsen, so ist der Grenzwert des 



92 I. Die wichtigsten Eigenschafteii der Ejugelfunktionen* 

mit 2?r multiplizierten Ausdrucks (19) nach der Definition 
des bestimmten Integrals 




Zugleich ist der Grenzwert das mit 2 jr multiplizierte arith- 
metische Mittel aller Werte, die /*(#i,^i) auf dem be- 
trachteten Parallelkreiae annimmt. 

Aus der Bedeutung yon F(&i) folgt die von .F(O). 
Fiir #i = reduziert sich der ParaUelkreis #1 auf den 
PoL F(0) ist somit das arithmetische Mittel aller Werte, 
welche /"(-^i,^) im Pol -5-1=0 annimmk Hat f(&t 
im Pol -5hi==0 nur einen Wert, so ist dieser selbst 
arithmetische MitteL 

Sonach ist fiir >fr=Q } d.h. wenn der Punkt &,<p der 

Kugel in den Pol fallt, lim S r gleich dem Werte, den 

r~oo 

f(&><p) im Pol annimmt, falls f(&,<p) dort nur einen be- 
stimmten "Wert hat. Ist aber f(&,<p) im Pol mehrdeutig, 
d.h. Mngt der Wert, den f dort annimmt, davon ab, auf 
welchem Meridian man sich dein Pole nahert, so ist lim S r 

r=:oo 

gleich dem arithmetischen Mittel der verschiedenen Werte, 
die f im Pol annimmt. 

Aus dem Werfc, den limjS r fiir r = oo in dem oben 
behandelten speziellen Falle hat, ergibt sich lim 8? fiir be- 
liebige & y <p durch tlbergang von einem System von Polar- 
koordinatenzu einem andern. Auf der Einheitskugel sei e der 
Pol des Koordinatensystems ^-i , ^, > S ein beliebiger Punkt 
mit den Koordinaten-tfi, fi, A der Punkt, dessen Koordinaten 
&,<p sind (vgl. Kg. 8, S. 8). Dann ist ^X = d, *B**&i, 
Winkel AsBp ^ (oder ^i <p) und AB=y. Bei 
der Integration nach #1,501 bleiben &,y, also Punkt A 
nngeandert. Fiihrfc man nun ein neues Polarkoordinaten- 
system ein, dessen Pol A ist, so wird in diesem ein Punkt JS 
der Kugel bestimmt dnrch seinen Abstand y von A uad 
durch den Winkel, den B A mit einem festen von A aus- 
gehenden Hauptkreise bildet; als letzteren nehme man A# 
und bezeichne < SA a mit A. Man erhalt alle Punkte S 



Kap. 6. Entwicklmag nacli Kugelfunktioaen. 93 

der Kugel, wenn man y von bis ;r, I von bis STT 
variieren l&Bt. Ferner wird das FlUchenelement der Kugel, 
das im alten System sin #1 d&i dpi war, im neuen 
= sin y d y d A . Bei Einf iihrung von y , A statt #1 , ^>i ist daher 
sin #1 d &i d <p\ durch sin ydydk zu ersetzen. Zugleioh 



gehe f(&i 9 y>i) in $(y >fy liber, so nimmt der Ausdruck(2a) 
fiir .X n (#,9?) in den neuen Variabeln die Form an: 

(20) 





Da P n (cos/) von A unabhangig ist, hat die rechte Seite 
von (20) genau die Form, die vorher X n (0 ? y) hatte. Man 
tann daher das Resultat der vorigen Betrachtung an- 
wenden, und es wird 



(21) 



d. h. gleich dem arithmetisclien Mittel der Werte ; die 
^(y,A) fur y=0, also f (#1 , CPI) im Punkte A annimmt. 
limSr fiir r=oo ist also allgemein gleich dem arith- 
metischen Mittel der Werte, welche /"(^i^i) im Punkte 
& y <p der Kugel annimmt. Dabei wird vorausgesetzt, daB 



(21 a) #(?,!)* A 



/ 



tiberall auf der Kugel endlich ist, was sicher der Fall ist, 
wenn f (&i , y>i) iiberall endlich ist, ferner dafi der Aus- 
druck(21a) in der unmittelbaren Nahe von y = Q kein 
Maximum oder Minimum hat; und das ist fiir Punkte 
der Kugel erftillt, in deren Umgebung /" (#1,501) kontinuier- 
lich ist. Fiir Funktionen f(&i,f>i), die auf der ganzen 
Kugel endlich, einwertig und kontinuierlich sind, stellt 
daher die rechte Seite von (3) wirklich die Furtktion 
dar. 



94 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfanktionen. 

c) Anwendung au die Entwicklung einer 

Funktion einer Veranderliehen nach einfaohen 

Kugelfunktionen. 

Aus der Entwicklung einer auf der Kugel gegebenen 
Funktion nach allgemeinen Kugelfunktionen ergibt sich die 
Entwicklung einer Funktion einer Veranderlichen nach 
einfachen Kugelfunktionen folgendermaBen. 1st die Funk- 
tion /(#, f) = <p (#) von <p } also auch f(&i } ^)=.(f) (#1) von 
fi unabhangig, so kann man die Reihe (3) so schreiben: 



%ii 

fp n 

I 



oder, wenn man noch Gleichnng (15 a), S.71 anwendet, 



QC 

(22) ^(*) JJ 





Fiir cos^ = iK, cos-5-i=^i ninunt (22), falls 
ist, die Form an: 



(22a) 



und diese Entwicklung gilt nach dem Obigen im allge- 
meinen nur f ur Werte von x zwischen 1 und + 1 , sia 
erfordert ferner, daB /(a?) zwischen $ = 1 nnd $ = + l 
tiberall endlich und in der Nahe von x kontinuierlich ist. 
Welter stellt die rechte Seite von (22 a) F(x) nur dar fiir 
solche #, fur die F(x) eindeutig ist 1st F(x] fiir irgend- 
ein x nicht eindeutig, so ist die rechte Seite von (22 a) 
gleichdem arithmetischen Mittel derWerte, die JFftir dieses. 
Argument annimmt. 

Als Beispiel wollen wir eine Funktion nach Kugel- 
f unktionen entwickeln, die fiir positive x < 1 den Wert + 1, 
fur negative j?> 1 den Wert hat; ocTer, was dasselbe, 
eine Funktion, die auf einer Halbkugel den Wert 1, auf 



Kap. 6. Entwicklung nach Kugelfunktionen. 95 

der andern den Wert hat. Da in unserem Falle die 
Funktion F(x$ vom Xi = 1 bis #i = den Wert 0, von 
#i = bis #t = +l den Wert 1 hat, so reduziert sieh die 
Gleichung (22 a) anf 

(23) F=Z 



Die hierin auftretenden Integrate ergeben sich fiir 
durch Benutzung der Differentialgleichung fiir P n . A.W 
dieser folgt 



(24) ( 



Fiir die Grenze 1 wird (1 -a;i 2 )==0. Bezeichnet man noch 
die Ableitung von P n mit P' n , so wird 



(24a) 





Der Wert vonP' n (0) ist diirch (6), S,12gegeben; er ist 
fiir gerade n y so daB 



(24b) p 2m (#1) rf ast = (m > 0) 

und nach der zitierten Gleichung 



1 ; 



(m>0) 



96 I. Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. 
wird. Fiirw^Omrd 

l 1 1 



8 o 

Mithin !8J3t sich unsere Funktion F durch folgende 
Kugelfunktionenreihe darstellen: 



Wenden wir die Eeihe auf aj + l an, fiir welchen Wert 
F= 1 1st, so ergibt sich 



(26) l M + . 

V y 2 r 4Tj 4+4 2- 4. ..2m ' 



wo ^=0 ist, folgt aus (15) 



Fiir 



(26s) Q s== ^^Y^f_i ) . 

v ; 2 4 2^^ ^ 4^ + 4 2- 4. . 



(26) und (26 a) sind identisch; man hat zugleich die in 
beiden auftretende Eeihe siimfniert, inre Summe ist 4 

irJ^i X ^?* *** ^ 25) y== *' di ' das antiunelaBohe 
JUattel der beiden Werte, welohe F fiir aj0 annimmt, je 
nachdem a? von positiyen x oder von negativen <c zu 
iibereht. & 



iibergeht. 



II. Abschnitfc. 

Die Potentialanfgaben for die KugeL 
Elektrizitatsverteilung atif einer KugeL 

Kapitel 1. 

Das Potential einer KugelMche foei IbelieMger Massen- 
Yerteilung. 

Das Potential einer Kugelflache vom Eadius R, die 
mit Masse von der Dichtigkeit x belegt 1st, 1st 



=== f f 



Darin sind JR,#i,$pi die rSuxnlichen Polarkoordinaten eines 
Punktes der Kugelflache, v , & , <p die des angezogenen 
Punktes und 

(la) (> a = y 2 + JR 2 2/^008^, 

cos y = cos ^ cos ^i + sin # sin &i cos ($?i <p) . 

Die Dichtigkeit x , die eine gegebene Funktion von -^i , <pi 
ist, entwickle man nun nach KugeHunktionen 

(2) * 

wo nach S. 81 

St %Jt 

(2a) J^(^i,^)= ^ I jyc( 

cos ^2 = cos^-i cos #2 + sin #1 sin #2 cos (^>i ^2) 

1st. Die Entwicklung gilt stets ; wenn die Dichtigkeit eine 
iiberall endliche Punktion von & , <p ist. Ferner ist nach 
(2), S. 11, je nachdem r>JR oder r<JB, 

"Wangerln, Theoiie des Potentials H. 7 



98 n Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

(r>E), 



Die Einsetzung von (2) und (3 a) in (1) ergibt fur das 
Potential der Kugelflaohe in bezug auf auBerhalb liegende 
Punkte 



Da die beiden hier auftretenden Reihen konvergent sind, 
kann man sie gliedweise multiplkieren und darauf glied- 
weise inlegrieren. Dadurch erhalt man Integrale der Form 

i 

^m (#1 , pi) ?n (cos y) sin ^ d&i d yi , 

die nach Satz I, S. 76 fur m^n verschwinden, dagegen 
fur m = n nach Satz III, S.79, 80 den Wert 



haben. Demnach wird 

(4a) F -= 4 - 



und analog ergibt sich, wenn man (3b) statt (3 a) benutzt, 
fiir das Potential innerer Punkte 



(4b) 



Hat man also die Dichtigkeit x in eine nach Ku e - 
funktionen fortschreitende Eeihe entwickelt, so ergeben 
die vorstehenden Formeln (4a), (4b) sofort das Potential 
der Kugelflache fur auBere und innere Punkte. 



Kap. 1. Das Potential emer Kugelflache. 99 

Das erste Glied der Entwicklung (w = 0) in V a ist 
( 5ft ) 4 



falls M die gesamte auf der Kugelflache ausgebreitete 
Masse 1st. Derm es 1st 



//' 



M 



sin -5-1 

(Der Faktor Po(cosy) konnte hinzugefugt werden, da er 
= 1 ist.) Durch Anwendung der Integralsatze der Kugel- 
funktionen f olgt 



Das erste Glied in der Eeihe (4b) ist 
(Bb) 4 



Anwendungen auf spezielle Talle. 

1) Falls die Kugelflache gleichformig mit Masse belegt> 
also x konstant ist, redu^iert sicK die Eeihe (2) fur x auf 
das erste Glied 2To (^ , ^>) , demnach f olgt das bekannte 
Resultat (vgl. Teil I, S. 88) 



Das Resultat kann f iir x 1 auch f olgendermaBen 
ausgesprochen werden: 

Ist Q f der Abstand eines Punktes Q der Eugelfl^che mit 
dem Radius It von einem auBerhalb der Kugel liegenden 
Punkte P', ^ der Abstand des Punktes Q von einem inneren 
Punkte P, so ist 



wo r den Abstand des Punktes P' vom Kugdmittelpunkte 
bezeichnet und die Integration ttber die Kugelflache aus- 

7* 



100 H. Die Potentialaufgaben ftir die Kugel. 

zudehnen 1st Beide Resultate gelten noch, wenn entweder 
P r oder P auf der Kugel selbst liegen. 

2) 1st 

x = m cos #1 , 

wo m eine Konstante, so verschwinden in der Reihe (2) 
alle K auBer JSi ; Zi (#1 , j^i) wird m cos ^-i . Daher f olgt 
aus (4 a), (4b) 

_ 4^JS 8 n Tr 4?r 

F <J = w- 5 --oCOS-5', T^^m-s- 

of o 

ein Resultat, das im ersten Teil S. 108 109 auf anderem 
Wege abgeleitet ist. 

3) Die Dichtigkeit sei 

x = fy + fa z* + fa f+fa sP , 

wo x , y , 2 die reeht winkl i gen Koordinaten eines Punktes 
der Kugelflache, Jco,1fa,fa } fa konstant sind. Driickt man 
a;,y,j durch Polarkoordinaten aus, deren Achse die x- 
Achse ist, so wird 

x = JCQ + R* [fa cos 2 & + fa sin 2 & cos 3 ^ + fa sin 2 & sin 2 <p\ . 

Diese Eunktion x ist bereits friiher nach Kugelfunktionen 
entwickelt (s. 8. 85); mit Benutzung dieser Entwicklung 
wird 



A iff ** 

~ 






4) Wir wenden die allgemeinen Formeln (4 a), (4b), 
die fiir beliebige Massenverteilnng auf der JKugel gelten, 
auf zwei konjugierte Punkte an, d. h. auf zwei Punkte, die 
auf demselben Radius liegen, und deren Abstande r > K 
vom Kugelmittelpunkte der Gleichung genligen: 




Kap. 1. Das Potential einer Kugelflache. 101 

/f*\ T52 

Das Potential FO fiir den Punkt P ist (ro<E vorausge- 
setzt), durch (4b) gegeben, darin ro statt r gesetzt, wShrend 
fiir das Potential V\ des Punktes Pi die Gleichung (4 a) 
gilt, darin ri statt r gesetzt. Nach (6) ist nun 

_1 

T 

daher 

JJw-l-2 yW+1 ^ 

- ^T'^" 

Somit gilt fur jede beliebige Massenverteilung auf der 



Kugel fiir die Potentiale zweier konjugierten Punkte die 
Beziehung 

(6 a) Fi = 7 .^- = 7 |-. 

Dasselbe Resultat folgt fiir ro>JB, da durch Vertauschung 
von ro und r Gleichung (6) sich nicht andert. 

Folgerung aus den vorstehenden Resultaten. 

Bei der Ableitung von (4 a) ist ausdriicHich r>JB, 
bei der von (4b) r<JBo vorausgesetzt. Beide gelten aber 
noch fiir r = E , d. h. fiir den Fall, daB der angezogene 
Punkt auf der Kugelflache liegt; beide ergeben in diesem 
FaUe 

(7) 



und die hierin vorkommende Reihe iat sicher konvergent, 
wenn es die Reihe (2) ist. 

Aus (7) folgt, daB man, mn V fiir *auBere oder innere 
Punkte zu bestimmen, gar nicht die Dichtigkeit x der 
Massenverteilung zu kennen braucht, sondern daB statt 
dessen der Wert gegeben sein kann, den das Potential an 
der OberflSche der Kugel annimmt. 

1st V~F(&,p) dieser gegebene Wert, so entwickle 
man F(&,y>) nach Kugelfunktionen 

(8) 




102 



Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 



Ftir 7 gilt sowohl diese Gleichung, als die Gleichung (7), 
und da eine Funktion T nur auf eine Art nach Kugel- 
funktionen entwickelt werden kann, so 1st fur jedes n 



xind daher 




Die zugehorende Dichtigkeit der Hassenverteilung ist 



(9a) 



Man kann iibrigens die Potentiate 7 a , V % direkt durch 
den gegebenen Oberfladienwert F=JF(#,j0) darstellen ? 
ohne erst F nach Kugelfunktionen zu entwickeln. NacL 
(2a) S. 81 hat T n den Wert 




/jtJxW + 1 

wird. [F a ergibt sich daraus, wenn man ( 1 an Stelle 

/r\n 
von f-^J setzt.] Konvergiert die Eeihe (8), und unter 



welchen Bedingungen das stattfindet, ist in Kap. 6 des 
vorigen Abschnitts er5rtert, so konvergiert sicher auch die 
Eeihe (9 1 ), deren Glieder ja aus denen von (8) durch 
Multipllkation mit echten Briichen entstehen. Man kann 



Kap. L Das Potential *einer Kugelflftclie. 103 

dann die Summe der Integrate durch das Integral der 
Summe ersetzen und erhalt 



(9 n ) ^= 



Die in (9 11 ) enthaltene Eeihe laBt sioh ram summieren. 
Denn differentiiert man die Gleichuag 

(10) 



nach a, so erMlt man 

(lOa) 
k - 1 



und die Beihe (10 a) konvergiert unter denselben Be- 
dingungen wie (10) ; d. L fiir <1. Multipliziert man 
(10 a) mit 2 und addiert dazu (10) ? so folgt 



Mittels (lOb) kann man die in (9 ^ auftretende Reihe 
summieren und erhalt 




Entsprechend ergibt sich. fiir V a der Ausdruck 




Diese Integraldarstellungen von F t und F a , in denen 
F($y<p) den Wert bezeichnet, den F* sowohl, als F a an 
der OberflSohe der Kugel annehmen, bezeichnet man als 
Poissonsche Integrate. 



104 n. Die Potentiafoufgaben fur die Kugel. 

Zusatz, In derselben Weise wie das Potential der 
einfach mit Masse belegten Kugelflache ergibt sick das 
Potential einer Doppelbelegung der Kugel. Das Potential 
der Doppelbelegung einer beliebigen Flache hat nach Teil I, 
S. 153 die Form 




Darin 1st bei geschlossenen FlSchen N die SiiBere Normale, 
und diese 1st bei der Kugel der Radius R. Fiir die Kugel 
erhalten wir also 




Das Moment p der Doppelbelegung ist irgendeine ge- 
gebene Funktion von ^i,qni, die von It unabhangig ist, 
somit hat man ? da auch die Integrationsgrenzen von R 
unabh'angig sind ; fur die Kugel 




Das nach M zu differentiierende Integral hat genau die 
Form wie oben (S. 97) 7: -R 2 . Man kann darauf das fiir 
F:U 2 abgeleitete Resultat anwenden. Entwickelt man das 
gegebene Moment p nach Kugelfunktionen 



so erhalt man nach dem Gesagten ftir aufiere Punkte 



fur innere 



Kap. 2. Das Potential einer Kugelschale. 



105 






.Aus den Ausdrttcken (14) folgt 
]im(l7 a -Z70 4&0, 

0=22 



SUg 



J\ _ A 

ip) " 



__ _ _ 

d cp rsin-^ dip " Rsm& d cp 

in Ubereinstimmung mit den allgemeinen in Teil I, Ab- 
schnitt IT, Kap, 4 aufgestellten Satzen. 



Kapitel 2. 

Das Potential einer raninlichen, yon konzentrischen 

Kugeln l)egrenzten Masse. Satz yon der aquiyalenteii 

Massentransposition. 

Die Dichtigkeit der von zwei konzentrisclien Kugeln 
mit den Radien R und RQ (B> RQ) begrenzten Masse sei 
fc (ri , $1 ) cpi) , so ist ihr Potential 



M \ 
U 



Darin sind.r^,^ die Polarkoordinaten des angezogenen 
Punktes; cosy hat denselben Wert wie in (la), S. 97. 
Der Ausdruck (1) ist ganz analog dem im vorigen Kapitel 
behandelten Ausdruck fiir F, nur daB bier ri das dortige 




106 H. Die Potentialaufgaten to die KugeL 

E ersetzt, und dafi aufierdem nach r zu integrieren ist. 
Wir verfahren nun ganz wie dort und entwickeln zuerst 
k } als Funktion von #1,9)1 angesehen, nach Kugelfunk- 
tionen 

(2) *-2X(iA,&). 

Darin hat 2^ die Form jeder Kugelfunktion 



und die Gr$Ben ^ , 5 tt , die in bezug auf *L , (pi Eonstante 
sind, hangen im allgemeinen von n, ab. Weiter ist auch 



nach Kugelfunktionen zu entwickeln und das Produkt 
beider Reihen, mit sin-ftt multipliziert, nach &i und ^ 
zu integrieren, genau wie in Kap. 1, so erhalt man: 

a) wenn r>R, und damit r> als jedes fi, dh. wenn 
der angezogene Punkt aufierhalb der Kugel mit dem 
grbfieren Radius liegt, 
s 

(3) 




b) Ebenso wird, wenn r<JSb, d. h. wenn der ange- 
zogene Punkt im inneren hohlen Eaume liegt, 



Das erste Glied der Entwicklung von (3) ist wieder , 
da hier, analog wie S. 99^ r 



Kap. 2 Das Potential einer Kugelschale, 



107 



Xo, die Kugelfunktion 0-ter Ordnung, 1st dabei von 
fo , (p unabhangig, nur von n abh&igig. Das erste Glied 
der Reihe (4) ist dagegen 



Die Formel fur W a gilt noch ftir r=J?; denn konvergiert 
die Reihe (2) ; so ist die Reihe 



fi 



der en einzelne Glieder - aus den en der Reihe (2) durch 
Multiplikation mit echten Briichen entstehen, siclier kon- 
yergent. Ebenso gilt die Formel fur Wi noch ftir 
r = J2o. 

c) Urn das Potential fiir Punkte der Masse zu erhalten, 
fiir die 



teile man die Masse durch eine zu den gegebenen Kugeln 

konzentrische vom Radius r (d, tu durch eine durch den 

angezogenen Punkt P gehende 

Kugel) in zwei Teile, I und II. 

JFiir den ersten, von den Kugeln E 

und r begrenzten Teil hat P die 

Grenzlage ernes inneren Punktes. 

Fur diesen Teil gilt die Formel (4), 

wenn man darin J?o durch r er- 

setzt. Fiir den zweiten, von den 

Kugeln r und JRo begrenzten Teil 

hat P die Grenzlage der aufieren 

Punkte. Fur diesen Teil gilt die 

Formel (3), wenn man darin JR 

duroh r ,ersetzt Das Gesamtpotential, d, L die Sumrae der 

Potentiale der Teile I und II, wird daher 




108 n. Die Poteatialaufgaben fur die Kugel. 

Die Formelu (3) und (5) gelten auch fur den Fall einer 
Yollkugel. Man hat fiir diese nur 5o = za setzen. 
Anwendung auf spezielle F&lle. 

1. 1st die Dichtigkeit & von #1 und <p\ unabhangig, 
aber eine beliebige (endliche) J'linktion von ri, so ver- 
schwinden alle X m aufier Zo> unA es wird 

R JJ r 

^ 

J * 

r %> 

2. 1st die Dichtigkeit 




worin %i , y , ^i die rechtmnkligen Eoordinaten der Massen- 
punkte, TcQ,h,k,fa konstant sind, oder in Polarkoordinaten 

J = JQ + rj [fo cos 2 ^-1 -i- A*2 sin 3 ^i cos 2 pi + fc sin a 5 sin s JPI] , 
so ist 



wahrend alle flbrigen Z verschwinden. Daher wird 



Kap. 2. Das Potential einer Kugelschale. 109 

Folgerung aus den vorstehenden Resultaten. 
Wendet man die Formel (3) auf r = jR, (4) auf r = B 
an, so ergibt sich 

E 

(6) 




An diese Gleichungen kann man einen ahnlichen SchluB 
kniipfen wie in Kap. 1 dieses Abschnitts, namlich dafi 
man, um W a fiir beliebige r>JR zu bestimmen, gar 
nicht die Dichtigkeit ft (ri ? #1 ; ^i) zu kennen braucht, 
sondern daJB es geniigt^ die Werte von W# an der Kugel- 
flache r = R zu kennen; und daB es ebenso geniigt, die 
Werte von W t an der KugelflSche r = JRo zu kennen, um 
W ^ fiir beliebige r<Jf?o zu ermitteln. 

Denn ist (TFa) r==Z2 = F(&,<p) gegeben, so entwickle 
man F nach Kugelfunktionen 

(8) 

so hat man dureh (6) und (8) eine doppelte Entwicklung 
derselben Funktion nach Kugelfunktionen, daher muB fiir 
jedes n 





und wegen (9) geht (3) iiber in 




Ebenso erhalt man, wenn 

(8a) 

ist 



110 II. Die Potentialaufgaben far die Kugel. 

(10a) ^ 




Ubrigens lassen sich W a und Wi statt durch Reihen durch 
Integrate darstellen, deren. ersteres iiber die Kugelflache 
JR, das zweite fiber die Kugelflache BQ zu erstrecken ist, 
genau wie inKap. 1, S. 102 103 diePoissonschen Integral- 
darstellungen fur V a und V l abgeleitet sind. 

Man bezeichnet die Aufgabe, sei es, wie in Kap. 1 
V a und F,j oder wie Her W a und Wi aus ihren Werten 
an der Kugelflache B, resp. BO zu ermitteln, als erstc 
Randwertaufgabe fiir Kugeln. 

Der Umstand, daB die Losung der Randwertaufgabe 
dieselbe ist, m6gen wie in Kap. 1 die wirkenden Massen 
auf einer Kugelflache ausgebreitet sein, oder mag es sich 
um rSumliche Massen handeln, fiihrt auf den Satz von 
der aquivalenten Massentransposition. 

Satz Die Wirkung einer innerhalb einer Kugelschale 
(oder aucli einer Yollfcugel) liegenden Masse auf aufiere 
Punkte kann man stets und nur auf eine Weise ersetzen 
durch die "Wirkung einer Massenbelegung der aufieren 
Kugelflache J?,- und zwar ist die Gesamtmasse, mit der 
die Kugelflache za belegen ist, gleich der in der Kugel- 
schale (oder der Vollkugel) enthaltenen Masse. 

Beweis. Es sei einerseits der Raum zwischen den 
konzentrischen Kugeln B und Bo mit Masse von beliebiger 
Dichtigkeit erfiillt, so ist das Potential W a dieser Masse 
fur aufiere Punkte durch Grleichung (3), 8. 106 bestinxmt 
Andererseits sei eine zweite Masse auf der Kugelflache 
JB ausgebreitet, so ist ihr Potential V a fiir SuBere Punkte 
durch Gleichimg (4 a), 8.98 bestimmt. Sollen beide Massen 
auf alle auBeren Punkte dieselbe Wirkung ausiiben, so 
moB 



. ^ 

Bx dx ' By dy > 8 a "" 80 
oder 

(11) W*=V* + C 

sein, wo C eine von den Koordinaten des angezogenen 
Punktes unabhtogige Konstante ist. Die Glerchuug (11) 



Kap. 2. Das Potential einer Kugelschale. ill 

mufi ftir jedes r stattfinden, auch wenn r t beliebig grofi, 
schliefilich r = oo wird. Dana versehwinden aber W a so- 
wohl, als V a , also ist 

(Ha) 0=0, F* = F a . 

1 Setzt man fiir W a und V a die fiir sie geltenden Reihen 
ein, so miissen beide Reihen fiir alle r denselben Wert 
geben, mithin miissen die Koeffizienten der einzelnen 
Potenzen von r gleich sein, d. L fiir jedes n mufi 



(12) 

-So 

sein. Fiir die Dichtigkeit der auf der Kugelfliiche auszu- 
breitenden Masse ergibt sich damit der Wert 




Damit ist x eindentig bestimmt, wenn die Dichtigkeit 
A (ri , ^-i , j?i) und mit ihr die Xn (ri , ^-i , yi) gegeben 
sind [nicht aber ist umgekehrt, wenn x und damit die K n 
gegeben, X n und damit fc bestimmt], Perner ist, wenn 
M die gesamte raumliehe, Mf die gesamte auf der Kugel 

M 

E ausgebreitete Masse ist, das erste Glied von W a = , 

M 1 r 

das erste Glied von 7 a = . Da auch diese Glieder 

r 

"gleich sein mussen, ist M=M' . Damit ist der Satz 
bewiesen. 

Zusatz 1. Genau ebenso kann man zeigen, dafi die 
Wirkung, welche die Masse innerhalb der Schale JR, Bo 
auf Punkte des inneren hohlen Raumes ausfibt, ersetzt 
werden kann durch die Wirkuug einer auf der Kugelfl&che 
IZo verteilten Masse. !N"ur sind hier die beiden Massen. 
nicht gleich. 

Beweis. Die Gleichheit beider "Wirkungen bedingt 
auch hier, dafl 
(lib) Wi-Vt + G 

ist, wo Wi die Reihe (4), S. 106, F* die Reihe (4b), S. 98 
ist, in letzterer jedoch JB durch JRo ersetzt, Hier ist kein 



112 H- Die Potentialaufgaben fiir die Kugel. 

Grund, (7=0 zu setzen, C kann vielmehr beliebig sehx 
la den Reihen fur Wt und V* naiissen wieder alle Glieder 
entsprechend gleich sein; nur die Glieder fiir w = 0, die 
ja konstant sind, unterscheiden sich um C. Das erste Glied 
JLO der EntwickLung von jt ist somit nicht bestimmt, und 
daher ist die ganze auf JSo auszubreitende Masse unbestimmt. 
Diese Unbestimmtheit ist dadurch begriindet, dafl eine mit 
konstanter Dichtigkeit aaf einer KugelflSlche verteilte Masse 
auf einen inneren Punkt keine Wirkung ausiibt. 

Zusatz2. Sinddie innerhalb der Kugelschale liegenden 
Massen so verteilt, dafi ibr Potential fiir alle Punkte von 
Bo denselben "Wert hat, so bat ihr Potential auch fiir alle 
inneren Punkte denselben konstanten Wert. 

Denn soil (TPi) r= ~ von -#,5? unabhangig sein, so sind 
in (8 a), S. 109 alle Z n ^Q 9 aufier Z Q . Daher ergibt (lOa) 
fiir alle inneren Punkte "R^ = Zo. 



Kapitel 3. 

Ableitang der Losung der Randwertaufgatoe aus 

der Laplacesehen Oleichnng. Anwendung auf die 

Oreensche Function der Kugel. 

Zu den Formeln (9) des ersten, resp. zu den Formelnt 
(10) und (10 a) des zweiten Kapitels kann man auch von 
der Laplaoeschen Differentialgleichung aus gelangen. 

a) Innerhalb einer Kugel vom Eadius JR seien be- 
liebige raumliche oder anf Flachen ausgebreitete Massen 
enthalten, ein Teil dieser Massen kann auch auf der Kugel- 
flache B selbst verteilt sein. Das Potential W dieser 
Massen geniigt in dem Raume auBerhalb der Kugel E der 
Laplaceschen Gleichung, die, auf r^umliche Polarkoordi- 
naten transformiert, lautet: 

.8W 

(i) 



Br 






Es ist die allgemeine LQsung dieser Gleichung zu suchen,. 
die zugleich die iibrigen charakteristischen Eigenschaften 
des Potentials (fur Punkte auJBerhalb der Masse) besitzt^ 



Kap. 3. Andere Ableittmg der Lt>sung der Randwertaufgabe. 113 

also in dem betrachteten Raume uberall nebst ihren Ab- 
leitungen eindeutig, endlich und stetig 1st und im Unend- 
lichen verscHwindet. Wir untersuchen zunScbst, ob es 
mftglich 1st, der Grleichung (1) duroh das Produkt dreier 
Funktionen zu geniigen, deren jede nur von einer der 
Yariabeln ** 3 ^,^ abhangt: 

(2) W=WiW2W B , 

wo Wi nur von r, TTss nur von ^, TFs nur von <p ab- 
hangt. Setzt man (2) in (1) ein und dividiert dann 
dureh TPk TPa WQ , so erbalt man 



i vw.\ 

sin 2 ^ d<p* y 



Wi dr W 2 sin^ d& "" W* si 

Die rechte Seite von (3) ist von r unabhSngig, dasselbe 
gilt also auch von der linken Seite, und da diese unserm 
Ansatze zufolge weder &, noch <p enthalt, so muB sie 
gleich einer Konstanten sein, d. b. wir erhalten fur TFi 
die gew8bnliche Differential gleichung 



(4) -2-^. 

Ihr geniigt 

Fir, 
falls 

a(a+l)-a 

ist. Da a eine beliebige Konstante bezeichnet, kQnnen wir 
sie durch die andere Konstante a ersetzen, d. L (4) fol- 
gendermafien schreiben: 



(4a) 



_ 



und dieser Gleiohung geniigt sowohl r a , als r~^+^ f ihr 
allgemeines Integral ist daher 



(5) Fk 

"Wangerin, Theone des Potentials H, 



114 II. Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

wo Ai und A willkurliche Konstante sind. Nun muB W , 
daher W fiir r = oo verschwinden, doch so, dafi lim (r Wi) 
endlich 1st, daher muB entweder a > und A = oder 
< 1 und J. = sein. Beide Falle unterseheiden sich 
nur in der Bezeicbnung, d. h. es wird 



Zugleich geht (3) in 



(6) 




Fisin# d& 



uber. Das ist eine Gleichung derselben Form, \vie sie 
schon friiher bei der Bestimmung der Form der allge- 
meinen Kugelfnnktionen behandelt ist [Gl. (17 a), 8. 72J, 
nur daB in (6) eine beliebige positive Konstante a auftritt, 
dort aber eine ganze ZaH n. Wie dort, folgt zunachst, 
dafi Tfi die Form haben mufi 

(7) Fs C cos (v <p) + C f sin fy <p) , 

wo v eine positive ganze Zabl oder Null ist, und daB TFi 
der Differentialgleicbung der Zugeordneten geniigt, darin 
den Parameter w durch a ersetzt. Nun ^vissen wir, 
daB die Differentialgleichung der Zugeordneten, falls der 
!Parameter n keine ganze Zahl ist, weder fiir v = [vgl. 
S. 49], noch fur r>0 [vgl. S. 65, Zusatz] ein Integral 
besitzt, das gleichzeitig fiir cos & = 1 und cos fr = 1 
endlieh ist, und dafi ein Gleiches auch stattfindet, wenn 
n zwar eine ganze Zahl, aber o ist [vgl. S. 65]. Da W 
in dem betrachteten Raume iiberall endlieh sein soil, moB 
"PFa dieselbe Eigenschaft haben, und das ist nur moglich, 
wenn fiir die bis dahin beliebige Konstante a eine ganze 
Zahl > v oder Null gesetzt wird. Auch bei Erf iillung dieser 
Forderung kommt von den beidenlntegralen der Gleichung 
der Zugeordneten nur das Integral P n v (cos ^) in Betracht, 
da $,v(cos#) fiir cos^ = + l unendfich wird. Somit ist 
in (5a) 

(8) a = einer ganzen Zahl n > v oder = , 
ferner ist 

(9) TF> 



Kap.3. Andere Ableitung der Losung der Bandwertaufgabe. 115 

Unser Ansatz (2) ergibt demnach als einzige LSsung 
von (1), die diese Form hat und zugleich die sonstigen 
Eigenschaften des Potentials besitzt, 

(10) W 



Darin kann man ohne weiteres.4.B=l setzen, da ABCnvr 
ebenso sine willkiirliche Konstante bezeichnet wie allein. 
Solcher Losungen (10) von (1) gibt es unendlich viele, da 
fiir n eine beliebige positive ganze Zahl oder Null genommen 
werdea kann, fiir v jede positive ganze Zahl <n. Da (1) 
eine lineare Differentialgleichung 1st, so gibt die Summe 
mehrerer partikularer LSsungen \rieder eine Losung. Die 
allgemeinste LSsung von (1), die alle eharakteristischen 
Eigenschaften des Potentials besitzt, erhalt man daher, wenn 
man fiir n und v alle moglichen positiven ganzen Zahlen 
(nur v<n) oder Null setzt und dann alle so erhaltenen 
partikuTSren LBsungen addiert. Bei der Summation kann 
man zuerst fiir ein festgehaltenes n nach v summieren, 
nachher nach n, oder auch zuerst bei festgehaltenen v 
nach n, nachher nach v. Das gibt, wenn man die Kon- 
stanten C,C' 9 die in jedem Summanden andere sein k&nnen, 
noch durch Indizes unterscheidet: 




Im folgenden soil stets die erste Art der Summation, dL L 
die Formel (11) festgehalten werden. In dieser Formel 
ist die innere Summe nichts anderes als die allgemeine 
Kugelfunktion Ztt(^,f). Wir sehen also, daB fur dea 
Eaum aufierhalb der Kugel R die einzige Losung von (1), 
die alien Nebenbedingungen geniigt, 

(lit) 

ist. 

8* 





116 II Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

b) Betrachten wir die Wirkung von Massen, die aufier- 
halb der Kugel E oder auf ihrer Oberf&che liegen, auf 
Punkte innerhalb der Kugel, so gilt fast wfatlich dasselbe 
wie in a), nur dafi tier r 0, nicht aber = oo werden 
kann. Damit W auch fur r==0 endlich bleibt, nmfl hier 
in (5) a eine positive Zahl oder Null und JL = sein. 
DaB a eine positive ganze Zahl >y oder Null sein mufi, 
folgt, wie vorher, aus der Differentialgleichung fur TFs. 
So ergibt sich fur W der Wert 

(12) 

Zusatz. Die paxtikulare Losung rX n (&,<p) (die 
raumliohe Kugelfunktion) 1st die allgemeinste homogene 
ganze Funktion -ter Ordnung der rechtwinkligen Koordi- 
naten X)y,ss, die der Laplaceschen Gleichung geniigt. 

Denn 2n(#,0) ist eine ganze homogene Funktion 
ti-ter Ordnung von cos # ? sin & cos <p , sin -5- sin <p (S. 7475), 
r n Xn(&,y>) daher eine ebensolche Funktion von rcos#, 
rsin^cos^, r sin & sine?, d. h. von den rechtwinkligen 
Koordinaten x,y } 0. Alle iibrigen partikularen LSsungen 
der Laplaceschen Gleichung, die im Innenraum einer 
gegebenen Kugel endlich und stetig sind, sind homogene 
ganze Funktionen von hdherer oder niedriger Ordnung. 
Mithin ist v^X n (^ y (p) die allgemeinste ganze homogene 
Funktion -ter Ordnung von x,y)# } die der Laplaceschen 
Gleichung geniigt, 

c) Liegen die wirkenden Massen teils aufierhalb oder 
auf der Kugel R, teils innerhalb oder auf der konzent- 
rischen Kugel Bo (< JR) , wahrend der Eaum zwischen den 
Kugeln JB und RQ keine wirkenden Massen enthalt, uud 
wird fur einen Punkt des letztgenannten Eaumes, d. h. fur 



das Potential der wirkenden Massen gesucht, so kann r 
weder =0, noch =00 warden. Hier bleibt der allgemeine 
Ausdruck (5) ftir alle in Betracht kommenden r endlich ; 
nur muB wieder eine ganze Zahl sein. In diesem Falle 
>vird daher 



Kap. 3. Andere Ableitung der Losung der Eandwertaufgabe. 117 
(13) 




wo X' n ebenso wie X n eine allgemeine Kugelf unktion w-ter 
Ordnung 1st; nur haben in 3? n die Konstanten anderc 
Werte als in 2^. 

d) Um die in den Lbsungen auftretenden Kugel- 
funktionen, deren iede ja wiUkiirliche Konstante enthalt, 
zu bestimmen, mufi in den Fallen a) und b) der Vert 
von W an der Kugel _R gegeben sein. Diesen gegebenen 
Wert F(& 9 <p) entvsdckle man nach Kugelfunktionen 



(14) 

Aus (11 a) folgt andererseits 



mithin muB 

und 
(15) 

sein, wSlirend fiir denselben gegebenen Wert 



wird. Die Gleichung (15) enthalt die LQsung der ersten 
Eandwertaufgabe fiir das Gebiet auBerhalb der Kugel 
By Gleicbung (16) die Losung fiir das Innere der Kugel, 
d. h, die Losung der Aufgabe, ftir das betreffende Gebiet 
eine Funktion zu bestimmen, die alle charakteristischen 
Eigenschaften des Potentials fiir Punkte aufierhalb der 
wirkenden Masse besitzt, und die zugleich an der Grenze 
(am Rande) des Gebiets gegebene Werte (hier durch (14) 
gegeben) annimmt. 



118 



II. Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 



Zur LSsung der Randwertaufgabe fiir das zwischen 
den konsentrischen Kugeln JR,JRo Kegende Gebiet miissen 
die Werte von W an den beiden Kugelfl&chen gegeben 



V r. 

nZ$ 



sen: 



(14 a) 



Andererseits folgt aus (13): 



(17) 



Da zwei Entwicklungen- derselben Funktion nach Kugel- 
funktionen gliedweise ubereinstimmen miisseD, ist 



Setzt man die axis diesen Gleichungen folgenden Werte 
von X ny "S n in (13) ein, so erh^llt man als Losung der 
ersteh Eandwertaufgabe fur den vorliegenden Fall 




Zusammenfassend sehen wir, dafi in den genannten drei 
Gebieten W dadurch vollig bestimmt ist, daB W der 
Laplaceschen Gleichung gentigt, innerhalb des Gebietes 



Kap. 3. Andere Ableitung der Losung der Randwertaufgabe 119 

nebst alien Ableitungen endlich und stetig ist, im Unend- 
lichen aber verschwindet, und daJJ endlich W an der oder 
den Grenzen des Gebiets gegebene Werte annimmt. 

e) Die eben entwickelten allgemeinen Formeln sollen 
auf folgende spezielle Falle angewandt werden. 

a) Im Innern einer Kugel vom Eadius E sei ein 
fester Punkt P (der Pol) gegeben ; seine Polarkoordinaten 
seien TO, #o, fo. Ferner sei Q der Abstand eines beliebigen 
Punktes ji(/,#,p), der im Innern oder auf der Eugel 
liegt, von P. Gesucht wird eine Funktion G, die fur alle 
Pimkte A die charakteristischen Eigenschaften des Potentials 
von Punkten auBerhalb der wirkenden Masse besitzt, und 
die, wenn A in einen Punkt der Kugelflache E fallt, wenn 

also r = jR wird, den Wert annimmt. 

1 9 

selbst besitzt die geforderten Eigensohaften nicht, 

Q 1 

da, wenn A in P fallt, unendlich wird, wahrend G fur 

alle Punkte innerhalb der Kugel endlich sein soil. Bei 
der Bestimmung von 6? handelt es sich einfach um die 
Losung der Eandwertauf gabe f iir Iimenpunkte. Nach (16) ist 



und die gegebenen Randwerte sind (14) 
Es ist also 



WO 

cos ?>o = cos & cos #o + sin 5* sin #o cos (<p 
ist, mitbin 

(19) in(^, f ) 

und weiter 




120 



Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 



Dies Resultat zeigt, dafi G sich nicht andert, wenn man 
ro,#o,fo mit r,&,<p vertauscht, dafi G also eine symme- 
trische Funktion der Koordinaten des Aufpunktes (r y &,<p) 
und des Pols (ro^o^o) ist 

Die Summation in (20) kann nach der Grundformel 

(1), S. 9 ausgeftihrt werden, wenn man den Faktor ^ 
vor das Summ^nzeichen nimmt, so dafi 




wird. Das Eesultat laBt eine em- 
fache geometrische Deutung zu. 
Sucht man auf dem Kugelradius 
OP denjenigen Punkt Pi, dessen 
Abstand vom Mittelpunkte den 
Vert 

R* 



A* A. 



hat, so ist die, Quadratwurzel auf der reehten Seite von 
(20a) der Abstand des Punktes A(r,&,q>) von Pi, dem 
reziproken (oder auch konjugierten) Punkte von P. Be- 
zeichnen wir A Pi mit ^i, so ist demnach 






(20b) 
' 



DaB ff wirkKch alle verlangten Eigenschaften hat, 
ist aus (20 b) leicht zu erkennen. Dann ist das Po- 

?! 

tential eines Massenpunktes auBerhalb der Kugel, besitzt 
daher fiir alle Punkte A innerhalb der Kugel die charak- 
teristischen Eigensehaften des Potentials und fur r = J{ 

wird DI = -p. 

ro * 

/?) Die analoge Aufgabe fiir den AuBenraum der 
Kugel E fuhrt zu einer analogen Losung, Liegt der 



Kap. 3. Andere Ableitung der Losung der Randwertaufgabe. 121 



Pol P (tt , #o , po) auBerhalb der Kugel JR(ro>B) und 
sucht man fiir den AuBenraum der Kugel die Funktion 
6r (a) , die die eharakteristisehen 

Eigensohaften des Potentials (von /- ^ x ^ 

Punkten auJBerhalb der Masse) 

besitzt, und die fur Punkte der / &/A \o f 

Kugelflache selbst -^-^ wird, so 



1st diese 
(21) 

' 



Jr fA- 



To Q 




Fig 6. 



wo Q'I den Abstand des auBeren Punktes A von dem 
inneren Punkte Pi bezeichnet, der mit P auf demselben 
Radius liegt, und dessen Abstand vom Mittelpunkte 

R* 



ist. 

y) Die Bestimmung von G fiir den Raum zwischen 
den konzentrischen Kugeln JR,JRo, wobei der Pol P eben- 
f alls zwischen diesen Kugeln liegt, also 



JB > ro > Bo 

ist, ergibt sich aus (18), da G sowohl fur 

r B gleich ^= werden muB: 
i PA. 



als fiir 



Znsatz. Kehren wir zu dem ersten Fall zuriick, in 
dem der Pol P im Innenraum lag, und suchen fiir den 
Aufienraum die Funktion W, die an der Kugelflehe It 

denselben Wert wie G annimmt, so ist sie , wo Q a deja 



122 H- Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

Abstand eines auBeren Punktes von dem im Innern ge- 

legenen Pol P bezeichnet. Denn gentigt alien Be- 

dingungen, denen W zu geniigen hat, und W 1st durch 

diese Bedingungen und die Randwerte eindeutig bestimmt. 

Eine Funktion, die hmerhalb der Kugel E den durch 

(20b) bestimmten Wert ff, auflerhalb den Wert hat, 

tjtt 

besitzt alle charakteristischen Eigenschaften des Flachen- 
potentials. Urn diese Potentialwerte zu erhalten, mnfi man 
die Kngel mit Masse von der Diehtigkeit 



(23) 



belegen Die Gesamtmasse der Kugelflache ist dabei = 1. 
Die Ausfiihrung der Rechnung ergibt, wenn man fiir 
G die Reihe (20) nimmt, aus der ja (20b) abgeleitet ist, 
ferner fur 

1 : q a = 1 : y r 2 + rl 2 r ro cos yo 

die Reihe, die aus der Entwicklung nach Kugelfunktionen 
fiiT ro<r folgt, 




oder, wenn man 'die Summation mittels der S. 103 abge- 
leiteten Hilfsformel ausftihrt, 

* 2 
(23 b) 



4 x E }(E* + rl - 2 Er cos y ) 8 
Die Funktion 
(24) =<?-!, 

in der g den Abstand eines inneren Punktes von dem 
ebenfalls im Innern gelegenen Pol bezeichnet, G den Aus- 
druck (20 b\ heiBt die Greensche Funktion fiir den Innen- 
raum der Kugel. Sie hat fiir alle inneren Punkte die 



Kap.4. Die zweite Bandwertaufgabe fur die Kugel. 123 

charakteristischen Eigenschaften des Potentials, auBer im 
Pol P 3 wo sie unencflich wird, mid sie verschwindet fiir 
Punkte der Kugelflache selbst. andert semen Wert 
nicht, wenn man r,#,p und ro,#o,y?o initeinander ver- 
tauscht Die durch (23) oder (23b) bestimmte Dicbtigkeit 
/ heifit die Dichtigkeit der Greenschen Belegung. 
Analog ist die Greensche Funktion fiir den AoBenranm 
<ler Kugel 

(25) w = Gw^l 7 . 9 

wo Gto den Ausdruck (21), Q' den Abstand eines beliebigen 
JiuBeren Punktes von dem Pol (Vo,#Oj$Po)j [ro>E], be- 
zeichnet. 

Kapitel 4. 

Die zweite Itandwertaufgabe fiir die EngeL 

Zur Bestimmung der in den allgemeinen Gleichungen 
(11 a), (12) und (13) des vorigen Kapitels auftretenden 
Kugelfunktionen kSnnen statt der Werte, die W an den 
begrenzenden KugelMcben annimmt, auch die Werte ge- 
geben sein, die der Differentialquotient von W naok der 
Normale an jenen Kugelflachen annimmt. Die Brmittelung 
von W aus dieser Be^mgiuig nennt man die zweite 
Randwertaufgabe. Bei ihrerL^sung ergibt sick zwischen 
dem Aufien- tind Lmenraum ein Unterschied. 

a) AuBenraum. Es wird eiae Funktion W gesucht, 
die in demEaume aufierhalb der Kugel JR derLaplaceschen 
Gleichimg und alien Stetigkeitsbedingungen des Potentials 
geixiigt, ;und deren Ableitung nach der SuBeren Normale 
des Eaumes an der Kugel E gleich einer gegebenen Fonk- 
tion F(&,<p) ist 

Nacli Gleichung (Ha) des vorigen Kapitels hat W 
die Form 



daher 




124 II? Die Potentialanfgaben for die Kugel. 

Nun hat an der Kugel R die Suflere Normale des be- 
trachteten Gebiets die Bichtung der abnehmenden r. Die 
Ableitung von W nach der aufleren Normale des Gebiets 
ist also an der KugelMche JR 




Die Ableitung soil den Werfc F(&,<p) haben, der, nach 
Kugelf unktionen entwickelt, 

(2) 

sei. Dann mufi 



sein, und als Eesultat ergibt sich 

00 

(3) TF = 



b) Innenraum. Hier mufi man, wenn F eine be- 
liebig gegebene Funktion sein soil, die Randbedingung 
dahin modifizieren, dafi die Ableitung von W nach der 
HiiJSeren Normale des Gebiets (die hier die Eichtung der 
zunehmenden r hat) sich an der Kugel B von einer ge- 
gebenen Fumktion F(&,<p) urn eine (noch zu bestimmende) 
Konstante G unterscheidet. Nach Gleichung (12) des 
vorigen Kapitels hat hier W die Form 

(4) 
daher 




(denn das Glied fur = verschwindet beim Different!- 
ieren). Ist auch hier F(& 9 p), nach Zugelfunktionen ent- 



Kap.4. Die zweite Randwertaufgabe fur die Kugel. 125 

wickelt, durch die Reihe (2) dargestellt, so 1st die Kand- 
bedingung * 



Aus (4 a) und (5) folgt fur 

(6) 

w&hrend fur 
(6 a) 

wird. Damit ist bestimmt. Dagegen ergibt sich fiir das 
konstante Glied XQ von (4) iiberhaupt keine Bedingung, 
Xo bleibt vSllig willkiirlich. Mithin wird hier 



Ebenso lafit sich die zweite Randwertaufgabe fiir den 
von zwei konzentrischen Kugeln begrenzten Raum be- 
handeln. BQer ist die Randbedingung an einer der beiden 
Kugeln die gleiche wie b), an der andern die gleiche wie in a). 

c) Driickt man die Kugelfonktionen durct die ge- 
gebene Fiinktion JF(^,^) selbst aus: 



(8) T n 




j.26 II- D ie PotenUalaufgaben fur die Kugel 

Die tier auftreteaden SmnmationerL lassen sick aus- 
ftthren, Venn man n^mlich die Gleichung ' 



nach a integriert und die Integrationskonstaate so bestimmt, 
dafi das Integral fur a = verschwindet, so erhalt man 



/* da 

^ ^ 



1-cosy 



und 
(ila) 



a cos y + V 1 2 a. cos y + a 
1 cos y 

Zur Ausfiihrung der Summation in (10) gebraucht 
man. die Hilfsformel 



2 2 + /^ a [ , 1 Hi 

yi 2acos^+a- y a Lyi 2acos;^-l-a 2 J 

^-S+log^^ 



, 
cos y + }/! 2acosy-f a 

Durch Anwendung von (Ila) auf (9) und von (12) auf 
(10) ergeben sich fitr W a und W l Integraldarstellungeii 
in geschlossener Form, die den Poissonschen Integralen 
bei der ersten Eandwertau%abe [Gl. (11) und (Ila), 8. 103] 
analog sind. 



Kap 4. Die zweite B/andwertaufgabe fur die Kugel. 127 

d) Es sollen die allgemeinen Fonneln auf folgende 
spezielle Falle angewandt werden. 

a) Es sei W fiir den AuBenraum der Kugel R zu 
bestimmen, w'ahrend 




ist, wo Q den Abstand eines beliebigen Punktes von einein 
festen, auBerhalb der Kugel gelegenen Punkte P (dem Pol) 
bezeichnet; und es soil W in diesem Falle mit 0^ be- 
zeichnet werden. 

Hier ist, wenn TQ den Abstand des Poles vom Mittel- 
punkt bezeichnet, cos/o denselben Wert wie S. 119 hat, 

Id- 

? 
' l 



2 



somit 

T? i 
T n (#,?) = - ^^ P B (cos yo) , To = , 

und 

(13) S S " 



Mittels der BElfsgleichung (11) ergibt sich aus (13) fiir 
die endliche Form 



128 n. Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

g a \ g(g)__ 

J u , *^_2JRV rcosyo 



i ~roro 2 2j? 2 r rcosy l 

^JJ I r r(l cosyo) 

(Das Argument des Logarithmus bleibt auch fiir cos yo = 1 
endlich ) 

Bezeichnet (/ den Abstand eines beliebigen auJJeren 
Punktes (r,#,0 von dem ebenfalls aiiBerhalb gelegenen 
Pole (fl>,#o,yo), so nennt man die Funktion 

(14) gw^glW-J. 

die zweite Greensche Fanktion fiir den Aufienraum 
der KugeL Sie hat fiir die aufieren Punkte die Eigen- 
schaffcen des Potentials mit Ausnahme des Pols, in dem 
sie tmendlich wird. An der Kugel selbst ist ihre normale 
Ableitung =0. 

/?) Sucht man entsprechend ftir den Innenraum der 
Kugel die Funktion W t , fiir die 




ist, \V T O ro,#o,^ (ro<B) die Polarkoordinaten des Poles 
sind, und bezeichnet diese spezielle Funktion mit G, so 
ergibt sich 

1 "'^ 

t\ KN i5U) "V i 

(lo) G =; + 



worin Xo eine willktirliche Konstante bezeiehnet, wahrend 
die obige Konstante C den Wert ^ hat. Die zweite 



Kap. 5. Die Elektrizitatsverteilun& auf einer leitenden Kngel. 129 

Greensche Funktion fiir den Innenraum der Kugel 
ist dann 

/w rt\ rtt^ ?i^^ 

wo Q den Abstand eines beliebigen inneren Punktes von 
dem (ebenfalls im Inneren gelegenen) Pol ist. 



Kapitel o. 

Die Elektrizitatsverteilnng auf einer leitenden Kngel 
Oder Kugelschale. 

a) Grundlage der Untersuchung. 

Die Theorie der elektrischen Verteilung, deren Grund- 
ziige zuerst von Poisson 1811 entwickelt sind [Ed. ^TTT 
der M^moires der Pariser Akademie], geht von der 
Vorstellung aus, daJB es zwei elektnselie Fluida gibt. 
Gleichartige elektriscne Massen stofien einander ab, un- 
gleichartige ziehen sich an. Anziehnng wie Abstofiiing er- 
folgen fiir pnnktf (Jrmige Massen umgekehrt proportional dem 
Quadrat der Entf ernung und direkt proportional den wirken- 
den Massen (Conlombsches Gesetz). Beide Wirkungen, An- 
ziehung und AbstoBung, kann man durch dieselbe Formel 
darstellen ; wean man die Massen nicht absolut nimmt, 
sondern den Massen der einen Art (und damit inrer 
Dichtigkeit) das positive, denen der andern Art das nega- 
tive Vorzeichen gibt. Die Wirkung^ welehe die punkt- 
fSrmige Masse m von der punktf(5rmigen Masse p erfahrt, 
hat die a?-Komponente 

m Y f**P<*) 
(l) A = jj , 

wenn ,ij, die Koordinaten von |ti,^,y ;( e die von m 
sind, Q die Entfernung beider Massen, f ein von dem MaB 
der Kraft abhangiger Faktor. Haben m und ^ gleiche 
Vorzeichen, so stellt (1) die rc-Komponente einer abstofien- 
den, bei ungleichen Zeichen von m und /* die a?-Komponente 
einer anziehenden Kraft dar, Wie in Bd. I (Abschnitt I, 

Wangerin, Theorie dee Potentials TL 9 



130 H* Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

Kap. 3) kann man die drei Kraftkomponenten durch das 
Potential V darstellen, und zwar ist hier 

SY 



Ferner kann man von punktformigen Massen ganz wie 
im Abschnitt I (Kap. 1 and 3) zu Massen iibergehen, die 
im Raume oder au Flachen verteilt sind. 

In bezug auf das elektrische Verhalten verschiedener 
Korper unterscheidet man Leiter und Nichtleiter. Die 
ersteren pflanzen den elektrischen Zustarid sehr schnell 
und mit groBer Leichtigkeit fort, die Nichtleiter gestatten 
diese Fortpflanzung nur in geringem Grade. Die'Unter- 
suchung der Elektrizit&tsverteilung bezieht sich nur auf 
Leiter, die isoliert aufgestellt oder mit der Erde leitend 
verbunden sind. Weiter nimmt man an ; daB im natiirlichen 
(unelektrischen) Zustande die beiden elektriscben Fluida 
sich so durch oringen ; daB in jedem Massenelement des 
Leiters gleichviel positive und negative Elektrizitat vor- 
handen ist, und zwar in jedem Element in unbegrenzter 
Menge. Beide Fluida neutralisieren einander dann derart, 
da6 ein solcher ESrper keine elektrische Wirkung aus- 
iibt. Dieser neutrale Zustand wird aufgehoben: 1. durch 
Mitteilung freier Elektrizitat. Wird dem neutralen Korper 
ein Uberschufi der einen Elektrizitat mitgeteilt, so mrkt 
diese auf jedes Volumenelement dv des Leiters. Die der 
mitgeteilten gleichartige Elektrizitat von dv wird abge- 
stoBen, die ungleichartige angezogen. Die mitgeteilte 
ElektrizitSt tibt also eine Scheidefaaft auf die neutrale 
Elektrisitat aus; die dadurch entstandene freie Elektrizitat 
kann sich auf dem Leiter ohne Widerstand verbreiten, und 
diese Wirkung dauert an, bis nach sehr kurzer Zeit die mit- 
geteilte Ladling und die f reigewordenen elektrischen Massen 
sich so verteilt haben, dafi auf kein Volamenelement dv 
des Leiters eine anziehende oder abstoBende Wirkung aus- 
geiibt wird, bis also elektrisches Gleichgewicht eingetreten 
ist 2. Ohne dafi dem Leiter freie Elektrizitat mitgeteilt 
ist, wird eine Scheidekraft auf die in dem Element dv 
vorhandene neutrale Elektrizitat auch schon ausgeiibt, wenn 
dem unelektrischen Leiter eine elektrische Masse (ein 
elektribcher Korper) genahert wird. Man bezeichnet diese 



Kap. 5. Die Elektnzitatsverteilung anf einer leitenden Kugel. 

Art von Entstehung der Eiektrizitat als Influenz. Durch 
Influenz entsteht stets gleichviel positive und negative 
Eiektrizitat, da vor und nach. der Influenz jedes Volumen- 
element nur neutrale Eiektrizitat, d. h. gleichviel positive 
und negative besaB. 3. Es kann dem Leiter f reie Eiektri- 
zitat mitgeteilt seio. und auBerdem eine auflere elektrische 
Masse influenzierend auf ihn wirken. In alien Fallen soil 
untersucht werden, wie sich die dem Leiter mitgeteilte 
oder die in ihm durch Influenz entstandene Eiektrizitat 
nach. Eintritt des elektrischen Gleichgewichts verteilt. Der 
Leiter kann entweder isoliert aufgestellt oder mit der 
Erde leitend verbunden sein. 

Die Aufgabe lafit sich dahin erweitern, dafi mehrere 
voneinander isolierte Leiter gegeben sind, denen beliebige 
elektrische Ladungen mitgeteilt sind, und auf welche auBer- 
dem gegebene aufiere elektrische Krafte mrken. Zu nnter- 
suchen ist, wie sich bei der hier neu hinzukommenden 
gegenseitigen Ein-wirkung der Leiter auf einander die Eiek- 
trizitat auf den einzelnen verteilt. 

A us den yorstehenden Q-rundvorstellungen ergibt sich 
nun folgende allgemeine Eigenschaft der Anordnung der 
Eiektrizitat auf Leitern: Alle freie ElektrizitSt kann 
sich nur anf der Oberfl&che der Leiter befinden, 
nicht in ihrem Innern. Denn im Gleichgewichtsznstande 
mnB die Verteilung der Eiektrizitat eine solehe sein ; dafi 
fiir alle Punkte A, im Innem eines Leiters die Wirkungen 
aller vorhandenen Anziehungen und Abstofiungen sich auf- 
heben; sonst -wiirde eine weitere Scheidtuag der neutralen 
Eiektrizitat stattfinden, es ware also kein elektrisohes 
Gleichgewicht vorhanden. Es miissen also in jedem inneren 
Punkte A die Komponenten X,Y } Z der gesamten wir- 
kenden Kraft verschwinden. Da dies fur alle inneren 
Punkte stattfinden mufi, miissen auch die Ableitungen von 
X,Y 9 Z nach den Koordinaten von A verschwinden, ins- 
besondere mufi daher 



(3) 

7 



seiii, da schon die einzelnen Summanden verschwinden. 

9* 



132 H. Eie Potentialaufgaben fur die Kugel. 

f\ -IT- f\ - 'jg TT* 

Da nach (2) X= g , so ist ^ = ^- usw. 3 so dafi 
Gleichung (3) lautet: 



Daraus folgt, dafi in dem bei A liegenden Volumenelement 
keine freie Elektrizit&t vorhanden sein kannj denn ware 
solche vorhanden, wiirde also A innerhalb der wrrkenden 
Masse liegen, so wiirde nicht die Laplacesche Gleichung 
gelten, sondern die Poissonsche 



(f 
de 



und m = 1 genommen) ; d. h. es wiirde die Bedingung 
des elektrischen Gleicljgewichtes dort nicht erffillt sein. 
Diese Bedingung erfordert mithin, daft tiberall im Innern 
des Leiters i = , d. h. daB wirkende Masse nur auf der 
Oberfl&che des Leiters verteilt ist. 

Ist nun eine beliebige Anzahl von isoliert aufgestellten 
Leitern gegeben, so muB sich nach dem Gesagten die 
Elektrizit&t auf den Oberflachen der einzelnen so verteilen, 
dafi die Summe der Potentiale, die von diesen Oberflachen- 
belegungen und von den etwa aufierdem auf die einzelnen 
K^rper wirkenden (gegebenen) elektrischen KrSLften her- 
riikren, im Innern eines jeden einzelnen Leiters konstant 
ist. Der konstante Wert der Potentialsumme kann in 
jedem K^rper ein anderer sein. Aus diesen Bedingungen 
die Art der elektrischen "Verteilung zu bestimmen, ist die 
Aufgabe der Elektrostatik. 

Fiir einige einfache Falle erhalt man die Losung der 
Aufgabe unmittelbar aus bekannten Satzen der Potential- 
theorie. 

Wird einer isoliert aufgestellten leitenden Eugel eine 
elektrische Ladung mitgeteilt, ohne dafi sonstige elektrische 
Krafte auf die Kugel wirken, so verteilt sich die Ladung 
auf der Eugelflache mit gleichformiger Dichtigkeit. Denn 
nach dem Satze Bd. I, S. 23 iibt eine derartig geladene 
Kugel auf einen im Innern gelegenen Massenpunkt keine 
Wirkung aus. 



Kap. 5. Die Elektrizitatsverteilung auf einer leitenden Kugel 1 33 

Die Dichtigkeit, mit der sich eine elektrische Ladung 
auf einem leitenden, isoliert aufgestellten Ellipsoid ver- 
teilt, auf das keine Sufieren Krafte wirken, ergibt sich aus 
Bd. I, S. 234 [Formel (30)], da bei dieser Dichtigkeit der 
Oberfldchenbelegung das Potential fur innere Punkte eineii 
konstanten Wert besitzt. 

Z us at z. Sind nicht alle Leiter isoliert aiifgestellt, 
sondern ist einer derselben L mit der Erde leitend ver- 
bunden, so bilden L und die Erde zusammen einen einzigen 
leitenden KSrper. Im Falle des elektrischen Gleichge- 
wichts nxu8 die Summe der Potentiale aller wirkenden 
Krafte innerhalb des ganzen Leiters konstant sein, d. h. 
die Summe mufi innerhalb L denselben Wert haben wie 
mnerhalb der Erde. Nun lehrt die Erfahrung, dafi durch 
die leitende Verbindung von L mit der Erde der elek- 
trische Zustand der letzteren nicht ge&ndert wird. War 
die Erde yorher unelektrisch, so ist sie es auch naohher. 
Das Potential eines vSllig unelektrischen Leiters aber ist, 
da an seiner Oberflache keine Elektrizitat vorhanden oder ; 
was dasselbe, da die Dichtigkeit der Elektrizitat liberal] 
= ist, ebenfalls =0. Ist die Erde dauemd unelektrisch, 
dauernd im natiirlichen Zustande (was allerdings nicht 
ganz streng, aber mit groBer AnnSherung zutrifft), so ist 
ihr Potential stets gleich NulL Hiernach muB also auch 
die konstante Summe der Potentiale aller wirkenden elek- 
trischen Massen innerhalb eines zur Erde abgeleiteten 
Leiters den Wert Null haben, 

b) Elektrizitatsverteilung auf einer leitenden 
Kugel. 

L Einer isoliert aufgestellten leitenden Vollkugel vom 
Eadius E sei ein gewisses Quantum M freier Elektri2atlit 
mitgeteilt, und auBerdem mbge die Kngel unter der Wir- 
kung gegebener elektrischer Krafte stehen. die auBerhalb 
der Kugel ihren Sitz haben. Wie verteilt sich die mit- 
geteilte freie, resp. die durch Influenz entstehende Elek- 
trizitat auf der Kugeloberflache? 

Das Potential der gegebenen elektrischen Ea-afte hat, 
da sie von Massen aufierhalb der Kugel, deren Kadius E 
sei, herrtthren, nach Gleichung (16), S. 117 die Form: 



134 n. Die Potentialaufgaben te die Kugel. 

(4) CJ 



und darin sind alle Kugelfunktionen Z gegeben. Ferner 
sei die unbekannte Diohtigkeit, mit der sich die freie 
Elektrizitat auf der Kugel verteilt, 

(5) 

Das Potential dieser Oberflachensehicht ist nach Gleichung 
(4b), S. 98 fiir innere Punkte 



Das Potential der Gesamtwirkung, die auf einen Punkt im 
Innern der Kugel ausgeiibt wird, muB konstant sein, d. h. 

(?) r+r-c. 

In U+ 7 mtissen daher die Koeffizienten der einzelnen 
Potenzen von r 9 rait Ausnahme des Koeffizienten von r, 
verschwinden 3 fl.h. es mnB 



(8) ~X n ($,<p)^Z H ($, <*>) = $ (n>0) 



sein, wSirend ftir ==() 
(8a) 



ist. Durch (8) sind alle JT n bestimmt auBer jK" , das un- 
bestimmt bleibt, da iiber den Wert von C im voraus nichts 
bekannt ist. Aber nach (5b), 8,99 ist 

(9) ' ^-4 ff BAo, 

da M die Masse der der Kugel mitgeteilten Elektrizitat 
ist. Denn diese Masse ist bei der isoliert anfgestellten 
Kugel unverSnderlich, weil durch Influenz gleichviel posi- 
tive und negative ElektrizitSt enteteht, mithin die Gesamt- 
masse der allein rlurch InfliTenz entstehenden Elektrizitat 



Kap. 5. Die Elektrizitatsverteilung auf emer leitendea KugeL 1&5 

= ist. Nach alledem ergibt sich fur die gesuchte Dieh- 
tigkeit das Resultat: 



Die Dichtigkeit x, die von ZQ unabhangig ist, bestelit 
aus zwei Teilen, x = x'+x". Der erste Teil x/=lf:4^JB 2 
wiirde sich ergeben, wenn alle Z f iir n > verschwinden 
wurden, d. h. wenn keine Sufieren KraJEte auf die Kugel 
einwirkten. Denn da Zo von. 8- , <p unabhangig ist, wiirden, 
auch wenn Zo nicht =0 ware, die drei Komponenten 

v~?^r~?"^~~ s ^ m tii < 5 n =0 werden, Der zweite Teil K' von 
ox oy Q$ 

x wiirde sich f iir M ergeben ; dieser Teil riihrt somit 
nur von der infltienzierenden Wirkung der aitBeren Krafte 
her. x selbst entsteht durch Superposition der beiden 
Schichten, deren eine ohne Einwirkung aufierer Krafte, 
deren andere ohne Mitteihrag freier Elektrizitat entstehen 
wiirde. 

Bemerkung i. I)as Resultat hatte sich auch er- 
geben, wenn nnr gefordert ware, daB C7"4- V an der ganzen 
Oberflache der Kugel eineix konstanten Wert hat (vgL 
S. 112, Zusatz 2). 

Bemerkung 2. Statt der obigen hatte auch folgende 
andere Argumentation zum Ziele gefiihrt. Das Potential 
der Oberflachenschicht, deren Dichtigkeit zu bestimmen ist, 
ist nach (7) fur inn ere Punkte 

() Vt-O- 17=0- 



daher fiir Pankte der Kugelflache 

Off) T-o 



Aus dem Werte an der Oberflache aber folgt der Wert 
von F fiir SuBere Punkte aus Gleichung (15), S. 117 ; er ist 

7? 

GO ^-^-^ 



136 II- Eie Potentialaufgaben fur die Kugel. 

Da nun F z uncl V a durch eine Flachenbelegung der Kugel 
mit Masse von der Dichtigkeit x entstehen, so ist wegen 
der allgemeinen Eigenschaften des F&chenpotentials 



Die Ausfuhrung der Rechnung ergibt ebenfalls die 
Gleichung (10), wenn man noch beachtet, das lim (r V a )~M, 
d. h. (C 2b) R = M ist. r = 

II. Die Aufgabe I werde dahin modifiziert, daB die 
Kugel nicht isoliert au^estellt, sondern mit der Erde 
leitend verbunden ist. 

In diesem Talle ist naehS 133, Zusatz, C=0 zu setzen. 
Daher tritt an Stelle der Gleichnng (8 a) die andere 

(8b) 4^-I?/ro-r-Z P o = 0. 

Im ilbrigen bleiben die Kesultate ungeandert, so daB jetzt 
die Dichtigkeit der freien Elektrizitat 

(10a) ^ 



ward. Die Gesamtmasse der auf der Kugeloberflache ver- 
teilten Elektrizitat ist hier 



(11) 



7t *~n 

M' = J f 



gleichgUltig, welche Menge M freier Elektrizit'at der Kugel 
mitgeteilt ist. 



Auwendung. Elektrizitatsverteilung auf einer 

leitenden Kugel unter Einwirkung eines auBeren 

elektrischen Massenpiinktes. 

Die elektrischen Krafte, die auf die Kugel einwirken, 
inogen herriihren von einem elektrischen Massenpunkt A, 
dessen Masse =<, nnd dessen Abstaud vom Mittelpunkte 
der Kugel ==c 5st Wird die Linie OA zur Achse der 



Kap. 5 Die Elektrizitatsverteilung auf einer leitenden Kugel 1 37 

rSumlichen Polarkoordinaten genommen, so ist das Potential 
der gegebenen SLuBeren Krafte 

(12) P- , . * 



JFiir Punkte innerhalb der Kugel ist r<B, dagegen it 
c>B, also r<c. Entwickelfc man ZTnach Kugelfanktionen, 
so ist fur Punkte im Innera der Kugel 



d.h. hier ist 



Daher wird nach (10) , wenn die Kugel isoliert aufgestellt 
und ihr die Masse M freier Elektrizitat mitgeteilt ist, die 
Dichtigkeit der elektrischen Oberflachensohicht 



w (cos ft) 
c / 

ist, so lafit sich die Summation in (14) ausfiihren [vgl. die 
Foraiel (lOb), S. 103] und ergibt 



(15) M= i 

' s 



Um die Wii-kung des influenzierenden Massenpunktes zu 
erkennen, nehmen wir in (15) M=Q, d,h. wir betrachten 
den Pall, daB der Kugel keine freie Elektrizitat mitgeteilt 
ist. Dann ist die die Dichtigkeit 



138 



U. Die Potentialaufgaben fur die KugeL 



wo Q den Abstand eines beliebigen Punktes P der Kug, 

flache von dem Punkte A be- 
zeichnet, t=AT die Lange der 
von A an die Kugel gelegten 
Tangenten, wahrend, wie schon 
angegeben, c=OA ist Aus (15 1 ) 
folgt: 

fttr #i=0, d. i. im Punkte B 9 
ist x" = 




fiir #L=;T, d. i. im Punkte #, 

ist x" = 





H&7. 



fiir #1 = -^-, d.L in einem Punkte (7 des grofiten Kugelkreises, 
der auf JB I? senkrecht steht, ist -/"= 

fur cos-5-i= , d. h, in einem Punkte T des Beriihrungs- 
c 

kreises des von A an die Kugel gelegten Tangential- 

1 1 j. n & ( * } 

kegels, ist x A j> \ ^ } * 

In B und T hat x" das entgegengesetzte Vorzeichen von 
p, in und B r das gleiche; d.h. auf der A zugewandten 
Seite der Kugel sammelt sieh von der durch Influenz ent- 
stehenden ElektrizitSt die zu p ungleichartige, auf der ab- 
gewandten Seite die zu p gleichartige ElektrizitSt. Fur 
die Grenze beider, die durch einen zwischen den Kreisen 
TT f und CO' liegenden Parallelkreis zu beiden gebildet 
wird, gilt die Gleichung 



H&\ 
(16) 



j 
oder 



Die Gesamtmasse der durch 
gleichartigen Elektrizitat ist 



(17) 



die Influenz entstehenden 



Kap. 5. Die Elektrizitatsverteilnng auf einer leitenden Ktigel. 139 
d. i. nach Ausfiihrung der Integration 
(17 a) Jfc 



Das Potential der auf der Kugel allein durch Influenz ent- 
stehenden Elektrizitat ist nach (4b) resp. (4 a), S.98 

f iir innere Punkte (18) F, = p 2-.i -Pn(cos #)= - U, 






fflr auflere Punkte (Iff) 7 a = - u ii P* (cos 

E 



^ 

' c c 



yr 3 H 5- 2 >- cos & 
c* e 

Die Wurzel in V a ist der Abstand des Punktes &,&,$>) 
von dem Punkte Ai, der mit A auf demselben Eadius 

liegt, und dessen Abstand von = ist. V a ist daher 

c 

die Summe der Potentiate zweier Massenpunkte, Ah. die 
durch Influenz auf der Kugel entstehende Elektrizitat wirkt 
auf Punkte auBerhalb der Kugel so wie zwei Massen- 
punkte, deren einer in 0, deren anderer in Ai liegt und 

7? 72 

zwar ist die Masse des ersteren u , die des zweiten tt 

c c 

Der konstante Wert von 7+7 fiir innere Punkte 



c 

IL Ist die Kugel nicht isoliert aufgestellt, sondern 
leitend mit der Erde verbunden, so ist die Dichtigkeit der 
elektrischen Ladung der Kugel nach (10 a) 



wo Q und t dieselbe Bedeutung wie vorher haben. Hier 
ist also die auf der Kugel verteilte Elektrizitat iiberall 
mit p ungleichartigj die gleichartige Elektrizitat ist ganz 



140 II* Die Potentiaiaufgaben fiir die Kugel. 

zur Erde abgeleitet. Die Gesamtmasse der elektrischen 
Ladung der Kugel 1st nach (11) 

(lla) M' = -u-~-. 

Das Potential dieser Masse ist nach (4b) und (4 a), S.98, 

far innere Punkte (18 a) 7,= -^- f] ( Yp n (cos #) = - P, 

c =o\ c / 

fiir SuBere Punkte (18b) f a = - 




d. h. die Wirkung der Kugelladung allein auf aufiere Punkto 
ist gleich der eines in A liegenden Massenpunktes mit der 



c) Elektrizitatsrerteilung auf einer von zwei 
konzentrischen Kugeln begrenzten Schale. 

I. Die wirkenden auBeren Krafte haben ihren 
Sitz im AuBenraum. 

E und JRo (R>JR ) seien die Kadien der konzen- 
trischen Kugeln, die die leitende, isoliert aufgestellte 
Schale begrenzen, Fiir das Potential U der gegebenen 
Sufieren Krafte gilt, da sie aufierhalb der Kugel JB liegen, 
wieder die Gleichung (4), S. 134. Die durch Influenz ent- 
stehende und die der Schale mitgeteilte freie Elektrizitat 
konnte auf beiden Grenzflachen der Schale verteilt sein. 
Es sei ihre Dichtigkeit auf der Kugel J? = x ? auf der 
Kugel 2?o = ? und, nach Kugelfunktionen entwickelt, sei 

Das Potential V der Masse von der Dichtigkeit K ist, da die 
Schale innerhalb der Kugel E liegt, durch (6), S. 134 ge- 



Kap. 5. Die Elektnzitatsverteilung auf emw leitenden Kugel. 141 

geben, wahrend das Potential W der Masse von der Dich- 
tigkeit I, da die Schale aufierhalb der Kugel J? lieg-t 
nach (4a), S.98 den Wert hat: g ' 



Damit elektrisches Gleichgewicht besteht, muB ilir jeden 
Punkt im lanern der Schale 



d.h. mit Weglasstmg der Argumente von 




sein. Da diese Gleichtmg fur beliebige xwischen M and i? 
liegende Werte von r gilt, miissen die Koeffizienten aller 
Potenzen von r (auJSer von r) verschwinden. Das Ver- 
schwinden der Koeffizienten der negativen Potenzen von r 
erfordert, dafi alle i n , auch L , verschwinden. Damit 
aber wird auch ^=0 ; d.h. auf der inneren Kugelflache JRo 
1st gar keine Elektrizitat vorKanden^ nur die auSere Kugel- 
flache R besitzt eine elektrische Ladung. Das Verschwin- 
den der Koeffizienten der positiven Potenzen von r liefert 
genau dieselben Bedingungen wie bei einer Vollkugel 
Mithin auch denselben Wert von x wie 8.135 [GL (10)]. 
Die Elektrizitateverteilung anf einer von zwei koruzentrischen 
Kugeln begrenzten Schale ist genau dieselbe wie au einer 
Vollkugel, deren Radius gleich dem Radius der auBeren 
Grenzflache der Schale ist Solche Schalen wirken genau 
wie Vollkugeln. 

Auch fur den Fall, daB die Schale zur Erde abge- 
leitet ist, gilt dasselbe. 

II. Die influenzierenden Krafte haben ihren 
Sitz iin inneren hohlen Raume. 

In diesem Falle ist U das Potential von Massen, die 
innerhalb der Kugel B liegen. Tlir Punkte aufierhalb JRo, 
also auch fur die Punkte innerhalb der Schale hat nach 
(15), a 117 U die Form 

(22) V 



142 H. Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

Dieser Ausdruck fur U tritt an Stelle des Ausdruckes (4), 
S. 134 ; sonst 1st alles ebenso wie in ]STr. L Die Gleichung (2 1) 
nimmt jetzt die Form an 



woraus folgt 

(23) K n = fiir n>0, 



A us (23 a) sieht man, daB hier auch die Innenflache JRo der 
Schale eine elektrische Ladung besitzt, und daB diese 
Ladung eine solche Dichtigkeit hat, daB ihr Potential W 
[GL(2p)] far aUe Punkte aufierhalb ^o^ Pist, d.h. dafi 
die Wirkung der elektrischen Ladung von Bo die Wirkung 
der im inneren hohlen Eaume vorhandenen gegebenen elek- 
trisclien Krafte aufhebt. Die Gesamtmasse der auf JBo 
verteilten Elektrizitat ist nach (5b), S.99 



(24) Jlf 

Die Ladung der Sufieren KugelflSche R hat, wie man aus 
(23) sieht, konstante Dichtigkeit. Die gesamte auf R aus- 
gebreitete Elektriaitat hat die Masse jfcf JT == M +RoZ Qt 
falls M die Masse der der Schale mitgeteilten freien Elek- 
trizitat ist Denn da durch Influenz gleichviel Yon jeder 
der beiden Arten von Elektrizitat entsteht, muJ3 die Ge- 
samtmasse beider.Grenzflachen der Schale =M sein. Die 
Dichtigkeit der auf R verteilten Elektrizitat ist somit 

/OKX 

(25) x 

1st Jf=0, so ist x = JBo^:47r.R 2 ; aber RoZo ist die 
Gesamtmasse der Elektrizitat, die das Potential E7 hervor- 
bringfc [denn diese Masse ist Hm (r J7)]. Dadurch, daB man 

** QD 

den Sitz der gegebenen (als unveranderlich anzusehenden) 
elektrischen Krfite mit einer von konzentrischen Kugeln 
begrenzten Schale umhtillt, wird erreicht, daB diese Erafte 
nach aufien so wirken, als wSre die Masse, die die Er'afte 



Kap.5. Die Elektrizitatsverteilung auf einer leitenden Kugel. 143 

hervorbringt, gleichformig auf der auBeren Kugel It 
verteilt 

War die Schale nicht isoliert aufgestellt, sondern mit 
der Erde leitend verbunden, so 1st C0, daher Ko = Q 
und somit x = . Die aufiere Flache E besitzt dann keine 
Ladung ? wahrend die Ladung der inneren Flaehe Bo die- 
selbe ist wie vorher. 

Bemerkung. Die Elektrizitatsverteilung auf einer 
von zwei exzentrischen Kugeln begrenzten Schale sowie 
die Verteilung auf zwei leitenden Kugeln wird im nachsten 
Absehnitt behandelt werden. 

d) Elektrizit'atsverteilung auf einem nahezu kugel- 
formigen Leiter ohne Einwirkung aufierer Krafte. 

Die Gleichung einer ITlache, die von einer Kugel nur 
wenig abweicht (eines Spharoids) 5 hat in Polarkoordinaten 
bei passender Wahl des Auf angspunktes die Form 



(26) r,= 

\vo a. eine kleine, von #1 und ^i unabhangige GrbBe be- 
zeichnet; denn fur a=0 ist (26) die Gleichung einer Kugel. 
Die GroBe a. , von der die Abweichung von der Kugel ab- 
hangt, sei nun so klein, daB man ihre zweiten und hSheren 
Potenzen vernachlassigen kann. Dann kann man von der 
Form (26) zu der anderen 

iibergehen, in der c den Radius der Kugel bezeichnet, die 
gleiches Volumen mit dem von dem Spharoid begrenzten 
fiaume hat. Denn das Volumen dieses Raumes ist, wenn 
n der Radius eines inneren Punktes ist und ffu 1 r\ der 
Ausdruck (26) genommen wird, bei unserer Naherung 

n 2rt r i # 2* 

i >/ 

00 

Denkt man F(&i,y>i) nach Kugelfunktionen entwickelt 



144 H. Die Poteatialaufgaben fiir die Kugel. 

so ist fiir 



i-O, 
und da JT von #1 , ^ unabhangig ist, so ist das Volumen 

o 

Dies soil gleich dem Volumen einer Kugel vom Eadius c 
sein, also ist 



(27) 

Daraus folgt bei unserer 

(27 a) *(!- Yo). 

Setzt man (27 a) in (26) ein und vernachlassigt 2 ; so geht 
(26) in 

(86b) fi *c[l-h (J?(*,pi)- To)] 



iiber. (26b) hat die Form von (26a); zugleich sieht man, 
daB 

(28) 

ist; d.h. die Funktion f(-d-i><f>i) in (26 a) hat die Eigen- 
schaft, daB bei ihrer Entwicklung nach Kugelfunktionen 
die Kugelfunktion nullter Ordnung fehlt. 

Das Oberflachenelement des Spharoids (26 a) ist fvri. 
Teill, 8.66) v ; vs 



cosv 



wo r den Wmkel bezeichnet, den der Radius n von do 
mit der gufieren Normale bildet. [Ubrigens unterscheidet sich 



COS V - 



von i cur um Glieder von der Ordnung 2 , go dafi bei 
unserer ISfaherung ohne weiteres cosv=l gesetzt werden 



Kap 5. Die Elektrizitatsverteilung auf einer leitenden ELugel. 145 

kSnnte.] Weiter ist das Potential des mit Masse von der 
Dichtigkeit i belegten Spharoids 



(29) 




eosv 



Fiir innere Punkte r ,&,<?, fur die r kleiner ist als der 
kleinste Wert von r i , kann man den reziproken Wert der 
unter dem Integral auftretenden Wurzel nach steigenden 
Potenzen von r entwickeln und gliedweise integrieren, wo- 
durch man 




erhalt. 

Ist nun dem von dem Spharoid begrenzten, isoliert 
auf gestellten Leiter eine gewisse Masse M I reier Elektrizitat 
mitgeteilt, walirend auf den Leiter keine aufieren elek- 
trischen Krai te wirken, so verteilt sich M auf dem Sph&roid 
mit einer solchen Dichtigkeit, daB das Potential dieser Be- 
legung fiir alle inneren Punkte denselben konstanten Wert 
hat. Der Ausdruck (30) muB also in diesem Falle fiir alle 
in Betracht kommenden r von r unabh&ngig sein^ d. h. es 
uiiissen die Koeffizienten aller Potenzen von r , aiifier dem 
von r, verschwinden, oder es mufi 



(31) / /-JL- A ^ wo """ v f^^-.Q ( n >0) 
v ' / / cos-v yjW-1 v / 

s^ 

sein. Fiir cc = 0, d.h. ri = (?, COBV 1 geniigt dieser Be- 
dingung nur ein konstanter Wert von J. Pur sehr kleine 
a wird sich Tc von einer Konstanten Jco nur wenig unter- 
scheiden. Wir machen daher den Ansatz 



wo die W m Kugelfunktionen sini Nach (26 a) und (28) 
ist ferner bei unserer Naherung 

Wangerin, Theorie des Potentials It. 10 



146 n. Die Potenfcialaufgaben fur die Kugel. 



und 

(33) 



Setzt man diesen Ausdruek in (31) ein und wendet die 
Integralsatze der Kugelfunktionen an, so erh&lt man 



(34) 

oder 
(34a) 

wahrend Bach (30) der konstante Potentialwert fiir Punkte 
im Innern des Spharoids 



(35) C== / / - Pi Po (cos y) sin #1 d&i dyi^ 



ist Ferner ist die Gesamtmasse der elektrischen Ladung 
des SphSroids 



(36) M=f f n 



Wir haben somit folgendes Besultat: Die Dichtigkeit der 
elektrischen Ladung des Spharoids ist 



und der konstante Potentialwert im Innern ist 
(38) C=^. 

Beispiel. Das Spharoid sei ein abgeplattetes Eota- 
tionsellipsoid mit sehr kleiner Abplattung. Ist a die Ab- 
plattung, a der Aquatorialradius, also a(l a) der Polar- 
radius, so wird, falls #1 von der Rotationsachse gerechnet 

, streng 



Kap 6. Transformation durch reziproke Badien. 147 

mit Vernachlassigung der zweiten und hoheren Potenzen 
von a aber 

fi = a(l cos 2 #i). 
Ferner ist hier 

1 

inithin 

d. h. hier ist 



und daher, da cosv sich von 1 nur um Glieder vori der 
Ordnung a 2 nnterscheidet, 



Kapitel 6. 

Anwendnng der Metliode der Transformation durch 
reziproke Eadien in der Potentialtheorie. 

a) Die Transformation durch reziproke Radien. 

In den vorhergehenden Kapitehi sind wir wiedertolt 
auf Beziehungen zwischen zwei Punkten P,7Jgefilhrt, die 
folgende Lage haben. Ist der Mittelpunkt einer Kugel 
vom Radius E } so liegen P und 77 auf demselben Kugel- 
radius in solchen Abstanden von 0, daB 

(1) 0P.OZT=B 3 

ist. Sind r 3 &,<p die raumlichen Polarkoordinaten von P, 
auf als Anfangspunkt bezogen, ,A,^ die von 77, so ist 

(1.) r$ = :RV=#,9> = i&. 

Zwischen den rechtwinkligen Eoordinaten ,y,# von P 
und f,!?,^ von H ergeben sich daraus die Relationen 

10* 



148 II. Die Potentialaufgaben fur die Kugel 



und umgekelirt 
(ic) * 



Zwei derartige Punkte nennt man reziproke Punkte, da, 
falls JR 1 , Q = ist. 

Sucht man zu einer Eeihe von Punkten P die rezi- 
proken Punkte 77", so nennt man diesen Ubergang Trans- 
formation durch reziproke Eadien, die Kugel mit dem 
Radius E heiBt die Transf ormationskugel, ihr Mittelpunkt 
das Transformationszentrum. Sucht man insbesondere zu 
alien Punkten P einer Flache F die reziproken Punkte 77, 
so liegen diese auf einer neuen Flache 0, der reziproken 
Flache von F. Aus der Gleichung von F ergibt sich 
mitt/els (la) und (Ic) die von #. Ist die Gleichung von 
F in Polarkoordinaten 



(2) r 

so ist die Gleichung der reziproken FlSche 

JR 2 

(2a) . *=w^r . 

und hat F in rechtwinkligen Koordinaten die Gleichung 

(3) F(x,y,*)~0, 

so erhsQt man die Gleichung der reziproken Flache, wenn 
man in (3) fur #,#,$ die Ausdrucke (ic) setzt. 

Speziell ist <Ke reziproke Flache einer durch gehen- 
den Ebene E die Ebene E selbst Die reziproke FlSche 
einer nicht durch gehenden Ebene ist eine durch 
gehende Kugel, und umgekehrt hat eine durch gebende 
Kugel zur reziproken Flache eine Ebene. Die reziproke 
Flache einer nicht durch gehenden Kugel ist wieder eine 
Kugel. Die reziproke Flache des dreiachsigen Ellipsoids 



ist, falls der Mittelpunkt das Transformationszentrum ist, 
das Ovaloid 



Kap 6. Transformation durch reziproke Eadien. 149 



oder in Polarkoordinaten 



(4b) 



cos 2 1 + - sin 2 A cos 2 $ + sin 2 1 sin 2 ^ . 




Bei der Transformation einer geschlossenen Flache F 

ist folgendes zu beachten. Liegt das Transformations- 

zentrum innerhalb F, und 

ist <Z> die reziproke Flache 

von F 3 die ebenfalls ge- 

schlossen ist, so entspreclien 

Punkten Pi innerhalb F 

als reziproke Punkte solche 

Pxinkte 7Ii ; die auJBerhalb 

liegen, und den Punkten 

auBerhalb F entspreclien 

Punkte innerhalb 0. Denn 

srnd Pi und HI entsprechende 

Punkte, so liegen sie auf 

demselben Eadius, und es ist OPi.077i=JR 2 . Trifft dieser 

Radius F in P, in 7T, so ist auch OP. 077= JS 2 . Sind 

und Pi innere Pankte 
von F, so ist 0Pi<0P, 
daher O/Zk > 77, d. k 77 
liegt auBerhalb der Flache 
<2*. Liegt dagegenOaufier- 
halb der geschlossenen 
p^ c ] ie j^ ? so entsprechen 
bei der Transformation 
durch reziproke Hadien 
inner en Punkten von F 
stets innere Punkte von 
$. Denn hier schneidet 
OPi die Flache JP zwei- 

mal, in A\ und J., die Flache $ in Ai und A, Ferner ist 




daher aus demselben Grunde wie oben 



150 II. Die Potentialaufgaben fur die Kugel. 

Der zu einem endlichen Raume T, der von der Flache 
F umschlossen wird, reziproke Raum T erstreckt sicb, wenn 
in T liegt, aufierhalb $ ins Unendliche, und der Raum 
T auBerhalb F hat den Raum T' innerhalb # zum rezi- 
proken Raum. Liegt aber auBerhalb T, so liegt der 
reziproke Raum T ganz im Endlichen und wird vom 
umschlossen. 

b) Beziehungen von Losungen der Laplaceschen 
G-leichung flir reziproke R^ume. 

In dem Raume T, der entweder ganz im Endlichen 
liegen oder auch sich ins Unendliche erstrecken kann, sei 
(5) _ 7==f(r} Q.^ 

eine Funktion, die der Laplaceschen Gleichung geniigt und 
alle Stetigkeitseigenschaften des Potentials besitzt, so ge- 
niigt die Funktion 

(6) 

der Laplaceschen Gleichung in dem zu T reziproken 
Raume T und besitzt dort alle Stetigkeitseigenschaften dfes 
Potentials, 

Be we is. Man bilde 

m AW 9*W 3*W B*W 

(7) ^W 




[nach Gl.(12), S.7]. Da fur reziproke Punkte die Glei- 
drangen (la) gelten, so kann man (6) so sehreiben: 

( 6a ) Tr--?pf(r,&,r). 

Andererseits kann man in (7) die Differentiationen nach 
$,}<,$ in solche nach r , #, (p vferwandeln. Dadurch geht, da 



= __ == __ 

BQ Br JS 2 dr 

isfc, (7) in 



(7 a) 



Kap 6. Transformation durch reziproke Eadien 151 

i * sin *4? i * 



_ _ 



sin 2 # 3 a>*\ 



iiber. Setzt man auf der rechten Seite von (7 a) fur W 
den Ausdruck (6 a) ein, so wird 



(8) W-+ 



-~ 



""" 



sin* 



*(rf) 
8^ J 



'L "I 

3 1 <5 2 f I 

1 t i 

sxn \j G OP** I 



wo der Kiirze halber die Argumente r,&,y> von /" fort- 
gelassen sind. 
"Welter 1st 



so dafi 



wird. Nun sollte f im Raume Tder Laplaceschen Diffe- 
rentialgleichung 



oder 



83- 






geniigen. Mithin geniigt der Ausdruck (6 a) oder (6) fiir W 
im Raum T der Gleichung 

(10) 



152 H. Die Potentialaufgabeu fur die KugeL 

Ferner soil in T die Funktion / mit alien ihren Ab- 
leitungen endKch und kontinuierKeh sein. Ein Blick auf 
die Gleichung (6) laBt erkenixen, daB auch W und alle seine 
Ableitungen nach Q , I , <p endlich und kontinuierlich sind, so 
lange r und beide endlich sind. Wird aber r = 0, so 
wird = co. Der Fall r = kann nur eintreten, wenn 
iunerhalb T liegt, daher ist f nebst seinen Ableitungen 

auch fur r=0 endlich, wegen des Faktors wird also 

TF==0. Ftir = oo wirdTF=0, so aber, daB lim(jTT) 
auch dann endlich bleibt. Das ist aber eine der charak- 
teristischsten Eigenschaften des Potentials. Ferner wird 



__ __ 
3f Q* Q* dr> 

-z verschwindet daher ebenf alls ftir Q = oo ; und zwar so ; 

daB limlo*-^ ) endKch bleibt. ebenfalls eine charakte- 
V SgJ ' 

ristische Eigenschaft des Potentials. Wenn ferner r = oo 
wird, was nur eintreten kann, wenn T sich ins Unendliche 
erstreckt, dann wird ftirr = oo/ = 0, derart aber, daB 
lim (r f] endlich bleibt ; d. h. (da q == wird f iir r = oo) 

jR 3 (13? \ 
Km f{ ,hj0] ist auch fiir = endlich. Daraus folgt, 

daB, wenn der Ausdruck (5) fiir V im Eaume T alle 
charakteristischen Eigenschaften des Potentials besitzt, das 
gleiche auch ftir den Ausdruck (6) yon TF im Raume 
Tgilt. 

Zusatz. Die Poissonsche Gleichung ftir reziproke 

Eaume. 

Geniigt der Ausdruck (5) im Eaume T nicht der 
Laplaceschen, sondern der Poissonschen Gleichung, so ist 



Kap. 6. Transformation durch reziproke Badien. 153 

wo k die Dichtigkeit der Masse in T bezeiehnet Setzt 
man (11) in (8 a) ein, so wird hier 



(12) A W^-ixlc-^-Znk. 

j\> o 

Soil nun W innerhalb T ebenfalls der Poissonschen 
Gleichung genugen, so muB der Eaum T mit Masse von 
der Dichtigkeit 

(13) *'-*'f! 

angefiillt werden, wobei in k die Koordinaten r , & , <p durch 
$,&,</> auszudrficken sind. Damit bei endliehen Werten 
von k auch Jc' endlich ist, darf nicht = , d. h. r nicht 
==oo werden, der Eaum T darf sich nicht ins Unendliche 
erstrecken. Soil endlich noch der Raum T ein endlicher 
sein ; so mufi auBerhalb des endlichen Eaumes T liegen. 
Folgerung* Kennt man fur einen endlichen Eaum T, 
der mit Masse von der Dichtigkeit /,' angefiillt ist, den 
Wert des Potentials V fur Punkte auBerhalb wie inner- 
halb der Masse, geht f erner T durch TraDsformation mittels 
reziproker Eadien von ein env auBerhalb T liegenden Trans- 
formationszentrum aus in den Eaum T fiber, so kennt 
man auch das Potential W des Eaumes T fiir Masse von 

Tc JR 4 
der Dichtigkeit &' = g-, und zwar fiir Punkte auBerhalb 

wie innerhalb T. Denn 

W= V 
Q 

geniigt nach dem 3 was eben er<5rtert ist, auBerhalb T der 
Grleichung A W , innerhalb T der Gleichung A W=&nk r ; 
ferner besitzt W alle sonstigen charakteristischen Eigen- 
schaften des Potentials. Dadurch aber ist nach dem Satze 
Teil I, S. 98 W eindeutig bestimmt. 

Anwendung. Als Eaum T nehmen wir den Eaum 
zwischen zrwei ahnlichen und ahnlich liegenden Ellipsoiden, 
als Transforraationszentrum den Mittelpunkt beider 
Ellipsoide. Ist T mit Masse von konstanter Dichtigkeit 
ft gefullt, so ist V bekannt sowobl fiir den hohlen Eaum T 
innerhalb des kleineren Ellipsoids, als fur den Eaum I" 



154 II Die Potentialaufgaben fiir die Kugel. 

aufierhalb des groBeren Ellipsoids, als auch fur T selbst. 
Damit kennen wir auch das Potential W der Masse, die in 
dem Raume zwischen den zu den Ellipsoiden reziproken 

J2* 

Ovaloiden mit der Dichtigkeit Jc r = & ^ verteilt ist ; und 

zwar ergibt sich der Wert von W fiir Punkte in dem 
Raume T' auBerhalb des aufieren Ovaloids aus dem Werte 
von F im Eaume T' innerhalb des kleineren Ellipsoids. 
Innerhalb T' aber bat V einen konstanten Wert C, aufier- 
halb des groBeren Ovaloids ist also 



Das ist aber das Potential eines in liegenden Massen- 
punktes. 

Wir haben sonach das Resultat: Ist der Raumzwischen 
den Ovaloiden 

J2* a* jR 4 

^ = 2- eos 2 A-r-^- sin 2 >lcos 2 ^H ^-sin 2 ^ sin 2 ^ 
ci o c 

und 

JR 4 J2* JR* 

o~ = cos 2 A + 5-Ta s i n3 ^ cos2 ^ H -- s 5 sin 2 A sin 2 c , 

* 2 a 2 w a 5 s ' 2 c 2 r ' 

von denen fur n > 1 das zweite ganz innerhalb des ersten 

.R 4 

liegt, mit Masse von der Dichtigkeit & j- gef ullt, so iibt 

diese Masse auf Punkte aufierhalb des ersten Ovaloids 
dieselbe Wirkung aus wie eine gewisse im Mittelpunkt 
beider Ovaloide konzentrierte Masse. 

Der Wert von G und damit der in konzentrierten 
Masse ergibt sich aus der Formel (24 a), S. 230 des 
ersten Teils. 



III. Abschnitt. 

Die Potentialanfgaben flip Rotationsellip- 
soide nnd exzentrische Kngeln. 

Kapitel 1. 
Yerl&agertes Rotationsellipsoid. 

a) Einfiihrung neuer Variabler. 

Wie man zur Behandlung der Potentialaufgaben der 
Kugel r&umliche Polarkoordinaten einfiihrte, so muB man 
fiir die analogen Aufgaben der Rotationsellipsoide die 
rechtwinkligen Koordinaten duroh andere Variable derart 
ausdriicken, daB, wenn die eine dieser Variablen konstant 
gesetzt T^ird, sich die Gleichurig des Rotationsellipsoids 
ergibt. Das erreicht man durch eine kleine Modifikation 
der rMumlichen Polarkoordinaten. Setzt man namlich 

Ix^rcosd, 
y = y^ 2 e 2 sin & cos (p , 
Q = y r* e^sin & sin <p , 

so folgt durch Elimination von & nnd <p aus (1): 



Gibt man y einen konstanten Wert !>e, so ist (2) die 
Gleichung eines verlangerten Rotationsellipsoids, und die 
den verschiedenen Werten von r entsprecbenden Rotations- 
ellipsoide haben dieselben Erennpunkte, da die Different 
der Halbachsenquadrate fiir alle dieselbe ist, namlich e*. 
Die Elimination von r , <p aus den Gleichungen (1) 
ergibt 



156 HI. Die Potentialaufgaben fur Eotationsellipsoide usw. 

Pur konstante Werte von # ist (2 a) die Gleiclmng eines 
zweischaligen Rotationshyperboloids. Die den verschiedenen 
Werten von & entspreehenden Rotationshyperboloide haben 
samtlich dieselben Brennpunkte wie die Rotationsellip- 
soide. Die Slacken (2) sind also konfokale Eotations- 
ellipsoide und die Flachen (2 a) konfokale zweischalige 
Rotationshyperboloide, und zwar sind letztere nicht nnr 
untereinander, sondern auch zu den Rotationsellipsoiden 
konfokal Irgendeine Flache (2) wird von jeder der 
FlSchen (2 a) senkrecht geschnitten. Denn die Flachen (2) 
und (2 a) entstehen durch Rotation konfokaler Ellipsen 
und Hyperbeln urn die Hauptachse, und da sich korilo- 
kale Ellipsen und Hyperbeln senkrec'ht schneiden, gilt ein 
gleiches auch fiir die durch ihre Rotation entstehenden 
Flachen, 

Eliminiert man endlich r und -9- aus den Gleichungen 
(1), so erhalt man 

(2b) e 



das sind Ebenen, die samtlich durch die Rotationsachse x< 
gehen und daher die Flachen (2) und (2 a), deren Normal en 
ja in der Meridianebene liegen, senkrecht schneiden. Die 
Her in Frage kommenden Flachenscharen 

r = const , ^ = const , <p = const 

sind somit orthogonal. Das ergibt sich auch ohne die 
geometrischen Uberlegungen daraus, daB ; wie eine einf ache 
Rechnung zeigt, die OrthogonaJitatsbedingungen (6), S. 4 
erfiillt sind. 

Um alle Punkte des Raumcs zu erhalten, mufi man 
r von e bis oo, & von bis r, <p von bis 2jr variieren 
lassen. Dann gehdrt zu jedem Punkte des Raumes nur 
ein Wertsystem r,&,<p (nur daB <p = und ^ = 2?r die- 
selben Punkte ergeben). Fiir den Grenzwert r = e ist 
2/ = ^ = 0, a; = a cos -5*. Dadurch werden alle Punkte der 
Linie dargestellt, welche die beiden Brennpunkte (x = + e 
und % = e) verbindet. Diese Linie kann als verlangertes 
Rotationsellipsoid angesehen werden, dessen!Srebenachse=0 
ist. Fur den Fall # = wird ebenfalls # = # = 0, aber 
& = r, das ist, da r>e ist, der Teil der Rotationsachse, 



Kap 1. Verlangertes Rotationsellipsoid. 157 

der sich vom Brennpunkte x = + e ins Unendliche erstreckt 
Fur # = TT erhalt man den Teil der Rotationsachse, der 
von # = e bis # = oo reicht. Beide Teile zusammen 
kanninan als ein zweischaliges Eoiationshyperboloid ansehen, 
dessen Nebenachse =0 1st. Entsprechend gehoren zu zwei 
Werten # und n~ & nicht zwei yerschiedene Rotations- 
hyperboloide, sondern fiir -^ erhalt man die Punkte des 
einen, fiir ?r ^ die des anderen Mantels desselben Rota- 
tionshyperboloids. Fur & = %n endlich degeneriert das 
Rotationshyperboloid in die z/jgr-Ebene, die als ein Rota- 
tioushyperboloid angesehen werden kann, dessen Haupt- 
achse verschwindet, und dessen beide MSntel infolgedessen 
zusammenf al len. 

Die neuen Variabeln r ,& ,y> nennt man elliptische 
Koordinaten. (Allerdings sind dies nicht die allgemeinen 
elliptischen Koordinaten.) 



b) Transformation und LSsung der Laplaceschen 
Gleichung. 

Wie bei der Kugel baben wir den Ausdruck dV auf 
die neuen Variabeln zu transf ormieren. Dazu sind nach 
S.6 die Ausdriicke zu bilden 



(3) 



m = 



Die Ausfiihrung der Rechnung ergibt 



V*,a . 
r 



und daher wird nach Gleichung (9), & 6 



158 HI. Die Potentialaufgaben fur Eotationsellipsoide usw 



a- -r-^ -rs 

^^ ( r 



t 



<9r 



Die Laplacesche Gleichung ^17=0 reduzlert sich dem- 
nach auf folgende: 



( j 



"" 



Wir suchen zuerst eine Losung dieser Gleichung, 
die fiir alle Punkte innerhalb eines gegebenen Rotations- 
ellipsoids (also fiir r<a) nebst ihren Ableitungen endlich, 
eindeutig und stetig ist. Wie in Kapitel 3 des vorher- 
gehenden Abschnitts fragen. wir zuerst, ob es moglich ist, 
der Gleichiang (4 a) durch das Produkt 

(5) r=7i7 2 F 8 

zu gentigen, in dem Fi nur von r, Fa nur von #, Fs ntir 
von ^ abhangt. Die Einsetzung des Ausdrucks (5) in 
(4 a) ergibt 



(Ba) 

^ ' 



Fi dr 

_ ( 1 , e* \1 d*Vs 

B W 



Kap.l. Vertengertes Rotationsellipsoid. 159 

Differentiiert man (5 a) nach <p, so verschwindet die linke 
Seite, es mufl also 



oder 

1 d 2 Fs 

sein. Diese Gleichung ist dieselbe wie die frtiher be- 
'handelte Gleichung (17 b), 8.72. Wie dort ist, damit Fa 
eindeutig ist, also f iir p = und <p 2 n denselben Wert 
hat, erforderlich, daJJ c das Quadrat einer ganzen Zahl v 
(einschlieBlioh Wull) ist, und dann hat (6) die Losung 

(6 a) Fa = Ccos (v p) -f G sin (v 9) , 

worin G und C' willtiirliche Konstante sind. Setzt man 

in (5 a) ftir^- -= ^-seinen Wert v 2 ein, so geht (5 a) iu 



__ 
7i dr rW~ 

iiber. Da bei der Differentiation von (5b) nach & die 
linke, bei der Differentiation nach r die rechte Seite ver- 
schwindet, jede Seite aber nur von einer der Variabeln 
r,# abhangt, so muB jede Seite von (5b) derselben Kon- 
stanten gleich sein. Wird diese Konstante mit a(a-ri) 
bezeichnet, wo a zunachst beliebig iat, so wird 






Gleichung (7) hat die Form der Differentialgleichuag der 
zugeordneten Kugelfunktionen, nur daB hier ein beliebiger 



160 IH. Die Potentialaufgaben iur Botationsellipsoide usw. 

Parameter a an Stelle des ganzzahligen Parameters n bei 
den Zugeordneten stehfc. Wie 8. 114 schlieBen wir, dafi, 
damit F 2 in dem betrachteten Raume iiberall endlich ist, 
der Parameter a eine ganze Zahl n und zugleich w>v 
sein nauB. Die einzige endliche L5sung von (7) wird, wie 
an der zitierten Stelle, 

(7 a) F 2 ;=.BP w . v (cos#). 

Fiihrt man endlich. in (8) statt r die Variable Jl= ein. 

e 
so wird 



Das ist wiederum die Differentialgleichung der zugeord- 
neten Kugelfunktionen [vgl. Gl. (14), S. 57], ihre allgemeine 
L(5sung ist 

(8b) K 

Damit diese Losung fiir alle Punkte im Innern des Ellip- 
soids r=a, somit auch fiir r*=e endlich bleibt, muB 
J. ; =0 sein; denn Qn t v(^ ist oo. Wir haben somit fol 
gende Losung von (4 a), die alien Nebenbedingungen 
geniigt: 



(9) F= A S P WlV P 7l , v (cos *) [<7cos (v <p) + C7 sin (v p) ] , 



und darin kann Jl^=l gesetzt werden, da ABC nur 
ebenso eine willkiirliche Konstante bezeichnet wie G 
allein. In (9) sind n und v ganze Zablen, n>r. Solcher 
Losungen gibt es unendlich viele. Die allgememste Losung 
nut den geforderten Eigenschaften erhalt man, wenn man 
die Summe alJer moglichen partikularen LSsungen (9) 
bildet, wpbei die Konstanten C,C von Glied zu Glied 
andere sein kSnnen, d. h. es wird, wenn durch den Index i 
aagedeutet wird, daJB es sich urn innere Punkte handelt, 

(9a) F, 



Kap. 1. Verlangertes Botatiousellipsoid. 

Suchen wir zweitens fiir alle Punkte aufierhalb ernes 
gegebenen Eotationsellipsoides r = a eine Losung von (4 a), 
die denselben Nebenbedingungen wie oben geniigt, die 
aber im Unendliclien versclrwindet, so andert sich nur der 
an die Gleichung (8b) gekniipfte SchluJB. In diesem Falle 

ist r>a, daher sicher r>e } >1; f iir keinen Punkt des 

f v \ ^ 

Gebiets wird Q n ,v( ) tmendlich. Damit aber Fi fur r oo 

verscbwindet, mufi A = sein, A von verschieden. So- 
mit ergibt sich, wenn fur auBere Punkte zu V der Indez a 
gesetzt wird, als L8sung 



(9b) Va=l Qn, v ~PnA*ty[Vn v s(v^ 



Handelt es sich drittens um eine Lo'sung von (4 a), 
die alien obigen N"ebenbedingungen in dem Eaume zwischen 
zwei konf okalen Eotationsellipsoiden r = a und r = ai ge- 
niigt, so kann in diesem Gebiet r weder den Wert e an- 
nehmen, noch unendlich werden, in (8b) braucht somit 
keine der Konstanten A , A' zu verschwinden, und wir er- 
halten als allgemeinste LSsung 



(9c) 7 T, /"> 08 ^) cos ^ 



c) Anwendungen. 

Mittels der eben abgeleiteten Eesultate kann man die 
beiden Eandwertaufgaben fiir Gebiete innerhalb oder aufier- 
halb eines verlangerten Eotationsellipsoids oder solche 
Gebiete, die von zwei konfokalen derartigen Ellipsoiden 
begrenzt werden, genau in derselben Weise I5sen wie die 
entsprechenden Aufgaben fiir die Kugel. 

Sucht man z. B. die L(5sung von (4 a), die innerhalb 
der FlSLche r~a alien obengenannten Nebenbedingungen 
geniigt und zugleich an der Flache r =a einer gegebenen 
Funktion F(&,<p) gleich wird [erste Eandwertaufgabe 

Wangerin, Theorie des Potentials JL 11 



162 HI Die Potentialaufgaben fur Rotationsellipsoide usw. 

fiir den Innenraum ernes verlangerten Rotations- 
ellipsoids], so wissen wir, dafi die Losung die Form (9s) 
haben muB. Den Wert von Ffiir r = a erhalten wir einer- 
seits, indem wir in (9 a) r = a setzen. Andererseits soil 
dieser Wert F(&,<p) sein, Diese Funktion entwickle 
man nach Kugelfunktionen 



t cos v <p) + n v sn 

wo An V ,B nv bekannt sind. Sowohl (9a), als (10) stellen 
Eeilien dar, die nach Kugelfunktionen fortschreiten. Sollen 
fiir r = a beide Reihen gleich sein, so mUssen die einzelnen 
Kugelfunktionen gleieh sein, d.h. fur jedes n muB 



sein. Diese Gleichheit kann nur bestehen, wenn beider- 
seits fiir jedes v die Koeffbrienten von cos(rp) und sin(rp) 
gleich sind, wie sich aus den bekannten Integralsatzen der 
trigonometrischen Funktionen ergibt. Dadnrch sind alle 
C nv und ff nv bestimmt, und wir haben folgendes Resultat: 
Sind die Werte, die F f iir r = a ft-nnimTnf. (die Randwerte 
von 7), duich (10) gegeben, so hat V flir alle inneren 
Punkte den Wert 



P nv (- 



* cos 



Ainlich lassen sich die iibrigen Falle der ersten wie 
auch die entsprechenden FElle der zweiten Randwertauf- 
gabe behandehi. 

Aach die Anfgaben der Elekirizitatsverteilung anf 
einem leitenden verlangerten Rotationsellipsoid lassen sich 
auf Grund der Gleichungen (9a) ; (9b), (9c) genau ebenso 
durchfilhren, wie die analogen Aufgaben bei Kugeln, Als 



Kap. 1. Verlfcngertes Hotationsellipsoid. 163 

Beispiel wollen wir die einfachste derartige Aufgabe be- 
handeln: 

Einem leitenden, isoliert anfgestellten verlSngerten 
Rotationsellipsoid sei eine gewisse Menge M freier Elek- 
trizitat mitgeteilt; mit welcher Dichtigkeit verteilt sicli 
dieselbe auf dem Leiter, falls keine auBeren KrSfte 
wirken ? 

Wie schon fruher (S. 133) bemerkt, kann man das 
Resultat unmittelbar aus den in Band I (S. 232 234) 
entwickelten Formeln ablesen. Wemi hier eine neue Ab- 
leitung gegeben mrd, so geschieht es einmal, um eine 
Anwendung der vorstehenden Formeln zu geben, sodann, 
um das Resultat ohne Grenziibergang, auf dem die er- 
wahnten Formeln von Bd. I beruhen, herzuleiten. 

Da die dem leitenden verlangerten Rotationsellipsoid 
mitgeteilte Elektrizitat sich auf der Oberflache ausbreitet, 
so gilt fiir das Potential dieser Ladung die Laplacesche 
Gleichung, und zwar sowohl ffir den Innen-, als den 
AuBenraum. Fiir innere Punkte sei Fmit T^, ftir auBere 
mit V a bezeichnet Fiir V l gilt dann die Formel (9 a), fiir 
Va, aber (9b) Damit elektrisches Gleichgewicht stattfindet, 
ohne daB SuJJere Krafte wirken, muJJ V z einen konstanten 
Wert haben. Soil aber eine Kugelfunktionenreihe pund 
das ist der Ausdruck (9 a)] einen konstanten Wert haben, 
so mtissen alle Kugelfunktionen fiir n>0 verschwinden, 
mithin alle C nv , C n v = Q ^^9 aufier ^ w==0. Fiirn = 
besteht die innere, iiber alle v zu erstreckende Summe nur 
aus einem Gliede, dem fiir v == , und es ist PO ,o (^) = PO (fl?) ^ 1 > 
so daB 
(12) F< Coo 

wird. An der Oberflache des Leiters muB zufolge der 
allgemeinen Eigenschaften des Flachenpotentials V a eben- 
falls den Wert Cb haben. Die Reihe (9b) fur V a ist 
ihrerseits eine Kugelfunktionenreihe; soil sie flir r = a 
konstant sein, so miissen alle D nv ,D' nv fiir >0 ver- 
schwinden, und es mufi weiter 



sein, so daB ftir beliebige auBere Punkte 



164: HI. Die Potentialauf gaben f iir EotationseUipsoide usw. 
(13) F a = <7 o- 



wird [denn $0,0 (#) ist ='<2o(#)> vgL Fennel (7), S. 55]. Aus 
(12) und (18)" ergibt sich die Dichtigkeit x der Ladung 
mittels der Eigenschaft des Flachenpotentials 



FI ist im ganzen Innenraum konstant, daher sind alle 
Ableitungen von 7 t =0, auch lim -5-^= . Ferner ist 
nach 8.5 und 6 



und zwar ist das +-Zeichen zn nehmen, weil in (14) N 
die UuBere Normale der FlSche r = a ist und r nach auBen 
bin wSchst Wegen des Vertes, den tier I hat [GrL (3 a), 
S. 157], ist hier , 

2a3 , 
dr. 



und da es sich um die Flache r = a handelt, folgt aus (14) 

f* * \ T 

(14a) Inn 

v ; 



oder wegen (13) 
(14b) -d.rx^ 



Weiter ist [vgL (19b), S.47] 



(r , ,\ 
T"^ 1 II , (r + e\ 
zrr T ^t=^)' 
e / 



Kap. 1. Verlangertes Eotationsellipsoid. 165 

und ~ 

I U - A 1 

(14c) x = - 



Der Wert der Konstante CQQ bestimmt sich aus der 
Masse M der dem Leiter mitgeteilten freien ElektrizitsLt, 

(15) M=fjxdo. 

Nach S. 5 1st aber das Oberflacheneleinent der 



d.k wegen der Werte (3 a), S. 157 von m und i 
also 

2>T 

A. . - / 

(16.) 




4 *<fc(TV,/ >(f) 

und * 
(Hd) ._ J 1 



Ferner wird 



Die Resudtate fiir x sowoh], als fiir F t und V a stim- 
men mit den allgemeineren, in Teil I, S. 228 234 abge- 
leiteten iiberein. 

Zunachst hat x dieselbe Form wie das durch Glei- 
chung (30), S. 234 des ersten Teils "bestimmte x . Demi 
legt man in einem Punkte an das Rotationsellipsoid 

x* . ff*+*'_ 1 
a a+ a 9 -e 3 ~ ' 

das die GreiizflSclie unseres Leiters bildet, eine Tangential- 



1 66 IH. Die Potentialaufgaben fur Eotationsellipsoide usw. 

ebene, so gilt fur die Lange f des Lotes, das vom Mittel* 
punkt anf diese Tangentialebene gefallt ist, die Gleichung 



r " 

Setzt man darin fiir #,#, die Ausdrucke (1) ; S, 155, 
in denen r=a zu nehmen ist, so 



V-- 

weshalb der Ansdruck (14d) auch so geschrieben werden 
kann: 

(Ue) 



Das ist aber die Gleichung (30), S. 234 des ersten Teils ? 
nur daB bier das mit I' bezeichnete Lot dort I genaont war, 
und dafi die dort willkiirlich anzunehmende Konstante J 
hier den Wert hat: 

*-_JL_ 

Israfa 1 ^)" * 

Fiihrt man diesen Wert von J in die an jenei* Stelle 
[Teil I, S.232, GL(26a)] abgeleiteten Werte von U a und D f 
ein und setzt zugleicn, da es sich hier urn verl&ngerte 
Eotationsellipsoide handelt, 6 = <j = ya 2 e*, so lassen sich 
die dort auftretenden Integrate ausfiihren, und das dortige 
U a geht in V a , ty in 7 % iiber. 

pDie als untere Grenze des Integrals in U& auftretende 

GroBe a hangt mit unserem r so znsammen: r = y a 2 + G ; 

denn r sowohl, als Va 8 +a sind die Hauptachsen des durch 

den angezogenen Pnnkt gelegten konfokalen Ellipsoids.} 

Zusatz 1. Die Anfgabe erforderte, daB Vi fur alle' 

Punkte im Innern des Leiters konstant ist Es geniigt, 

statt dessen die Forderung anfzustellen, daB Vi fiir aSe 

Punkte der OberflSche des Leiters, d.i. fiir r = a, einen 

konstanten Wert hat. Denn soil die Eeihe (9 a) fiirr = a 

konstant, d.h. von &,y unabhangig sein, so miissen alle 

Kugelfunktionen fiir n>0, damit alle C nv ,(7 nv fiirw>0 

verschwinden. 



ap. 1. Verlangertes Rotationsellipsoid. 167 

Es gilt also auch hier der Satz, daB, wenn das Poten- 
tial von Massen, die auf der OberflSche des verlSngerten 
Eotationsellipsoids ausgebreitet sind (und ebenso von solchen, 
die auBerhalb liegen, weil auch fur diese der Ausdruck (9 a) 
gilt), auf jener OberflSche einen konstanten Wert hat, das 
Potential auch ftir alle inneren Punkte konstant 1st. 

Zusatz 2. Die Ltfsung der allgemeinen Aufgabe der 
Elektrizitatsverteilmig auf unserem Eotationsellipsoid ge- 
staltet sich so. Wirken auf das isoliert aufgestellte leitende 
Ellipsoid, dem freie Elektrizitat mitgeteilt ist, noch ge- 
gebene elektrische Krafte^ so sei der Vert derselben an 
der Oberfl&che F(& , <p). Diese Funktion entmckele man nach 
Kugelfunktionen, so mufl die Snmme aus F(&,<p) und dem 
Ausdruck (9 a), darin r = a gesetzt, konstant sein. Daraus 
ergeben sich dieWerte aller C nv , C'nv Ferner mtissen fiir 
r=-a die Ausdrucke (9 a) und (9b) (S. 160161) gleich sein, 
woraus die Werte von D n v,D'm folgen, and weiter erhSlt 
man K aus Gleichung (14). Eine spezielle hierhergehcJrige 
Aufgabe wird weiterhin behandelt werden. 

d) Die reziproke Entfernung zweier Punkte in 
elliptischen Koordinaten. 

Es sei Q der Abstand zweier Punkte P,Pi, deren 
rechtwinklige Koordinaten resp. x,y y 8 und ft, jri,*i seien, 
wShrend r , ^ , <p und r\ , 5-i , pi ihre elliptischen Koordinaten 
sind, also nach (1) 

1x = r cos ^ , ft ~ n cos &i , 

y = ]/? e 2 sin & cos <p , 
jg = y r 2 e 2 sin & sin <p , 
so wird 
(16a) Q*=x*+f+ 

= r *+r e* 




Darin 
(16b) 

sein. Diese Bedingung kann durch die andere ersetzt 
werden: Es existiert ein Wert r, so dafi J ^-^ 



168 HI. Die Potentialaufgaben for Eotationsellipsoide usw. 

d.h, der Punkt P liegt auBerhalb, Pi innerhalb eines ge- 
wissen verlSngerten Kotationsellipsoids r =* ra . Als Funk- 

tion von rj&yip betrachtet, gentigt der Laplaceschen 
Gleichung, and da r einem SuBeren Punkte des Kotations- 
ellipsoids r* angehort, so gilt fiir der Ausdruck (9b), 

S. 161. Die darin enthaltenen, von r,&,<p unabhSngigen 
GrQfien D nv ,D' n * h^ngen ihrerseits von ri,#i,pi ab, und 
zwar von <pi derart, dafi <p tind <p\ nur in der Verbindung 
f pi auftreten, denn ; wie (16 a) zeigt, kommen (p und <p\ in 

nur in dieser Verbindung vor; d. h. es muB in (9b) 
Q 



sein, wo die GroBen E n ^ 9 E' nv nur von ri,#i abhangen. 
Ferner miissen alle E nv verschwinden; denn durch Ver- 
tauschung von <p mit <p\ andert sinr(^> y>i) sein Vbr- 

zeichen, damit wiirde sich auch 'andern, wahrend, wie 
(16 a) letrt, durch diese Vertauschung sich nicht andern, 
darf . Demnach muJ3 , als Funktion von r , & , <p betrachtet, 
die Form haben: 

(17) -2 

Q n ^ 

Ferner muB , als Funktion von fi,-fti,pi betrachtet^ 

ebenfalls der Laplaceschen Gleichung geniigen, und da r 
einem inneren Punkte des Eotafdonsellipsoids r = ra ange- 

hort, muB die Form (9 a) haben; doch 1st (9 a) ebenfalls 
so zu modifizieren, daB eine Vertauschung von <p mit <p\ 
sich nicht Mndert. Das gibt 



Kap. 1. Yerlangertes Eotationsellipsoid. 169 

wo die Kn v von r und # abhangen. Endlieh ist zu be- 
achten, daB auch durch Vertausohung von & mit #1 sich 

nicht Sndert [r und fi dttrfen nicht vertauscht werden, da 
Ist Env^ffai&i), so muB 



oder 



sein. Da die reohte Seite dieser Gleichung von^-i unab* 
hangig ist, so muB auch die linke Seite von #1 unabhangig 
sein, oder 



wo Env nur von n abhangt. Ebenso muB 

JS^-Pn,* (cos ff).!K nv 

sein, wo K nv eine Funktion nur von r ist. Wir haben 
daher einerseits 

<17a)i=|] fj ^ 

? n=0r=0 

andererseits 
(18a)- 2 

^ n=0 

(17 a) und (18 a) sind zwei nach Kugelfunktionen von 
fortschreitende Reihen. Sollen diese fur alle ^,^ gleieh 
sein, so mtissen die KugeHunktionen gleicher Ordnung in 
beiden Eeihen gleieh seui und in den einzelnen Kugel- 
funktionen die Taktoren jedes Kosinus, d.h. 



oder 



170 III Die Potentialaufgaben fur Jtotationsellipsoide uw. 

Hierin ist die rechte Seite yon r unabh&ngig, daher auch 
die linke, oder jede der beiden Seiten mufi derselben 

Konstante -=r- gleich sein, d.h. 
u nv 



Soroit folgt aus (17 a) und (18 a), daB folgende Form 
hat: r> 

tf*^ 



Hiermit ist nur die Form von gefunden. Die Verte 

der in (19) vorkommenden Konstanten H nv ergeben sioh 
aus dem Grenzfall e=0, in dem die konfokalen Botations- 
ellipsoide in konzentrische Kugeln iibergehen. Aus (16 a) 
folgt 

lim (Q z )=r*+r\ 2mcos 7, cos ;' 

=0 

Daher, da r>n, 

1 \ 



(20) 



oder nach, dem Additionstheorem der Kugelfunktionen 



worin J,, )V die durch Gleichung (14), S. 71 bestimmte Kon- 
stante ist. Andererseits gibt die Gleichung (19) 



(19 a) lm- 



Fiir limf J haben w damit zwei nach Kugelfunktionen 
fortschreitende Eeihen; nach dem schon Sfter benutzten 



Kap. 1. VerMngertes Rotationsellipsoid. 



171 



Schlufi erfordert die Gleichheit beider Reihen, daB die 
entsprechenden Koeffizienten in beiden gleich sind, oder daft 



ist. Diese Gleichung kann so geschrieben werden: 



(21a) Htn 



e=0 



(A* \W + 1 / A. \ * tt, \ ~ 

-) MT)^J 



~ "ft,T* 



Nun ist nach den Gleichungen (8) und (9), &. 55, 56 

/ y \n-\-l / r \ 
liml 1 Q nv { 1=1, lim 
e=0\ 6/ ' \ej e=0 /li' 

\e- 
daher mufi 

(22) 

verden. Aus (21) folgt, dafi En, die Form hat: 

(22a) H ny J^f nv (e), 

^o fn(e) eine Eonktion von bezeichnet, die fur e=0 
den Wert 1 annimmt. Durch Einsetzen von (22) geht 
(19) in 

(23) 1 

= 14 

iiber, Weiter aber folgt aus (16 a) 




der Ausdruck enthalt also e nur in den Verbindungen 



r n 



-,--, sonst mcht: dasselbe mufi von dem Ausdrnck (23) 

e ' e ' 



172 m. Die Potentialaufgaben fur Eotationsellipsoide usw. 

fiir gelten, auBerhalb der Verbindungen , darf er 

C 6 

e nicht enthalten. Daher miissen alle Funktionen f n v(e) 
von e unabhSngig sein, oder die f nv (e) miissen fiir beliebige 
e denselben Wert haben. Fiir e=0 sind alle / v = i, also 
1st auch fiir beliebige e 

&.()= i. 

Schliefllioh wird demnack 



worin, wie nocbmals bemerkt werden mag, l w>v dieselbe 
Konstante bezeichnet, \vie im Additionstheorem der Kugel- 
fnnktionen. 

Ware nicht r>ri, sondern r<ri, so wSre in (24) 



nur r mit n zu vertauschen. DaB die Eeihe fiir stets 

? 
konvergiert, f olgt aus Abschnitt I, Kapitel 6. 

Eolgerung 1. "Wir wenden die Gleichung (24) auf 
den speziellen Fall ri = e, ^i==0 an, d.L wir nehinen an, 
daB der Punkt ri, ^1,^1 der eine Brennpunkt der kon- 
fokalen Rotationsellipsoide ist. Dann ist 



Ferner hat P^ v (x] den Faktor y^ 2 -!)*, es wird also 
P n , r (l) = fur y>0, 

iind in (24) verschwinden alle Summanden fiir r>0. 
Die Doppelsumme reduziert sich anf eine einfache Sumnie, 
und (24) geht in 

^ 



fiber. Drackt man Pn, (cos#) durch P w (cos^), P ni0 (l) 
durchP M (l)=l aus [Gl.(2c),S.54], Q^ durch &'(-) 

fGL(10), 8.56] und setzt fiir J Bi0 seinen Wert ein [GL (14), 
S.71], so folgt 



Kap. 1. Yerl&agertes Rotationsellipsoid. 17 <J 



oder 
( 25b ) 



und auch diese Reihe konvergiert unter den angegebenea 
Bedingungen fiir y und x stets aus demselben Grande wie 
die Reihe (24). 

Multipliziert man die Gleichung (25 b) mit P(#) und 
integriert nach x zwischen den Grenzen 1 und +1, so 
folgt aus den Integralsfttzen fiir P n (%) 

(26) fc^- 

Das ist das F. Neumannsche Integral ftir Q n (y)< 
Richtigkeit der Gleichung (26) kann man auch direkt mittels 
der Differentialgleichung der Kugelf unktionen nachweisen. 
Ferner lassen sich aus (26) die S.47, 48 angegebenen Rekur- 
sionsformeln fiir Q n ableiten, ebenso die Gleichung (19 a), S.47. 
Setzt man nainlich in (26) P n (a?)=P n (/) [P n (^) Pn(%)}> 
so wird 



_1 

Pn(y) Pn(%) ^ durch y x teilbar und gibt, dadurch 
geteilt, eine ganze Funktion der Ordnung w 1 von y und 
#, also nach Ausf iihrung der Integration nach x erne gauze 
Funktion (n l)-ter Ordnung von y\ und das erste Inte- 
gral hat den Wert Ic 

Folgerung 2. Fur ri = e, &i = ^x, d. h. ftir den 
Abstand des Punktes r } &,<p vom Anfangspunkte ergibt 
sich ebenso 



174 HI. Die Potentialaufgaben fur Eotationsellipsoide usw. 

e) Weitere Anwendungen. 

L Mittels des Ausdrucks (24) kann man die Wirkung 
eines verl&agerten Eotationsellipsoids berechnen, wenn ent- 
weder auf seiner QberflSche oder in seinem Innern Massen 
von. gegebener Dichtigkeit ausgebreitet sind. Man braucht 
nur ebenso 211 verfahren wie in Abschnitt H, Kap. 1 und 2 
bei den analogen Anfgaben fiir die Kugel. Man hat dabei 
an Stelle der Gleichungen (3 a) und (3b), 8.98 die obige 
Gleichung (24), resp. die aus ihr durch V ertausohung von 
r mit n entstehende zu nehmen, and entsprechend ist das 
Flachenelement, resp. das Volumenelement durch elliptische 
Koordinaten auszudriicken. Es .soil das angewandt werden, 
um fiir ein schon bekanntes Eesultat eine neue Ableitung 
zu geben. 

Es soil das Potential der Anziehnng bestimmt werden, 
die das verlangerte Rotationsellipsoid r=a auf einen 
SuBeren Punkt austibt, falls es mit Masse von konstanter 
Dichtigkeit J gefifllt ist. 

Sind r,&,<p die elliptischen Koordinaten des ange- 
aogenen^ fi,5i,pi die eines inneren Punktes, so wird das 
Volumenelement [vgL(7),S.5 und (3 a), S.157] 



daher 

(27) y^ i /" /' f. ( r * 

und zwar ist nach ^i von bis TT, nach ^ von bis 2 n, 
nach n von n = e bis ri = a zu integrieren, Fur ist, da 

r>a,fi<a, die Eeihe (24) zu setzeiu Fiihrt man zu- 
nSchst die Integration nach <pi atis, so wird 







Kap. 1. Verlangertes Sotationsellipsoid. 175 

Darin verschwinden alle Integrate, in denen v > , so daB 
rechts die einfache" Summe 

w , (~^ P w , (cs #) P Wi0 (cos ^) 

iibrigbleibt Driickt man die Fnnktion P W]0 durch P n , 
Qn^ durch w aus (vgl. oben) und setzt fiir Ji nt)0 seinen 
Wert, so wird 

2^ 

-(28)/"^-=^2a 
/ ? en=0 

Multipliziert man di'ese Eeihe mit 
(r I e 3 cos 2 #1) sin ^-i 



i - -- e 2 p (COB *i)-- ^ P2 (cos *^ sin ^ 

und integriert nach &i zwischen den Grenzen nnd n, so 
verschwinden alle Integrale, die das Produkt von Kugel- 
funktionen mit ungleichen Indizes enthalten. Es bleiben 
nnr die Integrate 



n 

T 



(cos #1) P (cos ^ ) sin # x d * x = 2 , 

/2 
P 2 (cos #3} P 2 (cos -5- a ) sin # x rf ^ = , 

o 
und da P (a?) = l ist, so wird 

ff 2 

(29) /"(r ? - e 2 cos* 1) sin ^ * 



176 m. Die Potentialaufgaben far BotationseUipsoide usw. 

Water ist naeh ri zwisehen dea Greazeii e und a zu 
integrieren, so dafi, da 

2 .. 



&, 



wird, oder auch, wenn man fiir (U V Qj ] die Aus- 

driicke (19b), S,47 und fiir P s (cos*) seinen ert aus 
(4a), 8. 13 setzt, 



f*n*\ v *(<**-*) Mi /H-eU n 2r 3 cos'# , (r'-e 4 ) sin 2 i 
(30a) 7= _Jj T lo g (-_)[2 j-^- l t ] 

r(2oos*fl-sin 8 a)) 

e /' 

Dieser Ausdruck fur F stimmt genau mit dem Ausdruck 
fttr V a in Teil I, S. 213, Grleichung (29) tiberein^ wenn man 
statt der dortigen Bezeichnung die jetzige einffihrt, nSm- 
lich, wie 8.166, ]/o^+cr=r setzt, ferner c a =a 2 e 8 , und 
wenn man die rechtwinfcligen Koordinaten x,y } 8 des an- 
gezogenen Punktes durch seine elliptischen Koordinaten 
r ,*,? [GL (1), S. 155] ausdriickt. 

Auch das Potential der Anziehung, die unser Rotations- 
ellipsoid auf einen Punkt der Masse (inneren Punkt) aus- 
iibt, kann in derselben Veise berechnet werden, man muB 
nur, da r<a, bei der Integration nach r\ das Integral 
teilen : 



und hat in dem ersten dieser Teilintegrale fiir die 

Eeihe (24) zu setzen, im zweiten dagegen die Reihe, die 
aus ^(24) durch Vertauschung von r und n entsteht. So 



man 



Kap. 1. Yerlangerfces Botationsellipsoid. 177 

IjrH. fr\/V , 1 \ 2 ^fr\ nf 

~7~W~T / r 5T e P f i o" 6 & P 2 (cos. 
el \ej\ l 3 y 3 x " Vey 



und nach Ansfuhrung der Integrationen 

(31) V-^'-f) .(!)[ 1-P.) ?.()] 



Die Ubereinstimmimg des Ausdrucks (31) mit dem Aus- 
druck (29) in Ed. I, S.213, falls man im letzteren tr=0 
setzt, kann alinlicli wie olen nachgewiesen werden. 

Bemerkung, Zur Berechnung des Potentials iinseres 
Kotationsellipsoids bei nichtkonstanter Dichtigkeit ~k muB 
man Tt (r\ e 2 cos 2 $1) nach Kugelfonktionen entwickeln 
und die Integralsatze I und II der allgemeinen Kugel- 
funkfcionen anwenden. Bei Belegung der Oberf&ehe des 
Rotationsellipsoids r=a mit Masse von der Dichtigkeit & 
ist Jfc ]/a 2 6 2 cos s ^i nach Kugelfunktioneu zu entwiekehi. 

II. Es soil die Elektrizitatsverteilung auf einem leiten- 
den, isoliert aufgestellten verlangerten Rotationsellipsoid 
bestimmt werden, falls dasselbe unter dem EinfluB eines 
auBeren induzierenden Punktes steht, der auf der Rotations- 
achse liegt. 

Der induzierende aufiere Punkt A habe die Masse /*, 
sein Abstand r vom Mittelpunkte dcs gegebenen Rotations- 
ellipsoids ist groBer als die halbe groBe Achse a des 
letzteren. Das Potential der gegebenen SuBeren Erafte 
ist hier 

(32) U-, 

wo der Abstand eines inneren Punktes (r,&,y>) von A 
ist. Fur den Abstand des inneren Punktes von einem 

Wangerin, TJheone des Potentials IL 12 



178 HI. Die Potentialanfgaben fur Rotationsellipsoide usw. 

beliebigen aufieren Punkte r OJ * ,p ist, da r >a,r<a, 
nach (24) 

.,, Q n , v (~}PnJ~}Pns (^S Q )P^ (COS &) COS y (p - j 
\ 6 J \ &/ 



Fiir den Punkt J, der auf der Aehse liegt, ist # = ? 
und da P t ,(l) = fiir r>0 ist, so verschwinden in der 
inneren Snmme alle Summanden fiir r>0. Driickt man 
ferner, wie schon oben, Q n ^ und ?, lj0 durch Q n ,P n aus, 
so wird in (32) 



(32a) - 



Ferner sei das Potential der Oberflachenladung fiir innere 
Punkte V i} fiir auBere 7 fl , so mu8 



sein, also 

(33) F=C- J 

speziell wird fur Punkte der Oberflache (r=a) 



Andererseits gilt fiir F fi die Gleichung (9b), und die all- 
gemeinen Eigenschaften des FlSLchenpotentials erfordern, 
daB 7 t und V a fiir r=a gleich werden, daB also der Aus- 
druck (9b) ; 8.161, darin r=fl gesetzt, gleich dem Aus- 
druck (33 a) ist. Beide Ausdriicke sind Reihen, die nach 
Kugelfunktionen fortschreiten, mithk miissen die Kugel- 
funktionen jeder Ordnung und in diesen die Koeffizienten 
der einzelnen Glieder gleich sein. Da der Ausdruck (33 a) 
von tf unabhangig ist, miissen daher in unserem Falle alle 
Eoeffiaienten D nv , D' nv fiir v>0 verschwinden, und es 
bleibt 



Ifap. 1. Terlangertes Eotationseliipsoid. 179 

(34) 



dagegen 



(34a) Doo<3o,o(j)Po,o(cos#) 



Driickt man P n , und Q n , durch P n und Q n aus [GL(2c), 
S.54 imd (10), S.56], so geht die Gleichung (34) in 

(35) D n0 (2 n + 1) <3 B -. P n (cos *) 



ttber, die Gleichung (34a) aber, da Q ,o(x) 
Po, (aO 

(86.) 



Damit sind in dem Ausdruck(9b) fiir 7 a alle Koeffizienten 
D,D' bestimmt, und es wkd 



(36) r 



oder, da 



ist, 

12* 



180 HL Die Potentialaufgaben furRotationsellipsoideusw. 



Aus (33) und (36 a) ergibt sich die Dichtigkeit x der elek- 
trisehen Ladling der Oberflache, wie Seite 164, inittels der 
Formel 



worin wieder 



ist, d. h. mittels der Pormel 



so dafi nach Ausfiihrimg der Differentiationen 

(38) : 




wird, worin Q' n (x) den Differentialquotienten von Q n (x), 
P' n (x] den von P n (a;) bezeichnet. Das Resultat verein- 
faeht sich noeh durch Anwendung der Formel (22), S.48, 
nach der 



Kap. 2. Abgeplattetes Rotationsellipsoid. 181 

ist. Schliefllich wird demnach 




Zur Bestimmung der Konstante dient, wie friiher, die 
Masse M freier Elektrizitat, die dem Leiter mitgeteilt ist. 

Es ist 

71 2lt 




oder, da 

I /'p w (cos^)sin^t?^ = (>0) 

ist, 



Ware das Rotationsellipsoid nicht isoliert aufgestellt, 
sondern mit der Erde leitend verbtmden, so w^re d=0; 
M wtirde in diesem Falle die Gesamtmasse der auf dem 
Ellipsoid bleibenden, nieht zur Erde abgeleiteten Elek- 
trizitat sein. 

Kapitel 2. 
Abgeplattetes Rotationsellipsoid. 

a) Einfiihrung zweckm&JJiger Variables 
Setzt man 



y = yr 9 + e a sin # cos <p , 
e* sin & sin y y 



182 HI. Die Potentialaufgaben fiir Eotationsellipsoide usw. 
so erhalt man (lurch Elimination von &,<p 



d.h. die FlSchen r = Const sind abgeplattete Rotations- 
ellipsoide, deren Polarhalbachse r ist, w^hrend der Aqua- 
torialradius y r 2 + e 2 ist. Ferner folgt aus (1) 



A h. die Flachen -5- = Const sind einschalige Rotations- 
hyperboloide. Die Ellipsen und Hyperbeln, durch deren 
Rotation urn die Nebenachse die Fl&chen (2) iind (2 a) 
entstehen, haben samtlich dieselben Brennpunkte; und bei 
der Rotation beschreiben diese gemeinsamen Brennpunkte 
den Fokalkreis $ = Q } y* + #* = e*. 
Die dritte Flachenschar 



(2b) s 

wird von den Ebenen gebildet, die durch die Rotations- 
aehse gelegt sind. DaB die drei Flachenscharen ortho- 
gonal sind, ergibt sich unmittelbar daraus, daB die rotie- 
renden Kurven sich senkrecht schneiden, und daB die 
STormalen von Rotationsflachen in den Meridianebenen 
liegen. 

Um alle Punkte des Raumes zu erhalten, inufi man 
r von bis oo variieren lassen, -5- von bis jr,p von 
bis 2 K. Dann gehort auch jedem Punkte des Raumes im 
allgemeinen nur ein "Wertsystem r,&>(p an; jedoch mit 
einer Ausnahme. 

Fiir r = ergibt sich aus (1} 

(la) ,r = ? y = esin&QQSp, 1 gf = esin^sin^. 

Dadurch werden alle Punkte innerhalb des Fokalkreises 
dargestellt, fiir 5-=^7r die Punkte des Fokalkreises selbst. 
Z\vei Werte ^ und ^ # ergeben hier denselben Punkt 
innerhalb des Fokalkreises. Die Flache dieses Kreises 
mufi als ein abgeplattetes Rotationsellipsoid angesehen 
werden, dessen Rotationsachse verschwindet, daher wird 
(lie Kreisebene doppelt bedeckt. 



Kap.2. Abgeplattetes Eotationsellipsoid. 183 

Fur # = und # = ?r geht ? wie aus (1) folgt, das 
Kotationshyperboloid (2 a) in die Eotationsachse tiber, und 
zwar ergibt sich fiir # = der positive, fur & = TC der 
negative Teil der Achse. Fiir # = -71 geht das Hyper- 
boloid (2 a) in den Teil der z/#-Ebene Tiber, der aoBerhalb 
des Fokalkreises liegt. Die Werte & und n & geli(5ren 
demselben Hyperboloid an, derart, dafi zu &<L%n der Teil 
der Flache gehc5rt, fiir dessen Punkte x positiv, zu n& 
der Teil, fiir dessen Punkte x negativ ist. Der tlbergang 
von einem Teile ziim anderen geschieht innerhalb des 
Fokalkreises, zu dessen einzelnen Punkten ja, me schon 
angegeben, supplementare Werte von & gehSren. 

Auch diese Variabeln r,&,<p sind Spezialfalle der 
elliptischen Koordinaten. 



b) Transformation und Losung der Laplaceschen 
Gleichung. 

Fiir unsere Yariabeln wird 




so daft 




wird Alle diese Formeln unterscheiden sich von den 
entsprechenden Formeln des vorigen Kapitels nur dadurch, 
daB das dort auftretende <? 2 hier durch + e 2 ersetzt ist 



184 HI. Die Potentialaufgaben fur Rotationsellipsoide usw. 

Setzt man welter, urn eine L5sung der Gleichung 
JF=0 zu erhalten, die tiberall eindeutig, endlich und 
stetig ist, wie in Kapitel 1 

(5) F=FiF 2 F 8 , 

wo Fi nur von r, Fa nur von & } Fs nur von <p abhSngt, 
so ergeben sich fur Fs und Fs genau dieselben werte wie 
dort (S. 159, 160), nSmlich 

(5 a) F2 = 



darin stnd n und r gauze Zahlen und zwar n>r. Fiir 
Fi aber erhalt man Iner die Gleichung 



Fiihrt man hierin an Stelle von r als unabh&ngige Variable 

(6) 1-i 

ein, so geht (ob) in die Gleichung (8 a), S. 160 liber. Ihre 
Losung ist 

(7) T 

Das Anftreten imaginarer Grofien ergibt keineswegs ein 
imaginSres Eesultat. Es ist namlich 



. 



Hier stehen in der Hammer nur reelle GrSBen, ebenso ist 
die Quadratwurzel reell, und fur gerade n ist i n ~l, 




daher p w~) wdl. *F1ir ungerade n hat P n ^ denTaktor 

+ "; man braucht in diesem Talle der willkiirlichen Kon- 
stante A nur einen rein imaginaren Vert zu erteilen, so 



Kap.2. Abgeplattetes BotatLonsellipsoid. 185 

1st AP n J J reell. Ahnlich ist es bei Q njV , das fiir ge- 

rade n den Faktor +i hat, fiir ungerade n reell ist. In 
der imaginaren Form ist somit eine reelle LcJsung ent- 
halten. 

Aus der so gewonnenen partikulSren Losung ergibt 
sich die allgemeine ebenso wie S. 160ff. Dabei sind folgende 
FSlle zu unterscheiden : 

L Es han8le sich um den Raum aufierhalb eines 
gegebenen Rotationsellipsoids r = a; dann geht r von a 

bis oo. Fur r==co nmfi V verschwinden, AP n ^ v (] aber 

- v \e / 

T / V* 

wird als reelle ganze, mit I/ ^ + 1 multiplizierte Funktion 

rf J 

von fiir r == oo selbst co , daher muJB A = sein , und es 



ergibt sict als allgemeine Losung der Ausdruck 

oo 
(8) 



II. Handelt es sich um den Eaum innerhalb des 
Rotationsellipsoids r = a, so trifft der Grund, aus dem 
S, 160 Q n ^ v fortfallen muBte, bier nicht mehr zu. Dort 
konnte fur innere Punkte das Argument der Funktion Q n ^ v 
den "Wert 1 annehmen ; fiir den Q n ^ v unendlich wird. I>a- 
gegen ist bier das Argument von Q ntV rein imaginary es 

kann alle rein imaginaren Werte annehmen von bis , 

6 

darunter ev. auch den Wert i; aber Q n ,*(i) ist nicht un- 
endlicb, sondern endlich, ebenso Qn lV (ty, ^vie weiterhin 
er5rtert werden wird* 

ZunStchst erhalten wir daher sowohl fur den Raum 
innerhalb eines gegebenen Rotationsellipsoids, als fiir den 
Raum zwischen zwei konfokalen Rotationsellipsoiden als 
allgemeine Losung der Grleichung A F= : 




186 HI Die Potentialaufgaben fur Botationsellipsoide usw 

Scheinbar geht hier die Analogie mit dem verlangerten 
Rotationsellipsoide verloren; aber nur scheinbar. Auch 
hier mtissen fiir Punkte innerhalb eines gegebenen 
Rotationsellipsoids D nv und D' nv verschwinden, wenn auch 
aus einem andern Grunde als in Kapitel 1, Wiirden n&m- 
lich D nv und D' nv nicht verschwinden, so wiirde zwar nicht 
7 selbstj aber seine Differentialquotienten in gewissen 
Punkten unendlich werden, wahrend auch diese endlich 
bleiben miisseii. Um das zu zeigen, beftachten wir die 
partikulare Losung 

(10) 

(worin der Kiirze halber die Indizes vor und D fort- 
gelassen sind) und differentiieren diese einnial nswsh der 
ISiormale N irgendeines der konfokalen Eotationsellipsoide 
(2), zweitens nach der Normale Ni eines der konfokalen 
einschaligen Eotationshyperboloide (2 a), so wird, da 
dN=*ldr,dNi = md<8' ist, 



Diesen Ausdmck wenden "wir auf den speziellen Fall 
^=-|5r ? d.h. auf Punkte der y#~Ebene an. Ist w v un- 
gerade, so wird P n , r (0)==0, da die Reihe fur P Wjy (cos^) 
nur Tjngerade Potenzen von cos^ enthSlt; dagegen ist 

K ^ OS ^ ftr $=%x nicht =0. Umgekehrt verhalt 

es sich ; wenn nv gerade ist. Also fiir ungerade n-v 
verschwindet der Ausdruck (11) ; fiir gerade n v der 
Ausdruck(12), sobald #=TT wird. Dagegen verschwindet 
(11) nicht fur gerade, (12) nicht fiir ungerade v } 
sondem es wird 



Kap 2. Abgeplattetes Botatoonsellipsoid, 187 

dagegen fiir # = 7r,w v ungerade 



Geht man nun von r>0 zu r Q liber, d.h. von Punkten 
der y 0-Ebene aufierhalb des Fokalkreises zn Punkten des 
Fokalkreises, so wird, da & t (0) und # w ,(0) von 

<*( ' -(T) 

Null verschieden sind, - in (11 a) und - in 

r x J r 

(12 a) fiir Punkte des Fokalkreises unendlieh groB, w&hrend 



(11 a) und - in (12 a) auch fiir diese 
Punkte endlich bleiben, da im ersten Falle P r n ^, im 
zweiten P n ^ v nur ungerade Potenzen von , einschlieBlich 

6 

der ersten, enthalt. Ftir Punkte des Fokalkreises wiirde 

<9 V $ V 

also entweder ^ oder -==- unendlieh grofi werden, falk 

nicht D verschwindet; und dasselbe gilt fiir alle partiku- 
laren Integrale, also fur alle Glieder der Reihe (9). Sobald 
es sich daher urn einen Eaum handelt, der den Fokalkreis 
entnalt, d. h. fiir das Innere des Eotationsellipsoids r = a ; 
rauB V die Form haben: 

(9a)F t 

vahrend fiir den Raum zwischen zwei konfokalen Rota- 
tionaellipsoiden die Formel (9) gilt. 

Zusatz. Bei obiger Argumentation ist benutzt, dafi 
die Funktionen Q n ^ und Q' n ^ fiir das Argument nicht 
verschwinden. Fiir die einfachen Kugelfunkiionen zweiter 
Art ergibt sich das so: Nach den Formeln (19 b^ S,47 ist 
Qt (0) = I log ( 1 > ) J ^ 1 (0) = 1, und die Rekursionsformel 
(20),S.47zeigt ; dafi, wenn # n -.i(0) von verschieden undg w (0) 
endUch ist, auch C+i(0) nicht =0 ist. Ebenso folgt aus 
den genannten Formeln Q'o (0) = + 1, Q\ (0)=|log(-l), und 
die zitierte Rekursionsformel, difterentiiert, lieiert sukzessive 



188 HI. Die Potentiahufgaben fur Rotationselhpsoide usw 

die Werte von #' n (0) fur die . Die Werte von Q^(Q) 
und Q'n t v(ty fur v>0 witrden sich aus der die Funktionen 
C n , f (0) 'definierenden Gleichung (6), S.55 ergeben, wenn 
man darin fiir Q n (x) den Ausdruck (19 a), S. 47 setzt. 
Qn,r(0) und # n> (0) sind also weder =0, noch =00. 
Ebenso erkennt' man aus den erwahnten Formeln, daii 
nnendlich wird. 



c) Die reziproke Entfernung zweier Punkte. 

Die Entfernung g der Punkte, deren elliptische Ko- 
ordinaten r,&)<p und yi,fli ; jpi sind, ist hier durch die 
Gleichung 

(13) $* = r 2 + r } + ^ (sin 2 * + sin 3 ^) - 2 r f! cos # cos *, 



-2 ]>*+# fff +e 2 sin^Ein^ 1 cos (p-f ,) 

bestimmt. Fur ihren reziproken Wert ergibt sich, genau 
wie im vorhergehenden Kapitd, falls r>ri ist, ein Aus- 
druck der Form 



?w '{Tj p ^{eJ p ^ l(cos ^ Pfl ' v(cos ^' COS7/ ^^' 

Daraus folgt fur den Grenzfall e<=Q 
(14 a) liinf J 

* ji ,. r fw\ (\ fi\i 
^So^i^^^^VTj^AT jj^^^^^i'^ 08 ^) 008 ^?^)- 

Andererseits gelten fiir e = Q auch hier die Gleichungen (20) 
und (20a) ; S.170. Aus der Gleichheit der beiden Eeihen 



fur 



limf ) folgt 

' 



wo, wie fruher, i^, die in dem Additionstheorem der Kugel- 
f unktionen auftretende Konstante bezeichnet Schreibt man 
diese Gleichung 



Kap 2. Abgeplattetes RotationseUipsoid. 189 




und beachtet, dafi nach den Gleichungen (8) vmd (9), S. 55, 56 
lim^+'&^-^li 

ac^oe #= 

ist, so folgt 



e=0 

oder 

(16a) S.,-%* /.,(), 

6 

wo /n*(0) eine Tunktion von e bezeichnet, die fiir e=0 den 
\Vert 1 annimmt. Da ferner auch hier die GrSfle e 
nur in den Verbindungen , enthSlt, so ist f nv (e) von 

6 6 

e unabhangig, hat also fur beliebige e denselben Wert wie 
fiir e = 0, aLso den Wert 1, d.h. es wird 

(18b) H*^ 

G 

und somit 



wahrend fiir r<ri in (17) r und fi zu vertauschen sind. 

Hiermit sind fur das abgeplattete EotationseUipsoid 
alle Grundformek aufgestellt. Benutzt man diese, so kann 
man alle das abgeplattete EotationseUipsoid betreflknden 
Potentialaufgaben genau ebenso behandeln, wie es fiir die 
analogen Aufgaben des verlangerten RotationseDipsoids in 
Kapitel 1 gezeigt ist. 

Zusatz. Die Losung der Potentiakufgaben ffir das 
dreiachsige Ellipsoid erfordert zunachst die Eurfuhrung 
eigentlicher elliptischer Koordinaten (die bisher benutzten 
sind GrenzfSlle von diesen), d,h. es sind die rechtwinfc- 



190 331. Die Potentialauf gaben fur RotationseUipsoide usw. 

ligen Koordinaten ernes Punktes auszudriicken durch die 
Achsen des Ellipsoids, des einschaligen und des zwei- 
schaligen Hyperboloids, die durch den betrachteten Punkt 
gehen und zu dem gegebenen Ellipsoid konfokal sind. 
Diese Flachen schneiden sich iiberall senkrecht. Die auf 
elliptische Koordinaten transformierte Gleichung A V= 
kann man in ahnlicher Weise losen wie fiir die beiden 
Eotationsellipsoide, indem man zunachst ein partikulares 
Integral sncht, das gleich dem Produkte dreier Funktionen 
ist, deren jede nur von einer der Veranderlichen abhangt. 
Die gewohnlichen Differentialgleichungen, auf die man 
dann fiir die einzelnen Faktoren gefuhrt wird ; sind jedoch 
nicht mehr die Gleichungen der Kugelfrmktionen, sondern 
komplmerter. Die dadurch definierten Funktionen be- 
zeichnet man als Lam^sche Funktionen. 



Kapitel 3. 
Exzentrische Kugelu. 

a) Dipolare Koordinaten in der Ebene. 

Der geometrische Ort der Punkte einer Ebene, die 
von zwei festen Punkten dieser Ebene konstantes Ab- 
standsverhaltnis haben, ist bekanntlich ein Kreis. Sind 
a und ft die festen Punkte und legt man das Koordinaten- 
system so, daB sein Anfangspunkt der Mrttelpunkt der 
Strecke ay?==2c ist und die positive f-Acnse in die 
Eichtung a f allt, so hat der Kreis, fur dessen Punkte P 

Pa t 

^r m ^ 

ist, die Gleichung 



oder 



WO 




Kap. 3 Exzentrische KLugeln 191 

den hyperbolischen Kosinus und Sinus bezeichnen. Fur 
keinen Wert von m (oder t} scbneidet der Kreis (1) die 
#- Achse. Fiir positive Werte von t, also fiir w<l, liegt 
der Mittelpunkt M des Kreises und seine Schnittpunkte 
J.ijJ.2 mit der f- Achse auf der positiven Seite die&er 
Achse, wahrend fiir negative Werte von t y also fiir m>i ; 
Jkf, Ai und A* auf der negativen Seite dieser Achse Kegen. 
Fur tf = 0, also m= 1, geht der Kreis in die q- Achse liber, 
fur = + oo, also m = reduziert er sich auf den Punkt , 




Fig 10 

fur t = oo , also m = oo auf den Punkt ft . Fiir variable 
m oder t stellt (1) oder (la) eine Schar von Kreisen dar. 
Von zwei Kreisen, die beide einen positiven "Wert des 
Parameters t besitzen, liegt der Kreis mit dem gr5fieren 
Parameter t ganz innerhalb des Kreises mit dem kleineren tj 
das Umgekehrte gilt fiir zwei Kreise mit negativen Werten 
des Parameters t, wahrend von zwei Kreisen, fiir deren einen 
t positiv, fiir deren andern t negativ ist, der eine ganz 
auBerhalb des andern liegt. 

Ferner ergibt sicL aus (1) fiir den Mittelpunkt M 
irgendeines der Kreise 



der Mittelpunkt M eines Kreises t liegt daher auf dem- 
jenigen Kreise der obigen Sohar, dessen Parameter t den 
doppelten Wert hat. Weiter ist 



__ 5 __. 

Die rechte Seite von (1 c) ist das Quadrat des Kreisradius. 
Sind daher, wie oben ; Ai,Az die Sehnittpunkte des be- 



192 HI. Die Potentialaufgaben. fur Rotationsellipsoide usw. 

trachteten Kreises mit der f-Achse, so kaan (Ic) auch so 
gesolirieben werden: 

(Id) 



d. b. die Punkte a. , ft , JLi , A* sind harmonische Punkte, 

und zwar a und ft einander zugeordnet 

Irgendein Kreis, der durch a und /? geht, dessen 

Mittelpunkt M! also auf der y-Achse liegt, schneidet alle 

Kreise der obigen Schar senk- 
recht. Denn ist S der Schnitt- 
punkt eines der obigen Kreise 
mit dem Kreise, dessen Mittel- 
punkt M! ist, so ist M SMAi , 
daher nach (Id) 




mithin ist MS* Tangente an 
den um M beschriebenen Kreis ; 
die in S an beide Kreise ge- 
zogenen Tangenten stehen also 
senkrecht aufeinander. 

Die sSmtlichen durch a und 
ft gelegten Kreise bilden eine 
neue Schar, und jeder Kieis 
dieser Schar schneidet alle 
Kreise der ersten Schar senk- 
recht. Die Gleichung irgendeines Kreises der zweiten 
Schar ist, wenn M sein Mittelpunkt und Winkel j 
= 2w ist: 

(2) 

oder 

(2a) 



Mittels der Gleichtmgen (la) und (2 a) kann man die 
rechtwinkligen Koordinaten ,17 irgendeia-es Punktes der 
Ebene durch die Parameter t,u derjenigen Kreise beider 
Scharen, die sich in f,ij schneiden, ausdrucken. Bringt 
man in (la) den Faktor SI)J:(f}tf, in (2 a) den Faktor 



Kap 3. Exzentrische Kugeln. 193 

cotgw auf die andere Seite, quadriert und addiert dann 
beide Gleichungen, so folgt 



Die Losungen dieser quadratischen Gleichung smd 



_ 



Setzt man den Ausdruck (a) fur f 2 + ^ 2 in (la) und (2 a) 
ein, so erhalt man 

f n \ t @ ^ sin w 

(3a) f = 

v y 



wahrend der Ausdruck (b) fur 

sin w 



ergibt. Nun gehen die Ausdriicke (3b) aus (3 a) hervor, 
wenn man in letzteren u durch w-h^r ersetzt. Es geniigt 
daher ; die Formeln (3 a) allein zu betrachten und darin u 
alle moglichen Werte zwischen und 2 TT zu geben. Dann 
wird ftir t<7r ^ positiv^ ftir w>^ ?; negativ. Geometrisch 
kommt das auf folgendes hinaus. Liegt der Mittelpunkt 
Iff eines der Kreise (2) auf der positiven ^-Achse, so war 
aM'ft = 2u<.K] mithin isl u der Peripherie winkel iiber 
der Sehne a^ff; und man muB far solche Punkte S, deren 
iy-Eoordinate positiv ist ; den konkaven Winkel aS/3~u 
(<%7t) setzen, dagegen ist ftir solche Punkte Si, deren 
?j-Koordinate negativ ist, u gleich dem konvexen Winkel 

o 

a Si ft, der zwischen it und -5- it liegt. Fur Punkte der 



durch a. und ft gehenden Kreise, deren Mittelpunkt M" 

auf der negativen w-Achse liegt, ist -=r<iu<.K) falls die 

3 
ij-Koordinate positiv, -^-^<w<2^, falls die ^-Koordinate 

Wangerin, Theorie des Poteatials IT. 13 



194 III. Die Potentialaufgaben fur Rotationsellipsoide nsw. 

negativ ist. Fur Punkte der Linie a/3 selbst 1st w = ;r; 
dagegen ist fiir Punkte der positiven f-Achse jenseits a 9 
sowie fiir Punkte der negativen -Achse jenseits /? u = . 
Fiir t und u = wird f 2 + *j 2 unendlich groB. Je nach 
der Art, in der und u sich gleichzeitig dem Werte 
nghern, erhalt man fiir = 0,w = die verschiedenen un- 
endlich fernen Punkte. Denn fiir sehr kleine Werte von 
t und u ist 

r sin u u 



Man nennt die Yariabeln t,u dipolar e Koordinaten. 
Zusatz. Den durch die Gleichungen(3a) vermittelten 
Zusammenhang zwischen f,ij einerseits, t,u andererseits 
kann man mit Benutzung komplexer GroBen durch eine 
Gleichung darstellen. Ist, wie liblich, ]/ 1 == i , so folgt 
aus (3 a) 

- ft 



tl.h. 



und 



-. 



b) Dipolare Koordinaten im Eaum. Anwendung 
auf die reziproke Entfernung zweier Punkte. 

L&Bt man die HSlfte der von den obigen zwei KJreis- 
scharen gebildeten Figur um die f-Achse rotieren, so gehen 
die Kreise der Schar t in exzentrische Kugeln Tiber, die 
Ea m eise u in gewisse Flachen vierter Ordnung (Teile von 
EingflSchen). Beide Flachenscharen schneiden sich senk- 
recht, da die rotierenden Ejreise diese Eigenscbaft hatten. 
Nimmt man dazu die durch die Rotationsachse gelegten 
Ebenen, so hat man drei orthogonale FlSchenscharen; d.h, 
setzt man 

# = , ^ 

oder 



Kap. 3. Exzentrische Kugeln. 195 

___ smuQOQv __ sinwsint; 



_ 



so sind t,u,v die Parameter dreier orthogonaler Flachen- 
scharen, und zwar sind die Flachen = Const exzentrische 
Kugeln. Um aUe Punkte des Eaumes zu erhalten, mufi 
man t von oo bis + oo variieren lassen, u von bis IT , 
da ja rj positiv ist, v von bis 2 jr. Aus den Gleichungen 
(5) folgt noch [vgl. G-L (a), S. 193] 

/K \ 

(5a) 

Fiir unsere Variabeln werden die S. 3 definierten 
Funktionen l,m } n y wenn man #=^ ? u fj., v = v setzt: 

/rtx 7 c csinw 



t COS?* 

Somit wird das Oberflachenelement einer Kugel 
(7) do-- 



Ferner ergibt sich aus (5) und (5 a) fiir den Abstand ^ 
zweier Punkte, deren rechtwinklige Eoordinaten &)y,z und 
#i,yi,#i sind, wShrend denselben Punkten die Parameter 
t, w , v , resp. fa , %L , vi zugehSren, 



g fl 

~ 



^ COSW )& COSWr 

_2 2 t) ^ @ ^ fa+ sin w sintfa cos (t? ~yi) 

(E fyt cos w) (S $fa cos ifa) 
oder 



worn 

(8a) cos y = cos n cos wi + sin u sin wx cos (t? k) 

ist. 

13* 



196 IH. Die Potentialaufgaben fur Eotationseliipsoide usw. 

Zur Entwicklung der reziproken Entfeniung zweier 
Punkte ist zu beachten, daB 



und daher 



: ?Jl (l-2-C-tt cos y + ar <*-*> i 
2 I I 



oder auch 

*-<*- ,, , f 
= - 1 1 2 $ - fe cos 



ist, so daB 



wird. Von den beidenVorzeichen sollen liberal! die oberen 
genommen wrden, wenn t>fa ) die unteren, wenn t<k 
ist. Da im ersteu Falle ertt-W, im zweiten e^ c *~^ kleiner 
als 1 ist, so ist 
1 



und 
1 i J 

(9a) : -- ytyt- 

Q ^ ***<. 

wo \t fa I den absolnten Wert von i fa bezeichnet 



c) Das Problem der zwei Kugeln, 

Auf Grundlage der voistehenden Formeln kann man 
eine seit 100 Jahren viel behandelte Aufgabe erledigen, 



die der Elektrizitatsverteilung auf zwei isoliert 
anfgestellten leitenden Kugeln, denen freie Elektrizitat mit- 
geteilt is^ ohne daB iiuJSere Krafte auf sie einwirken. 

a) Vorbereitung. Es ist zucadist zu zeigen, dafi 
man es durch passende Verfugung iiber c sowie iiber die 



Kap. 3. Exzentrische Kugeln. 



197 




Lage von stets erreichen kann, daB irgend zwei gegebene 

Kugeln, deren eine ganz auBerhalb der anderen Segt, der 

vorher betrachteten Schar exzentrischer Kugeln angehSren. 

Die Mittelpunkte bei- 

der Kugeln seien A und 

Bj ihre Eadien a und 

6 , ihre Zentrale d . Da 

nach(lc), 8.191 und 

/? in bezug auf beide 

Kugeln konjugiert sind ; 

so muB notwendig der 

eine der Punkte ,;9 

innerhalb der Kugel A 

liegen, der andere inner- Fig. 12 

halb der Kugel B , und 

beide mtissen zwischen A und B liegen. Wir nennen a 

den innerhalb der Kugel A , ft den innerhalb B liegenden 

dieser Punkte. Dann ist nach (Ic), S. 191 

(10) A 

und 

(lOa) 

und zwar bezeichnen die in diesen Gleichungen auftretenden 
Gr6Ben Aa ? B^ } a^ die absoluten Werte dieser Strecken. 
Der Gleichung (10 a) geniigt man durch den Ansatz 



(11) 



und die G-leichungen (10) ergeben dann 

a.) 



ans denen 



(12a) 



folgt, so daB 



198 HI. Die Potentialaufgaben fur Rotationsellipsoide usw. 



_ 

mrd. Die Gleichungen (12 b) bestimmen, da A , JS gegebene 
Punkte sind und <7 , ft zwischen A und JB liegen, die Lage 
der Punkte a.,fi und damit auct die ihres MittelpunktesO; 
ferner 1st c = aft* Man kann somit durch zweckmaflige 
Wall der GroBe c sowie der Lage von stets erreicheh, 
daB die beiden gegebenen Kugeln unserer Schar exzen- 
trischer Engeln angehoren. Ferner sei die Bichtung der 
positiven a;-Achse so gewahlt, daB die a?-Koordinate von 
A positiv, die von S negativ ist. Der dem I&eise A zu- 
gehorige Parameterwert + fe sowie der dem Kreise S zu- 
gehorige k bestimmen sich aus der Gleiohung (Ib), S. 191 



d.L 



^ - _ - t ^ A fl d* 

1 "" 



oder 
(13) 



Znsatz 1. In ganz analoger Weise kann man auch 
c some die Lage der Punkte a,f}>0 so bestimmen, daB 
zwei gegebene exzentrische Kugeln, deren eine ganz inner- 
halb der andern liegt, unserer Schar angehSren, 

Zusatz 2. Transformiert man die gegebenen, um A 
und S beschriebenen Kugeln durch reziproke Eadien vou 



3ap. 3. Exzentrische Kugeln 199 

einem der Punkte a. oder /9 als Transformationszentruin, so 
sind die reziproken Kugeln konzentrisch. 

ft) L5sung der Aufgabe, Die Kugel tf = + k sei 
nrit elektrischer Masse von der Dichtigkeit xi (ffe,fa) belegt, 
die Kugel # = 4 mit Masse von der Dichtigkeit x 2 (3,fls), 
wo Ui 9 Vi die variabeln Parameter der Punkte der einen, 
^3,02 die der andern Kugel bezeichnen. Das Potential 
der ersteren Jugel werde mit F, das der zweiten mit W 
bezeichnet, und die angehangten Indizes i,a sollen aus- 
driicken, daJ3 es sich um einen inneren oder aufieren Punkt 
der betreffenden Kugel handelt. Die Oberflachenelenxente 
der Kugeln sind durch Gleichung (7), S. 195 gegeben; 
somit wird 



wo Q den Abstand des Punktes h , wi t v der Kugelflache A 
von dem Aufpunkte t 9 u 9 v bezeichnet. Die Integration ist 
nach /! von bis TT, naeh vi von bis 2w zu erstrecken, 
Man denke nun die Funktion xi (wi , i) : (S f) fe cos MI)^ 
nach Kugelfunktionen entwickelt: 



wende fernerfiir - die Formal (9a) ? S, 196 an, wobei zu 

beacbten ist, daB fiir Punkte inner halb der Kugel 
fiir auBere Punkte t<i\ ist. Dann wird 




Multipliziert man die Keihen gliedweise und wendet die 
IntegralsStze der Kugelfunktionen an, so ergibt sich 



200 HI Die Potmtialaufgaben fur Rotationsellipsoide usw. 

und den Wert von V a erhalt man aus (16), wenn man in 
dem Exponenten von e an Stelle von t ti setzt ti t. 

Um die "Werte von W z und W a zu erhalten, entwickle 
man analog (15) 

f4 ~ ^ Xafaa.Va) V-l TT / \ 

(IBa) - v ' S ^ m (ifti,w), 

(S^fa costfe)* OT:as() 

und beachte bei der Entwicklung von ; dafi an der 

Kngel J? t den Wert fe hat, daB innerhalb der Kugel 
tf< fe ? auBerhalb f> fe 1st, so wird 

(16a) T^^l^ 



wahrend bei W a im Exponenten von e (t+t*) an Stelle 
von (tf+fe) steht. 

Die Bedingung des elektrischen Grleichgewichts der 
isoliert aufgestellten Kugeln erfordert, dafi die Summe der 
Potentiale im Innern jeder der beiden Kugeln einen kon- 
stanten Wert hat. Bezeichnet man diese konstanten Werte 
mit Ji und Zr, so muB also 

1) fiir t>t i l^+Wa^Ji, 

2) ftr ^< fe r a +W t = i 

sein ? d. L, wenn der Kiirze halber die Argumente u,v der 
Kugelfrm ktionen fortgelassen werden, 



4jrc]/Sp COSM 2 
(17) 



Um aus diesen Gleichungen die KTigelfunktionea X* , T n 
zu bestimmen 3 raiiB man sie durch j'S^f cos dividieren 



Kap 3. Exzentrische Kugeln. 201 

uud den reziproken Wert dieser "Wurzel ebenfalls nach 
Kugelfunktionen entwickeln. Nun ist 

! ]/2 Vie" 7 



cosw 



oder 



Von diesen beiden Darstellungen ist im Innern derKugelJ. 
die erste zu nehmen, da dort t positiv ist, dagegen im 
Innern der Kugel B, wo t negativ ist ? die zweite. Im 
Innern der Kugel A wird demnach 

(18) 



' COStt 

oo 
= y^ 2 e "~ ^ w ^"i)* Pn (OS w) , 

wahrend fiir ^< fe in (18) nur +t an Stelle von t tritt. 
Somit geht die erste der Gleichungen (17) in foJgende iiber: 

(19) 



und da diese Gleichung ftir beliebige t>ti erftillt werden 
soil, miissen die Koeffizienteu der einzelnen Potenzen von 
&-* beiderseits gleich. sein, d. h. ftir jeden Werfc von n muB 

(20) 



sein. Ebenso ergibt die zweite Gleichung (17) 



202 HI. Die Poteatialautgaben fur Eotationsellipsoide usw. 
Daraus folgt 



ICt Xn und Y n hat man unmittelbar durch Anwendung 
von (15) und (15 a) Keihen for die Dichtigkeit xi, resp. x 2 
der elektrischen Verteilung auf beiden Kugeln, Um die 
in (21) nooli enthaltenen Konstanten h und J zu bestimmen, 
miissen die Massen der den beiden Kugelflachen mitge- 
teilten freien Elektrizitat gegeben sein. 

Das Potential 7 fl der'Kugel A hat fur Punkte auBer- 
halb dieser Kugel den Vert 






Daraus erhalt man den Vert von WQ, indern man ti mit fc, 
ft mit ft und zugleich ^ mit t vertauscht 

Die einzelnen in T a auftretenden GroBen haben erne 
einfache Bedeutung. 1st P der Aufpunkt, so ist 



also 



Ferner ist 




"Sfif-cosa 5 
wie ans den Gleichungen (5) und (5 a), S. 195 folgt, 



Kap 3. Exzentrische Kugeln. 203 

Setzt man noch zur Abkiirzung 



so nimmt V a die Form an: 

8llrl -*#" +1 



und Winkel M ist = a P J . 

Diese einfache Form cles Kesultatee riihrt von 
Darboux*) her. 

Zusatz 1. Ist die,,eine der beiden Kugeln, z. B. die 
Kugel I?, nicht isoliert aufgestellt, sondern zur Erde ab- 
geleitet, so ist in den vorstehenden Formeln nur i = 
zu setzen, 

Zusatz 2. Das Eesultat Lifit sich auch auf den Fall 
anwenden, daO eine der beiden Kugeln eine Ebene ist. 
Denn fiir fe = geht die Kugel JB in die ?/#-Ebeiae iiber. 
Ist umgekelirt die Ebene s und die Kugel um A mit dem 
Radius a gegeben, so ialle man von A auf e das Lot A 0, 
so hat man den Punkt 0. Ferner ist 



womit fa und c bestimnit sind und mit c auch die Punkte 
a und /9. 



*) Bulletin des sciences mathematiques (2), 31, 1728, 1907. 
Darboux benutzt zur AbleittiBg der Fonrxel (24) eine ganz andere 
Methode; auch stellt er nicht direkt die obige Keihe auf, sondern 
die fur 



Die obigen Pormeln (22) oder (24) haben den Vorzug, daB sie sich 
phne weiteres aui den Fall anwenden lassen, dafi erne der Kugeln 
in eine Ebene ubergeht. 



204 HI. Die Potentialaufgaben fur Eotationsellipsoide usw. 



d) Die allgemeine Randwertanfgabe fiir zwei 

exzentrische Kugeln. Elektrizitatsverteilung auf 

zwei Kngeln bei Einwirkung auBerer Krafte. 

Da die bier betrachteten Flachenscbaren t,ii,v ortho- 
gonal sind, kann der Ausdruck A V mittels der Formel (9), 
S. 6 auf die Variabeln t,u,v transformiert werden. Die 
Werte von l y in,n fur diese Variabeln sind in (6), S. 195 
angegeben. Es wird somit 



. . w (Sljf cos*/) 3 
io) JF=- - 



c sin u S V 
~8t 



at 



c sin u 



+ 



cosw on 



+ r- 



5F< 



sin u 



f cos zt) d 2 ' 



Fiihrt man bierin an Stelle von V die neue Variable 
durch die Gleichung 

(26) 7 

ein, so wird 



av 



(27) 



St|f cos^ dt _ 



et 



2 @~ cosw 



cosw) 5 



sn 



cosw 



I' !>* cost* 



cos w 



sn 



cosw 4 (l) cosw)' 



Nun ist 



Kap 3. Exzentrische Kugeln 205 

Addiert man die Gleichungen (27), so wird der Faktor 
von Vi auf der rechten Seite 



cosw 



daher geht durch die Substitution (26) Gleichung (25) in 
folgende iiber: 



(25 a) J7= 

V 

8 sin 



und die Laplacesche Gleichung AV=Q wird 
, . 3Fi 

^, 1 ^^-iF. 
5 M + iS^Ti^ 4 Kl 



Sucht man, analog wie S. 113, eine Losung dieser 
Gleichung von der Form 

(29) ri^FiTTiTTs, 

wo Wi nur von t, W* nur von w, W$ nur von v abhangt, 
und verlangt dazu, da8 die Losung fiir alle Punkte 
des gerade betrachteten Gebiets, also auch fiir w = und 
U = TT endlich, und daB sie auficrdem eindeutig, daher in 
bezug auf v urn 2?r periodisch ist, so ergibt sich, genau 
wie an der angegebenen Stelle, dafi TFa Ws die Form 
haben muJB: 

(29 a) Fa WB = P w , r (cos ) {6 y cos (v v) + G 1 sin (v v) } , 

wo n und v ganze Zahlen sind und n>v ist. Fiir TFi 
ergibt sich ferner die Gleichung 



deren. allgemeines Integral 
(29b) W 1 



206 in. Die Potentialaufgaben fur B-otationsellipsoide usw. 

1st. Aus dem partikularen Integral, das duroh Einsetzen von 
(29 a) und (29 b) in (29) entsteht, erhalt man die allge- 
meine Lflsung, die den geforderten Nebenbedingungen ge- 
niigt, indem man iiber alle ganzen Zahlen v von v = bis 
r = w, dann liber alle ganzen Zahlen n summiert und dabei 
den \rillkiirlichen Konstanten von Glied zu Grlied andere 
Werte beilegt. Nun ist 



die allgemeine Kugelfunktion mit zwei Variabeln. Somit 
wird die allgemeine LSsung von (28), die alle charak- 
teristischen Eigenschaften des Potentials besitzt, 

(30) Fi = 2 tr "^ " U %n ( ll 9 **) + e ~ (n+ " U %n ( > *>)} j 

und V ergibt sich aus (26). X f n bezeichnet dabei eine 
Funktion ganz derselben Art wie X n) nur mit anderen 
Konstanten. 

Handelt es sich urn einen Raum, in dern t = oo werden 
kann, d. h. um einen Raum, der den Punkt a enthalt, so 
sind samtliche X n zu setzen, damit V endlich bleibt, 
wahrend in einem Raume, der den Punkt ft enthalt, alle 
X'n verschwinden miissen. 

Die erste Randwertaufgabe ist nun eine doppelte: 

1. Es soil ftir den von zwei exzentrischen Kugeln, 
deren eine innerhalb der anderen liegt, begrenzten Raum 
die Lftsung der Laplaceschen Gleichung JF=0 gefunden 
werden, die nebst ihren Ableitungen innerhalb jenes Ge- 
biets eindeutig, endlich und kontinuierlich ist, und die an 
den Kugelflachen gegebene Werte annimmt. 

Fiir die den Raum begrenzenden Kugelflachen sei 
f=fo, resp. f=fe, wo fi und fe beide positiy sind, und die 
gegebenen Randwerte seien Fi(u,v) fur f=fe, Fz(u,v) 
f iir t = fe . Die Losung hat die Form (30), und fur t = & 
mufi die rechte Seite von (30) = Fi (w,v): y^i cosw, 
fur t=t2 dagegen == F% (u , v) 1/E fi fe cos u sein* Ent- 



wickelt man Fi (u , v) : ]/^i coswund Fa (w, v) :}&$& cost* 
nach Kugelfunktionen und beachtet, daB, wenn zwei Ent- 
wicklungen nach Kugelfunktionen gleich sein sollen, die 



Kap. 3. Exzentrische Kugeln. 207 

einzelnen Eugelfunktionen beiderseite ubereinstimmen 
miissen, so sind dadurch alle Xn und X' n bestimmt. 

2. Es soil fur den Rauin aufierhalb zweier Kugeln, 
deren eine ganz aufierhalb der anderen liegt, dieselbe Aiif- 
gabe gelSst werden. 

Der Unterschied gegen die vorhergehende Aufgabe 
besteht nur darin, dafl die koastanten Werte von t an den 
beiden Kugeln entgegengesetzte -Vorzeichen haben, also 
ti positiv, fe negativ 1st. Die Bedingung, daB F ver- 
schwinden muB, wenn der Aufpunkt ins Unendliche riickt, 
wird von selbst erfiillt, da dann naeh S. 194 ^ = nnd 



?f = 0, also yJ) cosw = wird. 

3. 1st dieselbe Aufgabe fiir den Innenraum einer 
Kngel zu losen, z. B. fiir den Innenraum von t=ti f wo &. 
positiv ist, so sind alle 3^ = zu setzen. 

4. Analog wird auch die zweite Randwertaufgabe ge- 
lost. Hier ist die Eandbedingung nur die, dafi fur = & 
nnd tf = + fe 

iZ J: ^F g^-eoati BV 

' 



gegebene Werte hat. 

Auch die allgemeine Aufgabe der Elektrizitatsver- 
teilung auf zwei leitenden Kugeln, deren eine aufierhalb 
der anderen liegt, unter Einwirkung beliebig gegebener 
elektrischer Kiafte l&Bt sich aunmehr l8sen. 

Wird fur die Dichtigkeiten xi und xa der auf den 
Kugeln t=fa und t= fa ausgebreiteten elektrischen Massen 
derselbe Ansatz gemacht, wie S. 199, 200, so ergeben 
sich fiir die Potentiale b eider Kugeln F, W dieselben Aus- 
driicke wie an der angefiihrten Stelle. Ferner sei das 
Potential der gegebenen elektrischen Krafte, die auBer- 
halb beider Kugeln ihren Site haben mSgen, U. Inner- 
halb beider Kugeln geniigt dann U der Laplaceschen 
Gleichungund besitzt die sonstigen charakteristischenEigen- 
schaften des Potentials. Ftir das Innere derKugel t 
laBt sich daher U so darstellen: 



208 EL Die Potentialaufgaten for Rotationsellipsoide as-ro- 
und fiir das Innere der Kngel = fe 



wo Z n 9 Z r n gegebene Kugelf unktionen sind. Das elektrische 
Gleichgemcht erfordert dann, daB 



1) fflr 

2) ftp - 

* 

1st ^ Die Bestimmnng der Dichtigkeiten x , x 2 aus diesen 
Gleichnngen gestaltet sich ganz analog \rie in dem ein- 
facheren, in Abschnitt c) behandelten Problem, in dem nur 
Di nnd J7 2 =0 waren. 

Es mSgen z.B. die beiden leitenden, mit Elektrizitat 
geladenen Kugeln unter Einwirkung eines induzierenden 
elektrischen Punktes stehen. Seine Masse sei p, seine 
Xoordinaten ^o,o,vo, wobei fe>fe> fc ist; ferner sei 
^o der Abstand des Punktes p von dem Aufpunkt ^,w,r. 
l)ann ist 



, 

nnd kann man nach Gleiclinng (9a) ? S. 196 nach Kugel- 

funktionen entwickeln. 

In derselben Weise laBt sich die elektrische Ver- 
teilung auf einem Leiter bestimmen, der von zwei exzen- 
trischen Kugeln begrenzt wird, deren eine ganz innerhalb 
der anderen liegt. 1st t=+h die aufiere, ^ = + fe die 
innere Kugel (ft>fe), so tritt nur +s an Stelle von fe. 
Haben die indnzierenden elektrischen Krafte ihren Site 
anBerhalb der Kugel h, so ergibt sich, wie bei konzen- 
trischen Kugeln, das Resultat, dafi auf der inneren Kugel- 
flache keine freie Elektrizitat ausgebreitet ist. 



e) Hinweis auf weitere Probleme. 

a) Kingflache. Kehren wir zu den in Abschnitt a) 
betrachteten Eieisscharen der Ebene 17 zuriick und'lassen 
nunmehr diejenige Halfte der von diesen Kreisscharen ffe- 
bildeten Figur, fur die f positive Werte hat, um die 



Kap. 3. JExzentriselie Kugeln, 209 

ij-Achse rotieren, setzen also, indem wir die Rotations- 
achse als &-Achse nehmen, 



sinw 



COSM 
- Ijtfsi . 

fi = COS t? = G Tzry-z . 2 = S1EL V 

J S^tf cost*' 

so gehen die Kreise #= Const in Eingflachen iiber, die 
Ereise u = Const in Kugeln, die sich samtlich in dem- 
jenigen Ereise schneiden, der von dem Puntte a bei der 
Rotation beschrieben wird. Urn alle Punkte des Raumes 
zu erhalten, aber derart, daB auch umgekehrt zu jedem 
Pimkte nur ein Wertsystem von t,u,v geho'rt, muB hier 
t von bis +00 variieren, u von bis 2?r, v ebenfalls 
von bis 2 jr. Die HilfsgrflBen I 9 m haben hier dieselben 
Werte wie 8.195; dagegen wird 



daher 



, x**f -cost* < 



Setast man wieder 
so wird 



Suoht man aiujh hier ein partikulSres Integral der Glelchung 
von der Form 



Wangerin, Tleorie des Potenttala JL 14 



210 HL Die Potentialaufgaben fttr Botationsellipsoide usw. 

wo TPi nur von t, W* nur von u, Wz nur von v abhSngt, 
so miissen TFi und Wz Gleichungen von der Form 



geniigen. Da ferner die Parameterwerte w = und u = 2n 
denselben Punkt ergeben, ebenso v = und t? = 2^, so 
miissen Wg und TFs je um 2?r periodisch sein, es miissen 
also ci und cs die mit 1 multiplizierten Quadrate zweier 
ganzen Zahlen sein, d. L, wenn n,v ganze Zahlen be- 
zeichnen, 



Fiir T7i ergibt sich infolgedessen aus A V= die Gleichnng 



oder wenn nach (S |i = I gesetzt wird, 

aw 

() 

Das ist eine Gleichung, die ganz analog ist der Differential- 
gleiehung der zugeordneten Kugelf unktionen, nur steht in 

jener DifEerentialgleichuDg n (n + 1) , hier dagegen [n -- ) 
* Durcl1 die Gleic ^^ Q sind also Funktionen 



bestimmt, die aus den Kngelfunktionen dadurch hervor- 
gehen, dafi man statt des ganzzahligen Parameters n den 

Parameter n ~ , d. L die Halfte einer ungeraden Zahl 

fietzt ^ Auf die Eigenschaften dieser Funktionen, die man 
ds Eingfunktionen bezeichnet, sowie auf die weitere 
Behandlung der Potentialaufgaben fur den Bing soil hier 
nicht n^Jber eingegangen werden, 



Kap.3. Exzentrisclie Kugeln. 211 

Zusatz. Die Potentialaufgaben fiir den Eotations- 
kegel fiihren auf Funktionen, die aus den Kugelfunktionen 
dadurch hervorgehen, dafi man dem Parameter n der 
Kugelfunktion imaginare Werte erteilt: 

1 



(p beliebig). Man nennt diese Funktionen Kegelfunk- 
tionen. 

ff) Bertihrende Kugeln. Neben den in Abschnitt a) 
behandelten orthogonalen Kreisscharen existieren noch z-wei 
andere derartige Scharen. Die Grleichung 



stellt, wenn der Parameter t variiert, eine Schar von 
Kreisen dar, die alle einander und die ly-Achse im Anf angs- 
punkte beriihren. Nimmt man dazu die zweite Kreisschar 



so wird jeder Kreis der ersten Schar von alien Kreisen 
der zweiten Schar senkrecht geschnitten, und umgekehrt. 
Durch die Parameter t,u lassen sich ,v] so ausdriicken: 

oder 



LaBt man diese Kreise um die Achse f rotieren, so 
geht die eine Kreisschar in eine Schar sich beriihrender 
Kugeln iiber, fiir die 



ttawv 
iH^* 5 " 



ist. Auf die Variabeln *,t*,0, die man als sympolare Ko- 
ordinaten bezeichnet, transformiert, lautet die Gleichung 
JF-0: 




Tt 

u* 



212 ITT. Die Potentialaufgaben fiir Rotationsellipsoide usw. 
Setzt man 



so wird 



**. i-Su 1 
3t* ^ u du ^u* 



Ein partikul&res Integral dieser Gleichung 1st 
(a) 7i = e p *(Ccos( 



wo p eine beliebige positive oder negative Zahl ist, v eine 
ganze Zahl, wahrend U der Gleichting 



genugt. Die durch (Gr 1 ) bestimmten Funktionen sind die 
Zylinder- oder Besselschen Funktionen. Man erhSlt 
ubrigens aus (a) die allgemeine LSsung der Gleichung 
^F=0, wenn man nach v uber alle ganzen Zahlen y 
summiert, nach p aber integriert. 

Auch hier begnugen wir uns mit diesem Ansatz des 
Problems^ ohne dasselbe weiterzufiihren. 



IV. Absohnitt 

Die Randwertaufgaben der Potential- 
theorie fur beliebige geschlosseneFlacheB, 

Einleitung, 

Eine Funktion, die in einem Eaume T, der irmerhalb 
einer geschlossenen FlSche JPliegt oder sich auBerhalb .Fins 
Unendliche erstreckt, der Laplaceschen Gleichung JF 
geniigt, die f enter in T nebst alien ihren Ableitungen tiber- 
all endlich, eindeutig und kontinuierlicli ist und, falls sich 
T ins Unendliche erstreckt, dort verschwindet, me G \ r fiir 
L=oo ; soil kurz eine Potentialfunktion des Raumes T 
genannt werden. In bezug auf soljhe Funktionen sind in 
Abschnitt H folgende Resultate abgeleitet: Eine Potential- 
f unktion ist fiir den Innenraum einer Kugel vollstSndig 
bestinimt, wenn ihre Werte an der Kugelflache gegeben 
sind. Dasselbe gilt fiir den Aufienraum einer gegebenen 
Kugel, sowie fiir den Eauni zwischen zrwei konzentrisclien 
Kugeln, falls im letzteren Fall die Werte der Potential- 
funktion an beiden KugelflSchen gegeben sind. Auch fttr 
den Innen- und AuBenraum eines Eotationsellipsoids sowie 
den Raum xwischen zwei konfokalen Rotationsellipsoiden 
ist in* Abschnitt HE die Potentialfunktion aus ihren Band- 
werten bestimnit, ebenso fiir den von awei exzentrischen 
Kugeln begrenzten Raum, mag die eine dieser Kugeln 
gams auBerhalb oder ganz innerhalb der anderen liegen. 
AuBerdem ist gezeigt, dafi fiir die eben genannte n Eaume 
an Stelle der Eandwerte der Potentialfunktion selbst die 
RandVerte ihrer normalen Ableitung gegeben sein kSnnen 
(zweite Bandwertaufgabe). 

Diese Eesultate lassen sioh dahin erweitern, daB sie 
auch fttr E&ume gelten, die von anderen als den genannten 



214 IV. Die Randwertaufgaben frir beliebige Flachen. 

FlSchen begrenzt sind. Es sollen die wichtigsten Methoden, 
mittels deren man den Nachweis fiir die genannten Er- 
weiterungen zu fiihren versucht hat, kurz dargelegt werden. 
Ehe wir aber auf die Randwertaufgaben selbst eingehen, 
sollen einige Satze aufgestellt werden, deren wesentHehste 
zuerst von Gaufi angegeben sind. Diese Satze, die 
wichtige allgemeine Eigenschaften des Potentials betreffen, 
werden weiterhin angewandt werden. 



Kapitel 1. 
Einige allgemeine Satze fiber das Potential TOIL Massen. 

Satz 1. Der Gaufische Satz des arithmetischen 
Mittels. 

Wir betraehten die Werte, die das Potential V a von 
Massen aufierhalb einer Kugel vom Eadius It in Punkten 
der Kugelflache hat. Bezeichnet $' den Abstand eines 
Punktes P der Kugelflache von einem. der aufieren Massen- 
punkte Q f , yi die Masse in letzterem Punkte, so ist 



Wirmultiplizieren dieseGleichungmit dem Flachenelemente 
do der Kugel im Punkte P und integrieren iiber die 
Kugelflache, so wird 



Das rechtsstehende Integral ist nach der erstea Formel (A) 
8.99 =4^-JB 2 :r, wo r den Abstand des Punktes Q f vom 
Kugelmittelpunkte bezeichnet. Somit wird 

(3) 

wo Va den Wert bezeichnet, den das Potential der Massen 
ft' im Mittelpunkte der Kugel annimmt. 

Die Ableitung gilt ohne weiteres, wenn an Stelle der 
bisher ins Auge gefafiten einzelnen Massenpunkte 



Kap. l. Einige allgemeine Satze uber das Potential vonMassen. 215 

liche oder auf Fl&chen ausgebreitete Massen treten. Dann 
tritt an Stelle der Summation in (1) nur eine Integration. 
Bei der weiteren Integration liber die Kugelflache 1st zu' 
beachten, daJB die Koordinaten der Punkte P der Kugel- 
fl&che nur in 9' auftreten, nicht in den Q-renzen des fiber 
die Massen zu erstreckenden Integrals, noch in der Dichtig- 
keit. Statt jenes Integral ist daher nur der Faktor I\Q' 
innerhalb des Integrals nach do zu integrieren. 

Weiter mc5gen an Stelle der Massen (i f aufierhalb der 
Kugel E andere Massen p innerhalb E treten ; und Q sei 
der Abstand eines Massenpunktes Q von einem Punkte P 
von R, so wird das Potential Vi dieser Massen 

(la) F,=2-'i, 

weiter 



(2.) 

also nach der zweiten G-leichung (A), S. 99 

(3a) 



worin M t die gesainte innerhalb der Kugel liegende 
kende Masse bezeichnet. 

Ist drittens die Masse JL auf der Kugelflache R selbst 
ausgebreitet, so gilt sowohl die Formel (3), als (3 a), da in 
diesem Falle das in (3) auftretende r==B ist 

Handelt es sich endlich um Massen, die teils aufier- 
halb, teils innerhalb der Kugel, teils auf derselben liegen, 
so teile man die gesamte Masse M in den auBerhalb 
liegenden Teil M a und den inneAalb liegenden Teil M t9 
wobei die auf der Kugel selbst liegenden Massenteile be- 
liebig zu M a oder M l gerechnet werden konnen. Das 
Potential von M a sei V a , das von Mi sei 7$, das Gesamt- 
potential sei F, so ist 



(4) 



216 IV. Die Eandwertaufgaben fur beliebige Fkclien. 

wo V% wieder den Wert von V a ini Kugelmittelpunkte be- 
zeichnet Der Ausdrack 



Vdo-- 



stellt nun das arithmetische Mittel derjenigen Werte dar, 
die V auf der Kugelflache JB annimmt (iiber den Begriff 
des arithmetischen Mittels einer Funktion auf einem Kreise 
vgl. S. 9192, und analog ist der Begriff fur eine Kugel 
zu bilden). Man kann dalier die Gleichung (4) so aus- 
sprechen: 

Das arithmetische Mittel der Werte, welche das 
Potential beliebiger Massen auf einer Kugelflache 
vom Eadius R annimmt, ist gleich demWert, den 
das Potential der auBerhalb der Kugel liegenden 
Teile der Massen im Kugelmittelpunkte hat, ver- 
mehrt urn den Quotienten aus der Gesamtmasse 
der innerhalb der Kugel liegenden Massenteile und 
dem Kugelradius. 

Satz 2. Vert des iiber eine beliebige geschlossene 
Flache erstreckten Integrals -*jr do ' 



Es sei P ein Punkt der geschlossenen TlSche F, Q f 
ein Punkt des AuBenraums, Q ein Pnnkt des Innenraums 
dieser Flache, und es werde der Abstand P Q' mit #', der 
Abstand PQ mit (> bezeichnet. Ferner seien in ver- 
schiedenen Punkten Q r wirksame Massen \A! , ebenso in 
verschiedenen Punkten Q die Massen /u konzentriert. Die 
Werte, die die Potentiale dieser Massen in P haben, seien 
V a , resp. Vt, so ist 

r.-Bf , F.- 2 i. 

Differentiiert man naeh der aufieren Normale N von 2* in 
P, so wird 



_ 

8N , 



Kap. 1. Einige allgemeine Satze uber das Potential vonMassen. 217 
und (lurch Integration iiber F folgt 



(6) 



Nun 1st [vgl. Teil I, S. 153154] 

a-L " 

g' cos (?', N) g __ 




falls als Eichtung von ^' die Bichtung von Q r nach P bin, 
als Richtung von Q die von 6 naoh P tin genommen wird, 
und nach einer Formel von GauB, die in Teil I, 8.70 
abgeleitet ist, ist 



fraow( 9 ',N) ^ Q ^ ff 



Mithin gehen die Gleichungen (6) in folgende iiber: 



d.tu Satz: Piir das Potential Fvon Massen, die ganz 
auBerhalb der geschlossenen Fl^che F liegen, hat 

das tiber F erstreckte Integral / -j^-do den Wert 



Null, wahrend ftir Massen, die innerhalb F liegen^ 
jenes Integral den Wert 4^mal der Gresamt- 
masse hat. 

DaB der Beweis auch gilt, wenn an Stelle einzehxer 
Massenpunkte rSumliche oder auf Flachen ausgebreitete 
Massen treten, l&fit sich genau so wie bei Satz 1 zeigen. 
Die r&umlichen Massen konnen anch bis an F heranreichen. 
Dagegen ist der Fall von Massen, die auf F selbst aus- 



218 IV. Die Eandwerfcaufgaben fiir beliebige Flachen. 
gebreitet sind ; ausdriieklich auszuschliefien, da fur diese 
r-Tr in den Punkten von F zwei verschiedene Werte hat. 



Wird in dem obigen Resultat die ufiere Flachen- 
normale N dutch die innere IsTormale v ersetzt, so treten 
an Stelle der Gleichungen (7) die folgenden: 



dv 

Satz 3. Das Potential von Massen, die samtlich 
auflerhalb eines zusammenhangendenEaumes liegen, 
kann nicht in einem Teile dieses Raumes einen 
konstanten Wert und zugleieh in einem anderen 
Teile desselben einen verschiedenenWert haben. 

Beweis. Es sei T der betrachtete, von Massen freie 
Raum ; V das Potential der auSerhalb T liegenden Massen 
fiir innere Punkte von 2 1 ; ferner sei 21 der Teil von T, 
in dem V uberall den konstanten Wert G hat. Hat F 
auBerhalb 21 andere Werte als C, so ist der Ubergang zu 
diesen Werten kontinuierlich. In der Nahe der Grenz- 
flSche von 21 kann F sich nur sehr wenig von C unter- 
scheiden, und dieser Unterschied kann teils positiv, teils 
negativ sein. An 21 werden daher Teile von T stoBen, in 
denen F>C^ andere Teile, in denen V<G ist. Es sei nun 
Ti ein an 21 angrenzender Teil von 2 1 , in dem F>C r ist. 
Dann beschreibe man um einen passend gewahlten Punkt 
von 21 eine Kugel^ die ganz in Ti und Ta liegt. Ist E 
d^r Radius dieser ICugel, so hat, da die wirkenden Massen 
aufierhalb der Kugel liegen, das iiber die Kugelflache er- 
streckte Integral f/Vdo nach Satz 1 den Wert inE^C 
= CfJdo, da ja C der Wert von F im Kugelmittel- 
punkte ist; d. h. es ist das iiber die Kugelflache erstreckte 
Integral 



Die Kugelflaehe liegt nun teils in 21, und dort istF (7=0, 
teils aber liegt sie in 2^, und dort ist uberall F O r >0. 
Es kaan daher ff(V~C)do nicht =0 sein. Die An- 
nahme, dafi in 2^ 7>C sei, fuhrt also zu einem Wider- 



Kap. 1. Einige allgemeine Satze uber dasPotential vonMassen. 2 19 

spruch. Zu demselben Widerspruch wlirde die Annahme 
fiihren, daB in Tz V<C seL Es kann also keinen an 71 
grenzenden, innerhalb T liegenden Eaumteil geben, in dem 
V einen anderen Wert als C hatte. Durch Betrachtung 
der an Ta grenzenden Teile Ts von T, dann der an Tz 
grenzenden usw. kann man das Eesultat auf den ganzen 
Baum T ansdehnen. 

^In bezug auf den Eaum T sind zwei Falle zu unter- 
scheiden: 

1. Tist ein endlicher, von einer geschlossenen Plache F 
begrenzter Eaum, und die wirkenden Massen Kegen auBer- 
halb JF. 

2. T ist der auBerhalb F sioh ins Unendliche er- 
streckende Eaum, und die wirkenden Massen liegen inner- 
halb F. Im letzteren Falle kann der konstante Wert, den 
F in T haben soil, nur =0 sein, da V im Unendlichen 
verschwindet. 

Im ersteren Falle ist, damit V in T konstant sei, nur 
erforderlich, daB V in alien Punkten von F den Wert 
habe, me der folgende Satz lehrt 

Satz 4.. Falls -das Potential von Massen, die ganz 
auBerhalb der geschlossenen FlSche F oder auf JF 
liegen, in alien Punkten von F einerlei Wert hat, 
so gilt dieser Wert auch fiir die samtlichen inneren 
Punkte von F. 

Beweis. Es sei 7 das Potential von Massen, die 
ganz auBerhalb der geschlossenen Flache F oder auf der- 
selben liegen, der konstante Wert, den V in alien Punkten 
von F hat. Auf den Eaum T innerhalb F wenden wir 
den Q-reenschen Satz an [Teill, S. 96, Gi(l)1 und setzen 
darin J7=W=F C. Dann erfiffien U und W die 



. 

dingungen, unter denen der Greensche Satz abgeleitet 
und es wird 



(8) 





220 IV. Die Bandwertaufgaten fur beliebige Flachen. 

und zwar sind die dreif achen Integrate iiber den Raurn T, 
das Doppelintegral ist uber die Flache F zu erstrecken. 
Da V das Potential von Massen ist, die ganz aufierhalb T 
liegen, so ist iiberall in T A F= . Ferner ist in alien 
Punkten von F F (7=0. Somit wird 



Dies Integral ist eine Sunime von positiven Gliedern und 
kann daher nur verschwinden, wenn jeder einzelne Surn- 
mand verschwindet Es mufi daher in jedem Volumen- 
element von T 



d.h. 

(9 a) F= Const, 

sein. Fiir die unmittelbar an F liegenden Volmneneleinente 
ist aber der konstante Wert von F=C f , folglich ist iiber- 
all im Innern von F 

(9b) ' F=C'. 

Satz 5. Wenn von Massen, die sich nur innerhalb 
ernes endlichen Eaumes Toder auch ganz oder teil- 
weise auf dessenOberflSlche befinden, das Potential 
an der Grenzflache JFvon T einen konstanten Wert 
Chat, so hat das Potential in jedem Punkte P des 
gufieren Eaumes T': 

1. wenn C7 ist, ebenfalls den Wert Null; 

2. wenn G nicht =0 ist, einen zwischen C und 
Null liegenden Wert 

Beweis. 1. Es sei zunachst der konstante Wert C, 
den V an F annimmt, = . W&re in einem Punkte P von 
T' der Wert von F positiv A, so hfitte auf jeder von P 
ausgehenden Linie F in dem Punkte P den Wert A, in 



Kap. 1 Einige allgemeine Satze uber das Potential vonMassen. 22 1 

eineru anderen Punkte, der entweder auf F oder im Un- 
endlichen liegt, den Wert Null. WegeD der kontinuier- 
liclien JLnderung von F miiBten auf jeder dieser Linien 
alle Werte zwischen A und auftreten. Es miiBte daher 
auf jeder dieser Linien em in T f iiegender Punkt Q exi- 
stieren, in dem F einen positiven Wert B<A annehmen 
wtirde, und alle diese Punkte Q wurden eine geschlossene, 
ganz in T liegende ITache F\ bilden, an der F den kon- 
stanten Wert B Mtte. Nach Satz 4 miifite dann aber, da 
die wirkenden Massen aufierlialb JFi liegen ; F in jedeni 
Punkte im Innern von Fi , also auch in P den Wert B 
haben, was der Annabme widerspricht, daB F in P den 
Wert A*>B hat F kann somit in keinem Punkte von T' 
einen positiven Wert A haben. Ebenso lafit sich zeigen, 
daB F in keinem solchen Punkte P einen negativen Wert 
annehmen kann. Mithin mufi in jedem Punkte P von 
7 ' F den Wert Null haben, womit der erste Teil des 
Satzes bewiesen ist. 

2. Ist der konstante Wert G, den F an F annimmt, 
positiv, so ist in keinem Punkte P von T' V>C. Denn 
ware' der Wert J., den F in P hat, >(7, so niBte auf 
jeder von P ausgehenden Lime ein Punkt Q existieron^ in 
dem F einen Wert B annimmt, der kleiner als A, aber 
grofler als G ist. Diese Punkte Q wto*den, wie vorher, eine 
ganz in T' liegende geschlossene Flache Fi bilden, und 
nach Satz 4 miiBte daher der Wert yon F in P ebenf alls 
= J5 seinj was der zugrunde gelegten Annahme wider- 
spricht. 

Ebensowenig kann F in P einen negativen Wert A 
besitzen. Denn dann miifite auf jeder von P ausgehenden 
Linie ein Punkt Q existieren, in dem F einen Wert B 
hatte, so daB A< B<0 ware. Auch hier wiirden die 
Punkte Q eine geschlossene Flache bilden, und Satz 4 
wiirde wieder zu einem Widerspruch gegen die zugrunde 
gelegte Annahme fiihren. 

Weiter kann F in keinem im Endlichen liegenden 
Punkte P von T' den Wert Null besitzen. Denn ware 
Fp (der Wert von F im Punkte P) =0, so beschreibe man 
urn P eine Kugel mit einem Radius JS, der kleiner ist als 
der kleinste Abstand des Punktes P von der geschlossenen 
riaohe F. Ist Q ein Punkt dieser Kugel, R ihr 



222 IV. Die Bandwertaufgaben fur belie^ige Flachen. 

VQ der "Wert von V in Q, so miiBte nach Satz 1 das tiber 
die Kugelflache erstreckte Integral 

(10) 

sein. Das Integral kann aber den Wert JNtdl nur annehmen, 
wenn entweder alle F$ = sind, oder wenn VQ auf der 
Kugelflache teils positive, teils negative "Werte annehmen 
wiirde. Ware fiir alle Punkte der Kugel FQ = O, so 
miifite auch fur alle Punkte im Innern der Kugel 7=0 
sein, daher miiBte nach Satz 3 F im ganzen betrachteten 
Eaume T' = Q sein, auch an seiner Grenzflache F, was der 
Vorausseteung wide'rspricht. Ware VQ auf de* Kugel 
teils positiv, teils negativ, so gabe es in T Punkte, in 
denen F negativ ware, was nach dem Vorhergehenden 
ausgeschlossen ist. 

DaB endlich F auch in keinem Punkte P von T' den 
Wert C selbst annehmen kann, lafit sich in ahnlicher Art 
zeigen. Beschreibt man namlich urn P wieder die eben 
benutzte Kugel, so muBte das iiber die Kugelflache er- 
streckte integral 

(11) 

sein, oder es miiBte 

(lla) 

sein. Dazu miiBte aber entweder VQ C fiir alle Punkte Q 
der Kugelflache = sein, daher miiBte F C im ganzen Innern 
der Kugel verschwinden. F wiirde also in einem Teile 
von y, daher nach Satz 3 iiberall in T f dfo Wert C haben, 
was fur den sich ins Unendliche erstreckenden Raum T T 
und C f >0 unmSglich ist. Oder es miiBte, damit (11 a) 
bestehen kann, FQ G teils positive, teils negative Werte 
auf der Kugel haben, d. h. es wiirde Punkte Q in T f 
geben, fiir die F>C, was nach dem oben ErSrterten 
ausgeschlossen ist. 

Alles in allem kann also, wenn der konstante Wert C t 
den F an F hat, positiv ist, F in keinem im Endlichen 
liegenden Punkte P von T einen positiven Wert >C, 
ebensowenig einen negativen Wert oder den Wert Null 
annehmen, schlieBlich auch nicht den Wert G selbst 



Kap.l. Einige allgemeine Satze Tiber das Potential vonMassen. 223 

In alien Punkten P von T kann daher 7 nur einea 
zwischen C und liegenden Wert besitzen. 

Ganz ebenso laBt sich der Beweis fiihren, falls die 
gegebene Konstante C negativ 1st. 

Zusatz. Der erste Fall 0=0 kann nur eintreten, 
wenn die Summe aller wirkenden Massen =0 ist, der 
Fall C^O nur, wenn diese Summe nicht =0 ist. 

Beweis. Man beschreibe eine Kugel, die die Flache 
F ganz umsohlieBt. Nach Satz i wird dann das iiber die 
Kugelflache erstreckte Integral, da die Gresamtmasse M 
innerhalb der Kngel liegt, 

(12) 

worin E den Radius der Kugel bezeichnet. Ist nun (7=0 ? 
so ist V in alien Punkten aufierhalb F, also auch in alien 
Punkten der Kugelflache E gleicliNull, mithin verschwindet 
das Integral der linken Seite von (12) und daher ist 
M=Q. Ist C250, so liegen alle Werte, die V auf der 
KugelflSLche annimmt, zwischen und C. Die linke Seite 
von (12) ist daher von Null verschieden und f iir positive G 
positiv, f tir negative C negativ. M ist somit von ver- 
echieden und h,at stets das Vorzeichen von 0. 

Satz 6. In Punkten, die einen endlichen Abstand 
von der wirkenden Masse haben, kann das Poten- 
tial dieser Masse keinen extremenWert besitzen. 

Beweis. Ist 7p der Potentialwert in einem Punkte P, 
der einen endlichen Abstand von der Masse hat, beschreibt 
man ferner um P eine Kugel mit einem Eadius JS, der 
kleiner ist als der kleinste Abstand des Punktes P von 
der Masse, und ist Q ein Punkfc dieser Kugel, VQ der Wert 
von V in Q, so ist nach Satz 1 das fiber dje Kugelflache 
erstreckte Integral 

(13) 

oder 

(18a) 



224 IV. Die Kandwertautgaben for beliebige Flaclien. 

Zur Erfiillung der Grleichung (13 a) ist entweder n5tig, 
daB fur alle Punkte der Kugelflache Vq=*Vp ist, oder 
daB Vq VP auf der Kugelflache teils positive, toils 
negative Werte annimmt. Im letzteren Falle existieren 
auf der Kugel Punkte, in denen V einen groBeren, andere, 
in denen V einen kleineren Wert als in P hat; Vp kann 
daher, da dies auch fur Eugeln von beliebig kleinem 
Kadius gilt, keinen extremen Wert darstellen. Im ersteren 
Falle aber hatte V auf alien Punkten der Kugelflache jR, 
daher im ganzen Inneren (Satz 4) denselben Wert ? und 
daher mtifite nach Satz 3 V in dem ganzen Eaume, dem 
P angehi>rt, konstant sein. Auch in diesem Talle ist Vp 
kein extremer Wert. 

Extreme Werte des Potentials k<5nnen daher nur in 
Punkten der wirkenden Masse, eventuell im Unend lichen 
auftreten. Tiir Massen, die samtlich positiv sind, hat V 
uberall einen positiven Wert; das Minimum von 7, nam- 
lich der Wert ITull, findet im Unendlichen statt, das 
"n in einem Punkte der Masse. 



Kapitel 2. 

Losung der Bandwertaufgaben initials der Greenscheu 
Funktion. 

a) LSsung f iir den Innenraum T einer geschlossenen 
Flache F. 

Es sei T era endlicher, einfach zusammenliangender 
Eaum, der von der geschlossenen Flache F begrenzt wird. 
Wir wenden auf T diejenige Folgerung des Greenschen 
Satzes an, die durch die Gleichung (5), 8, 98 von Teil I 
ausgedriickt wird, indem wir fiir die Funktion U jener 
Grleichung das Potential V von Massen setzen, die auBer- 

halb T liegen, die Funktion W aber = T , wo q* den Ab- 

stand eines auBerhalb F gelegenen Punktes P' von einem 
inneren Punkte von T bezeichnet. Beide Funktionen 
genugen dann in T den Eedingungen, unter denen der 
Greensche Satz abgeleitet war; ferner ist uberall im 



Kap, 2. Losung d. Eandwertanf gaben m. d. G-reenschen Funktion. 225 



Innern von T A Z7=^F = 0, A 
der zitierten Grleichung folgt: 



, und aus 



(1) 




BN 



dV 

SN 




(JY die aufiere STormale von F). Wird aber TF== 1 g ge- 
setzt, wo Q den Abstand eines innerhalb F } also in 1 
gelegenen Punktes P von einem anderen inneren Punkte 
von T bezeichnet, so kann der Greensche Satz, da 1 (9 in 
einem Punkte von T unendlich wird, erst angewandt 
werden, wenn der Punkt P und seine 
unmittelbare Umgebung aus dem Inte- 
grationsgebiet ausgeschlossen werden. 
Die AusschlieBung erfolge durch eine 
Kugel K, deren Mittelpunkt in P und 
deren Radius d sehr klein ist. Das 
Gebiet, in das T nach Ausschlufi des 
Innern von K iibergeht, werde mit Ti 
bezeichnet In 21 ist dann Wl\g 
nebst alien seinen Ableitungen endlich und stetig. Wird 
wieder fur U das Potential F von Massen gesetzt, die 
auBerhalb T liegen, so kann die oben benutzte Folgerung 
des G-reenschen Satzes auf den Eaum T\ angewandt 
werden. Dabei ist zu beachten, daB Ti von zwei Flachen 
begrenzt wird, der Flache F und der Kugel K. Tlnter- 
scheiden wir die Flachen dadurch, daB wir mit do auch 
jetzt ein Flachenelement von F bezeichnen, ein Flaehen- 
element von JTaber mit do', so ergibt die zitierte Gleichung, 

da in 21 A C r =JF = 0, A TF= 



Fig. 13 



4/(4KdW/(4-{^-- 

An der Kugel K ist ^ = d und d </= <5 2 d a , "wo d w das 
Flaoheuelement einer Kugel vom Radius 1 bedeutet. Ferner 
Wangerin, Theorie des Potentials U. 15 



226 IV. Die Randwertaufgaben fur beUebige Flacken. 

1st dort, da N die. aufiere Normale des Integrationsraums, 
mithin die innere Normale von K bezeichnet, 




Daher ist der zweite Summand der rechten Seite von (2) 





und die Integration ist iiber eine Kugel voin Radius 1 zu 
erstrecken. Addiert und subtrahiert man unter dem In- 
tegral Vp, d. i. den Wert, den V im Mittelpimfcte P der 
Kngel hat, so wird das Integral (2 a): 




Vp hat fttr alle d CD den gleichen Wert; daher wird der 
erste Summand von (2b): Fp//dw==4^ V P . Weiter wird, 
falls man 6 immer mehr verkleinert, F ?aB( j Vp beliebig 

klein wegen der kontinuierlichen AnderungvonF;[-r ) 

\PQ/Q**3 

ist endlich, Daher wird der zweite Summand von (2b), 
wenn 3 sioh beliebig der nEhert, beliebig klein, d. h. 
es wird 



(2c) 



und Gleichung (2) geht fiir den Grenzfall <J = in fol- 
gende liber: 





Diese Gleichung gilt fiir beliebige innere Punkte P von T. 



Kap. 2. L5sraig d. Randwertauf gaben m. d. GTeenschen Fnnktaon. 227 

Aus (3) wlirde sich also der Wert ergebeu, den 7 in irgend- 
einem rnneren Pnnkte von T annimmt, falls die Werte voii 

d V 
Fund j?j=. an der Flache JFgegeben sind. 

Es soil nunmehr die Forderung fortgebracht werden, 
dafi zur Bestimmung von Vp neben V auch -. an F ge- 

gebcn sein soil. Zu dem Zwecke betrachten wir eine 
Funktion 6?, die innerhalb des Raumes T der Laplace- 
echen Gleichung J(?=0 geniigt, die ferner auoh alle 
librigen charakteristischen Eigenschaften des Potentials (fur 
Punkte aufierhalb der Masse) besitzt, und die an F den Wert 
1 1 Q annimmt. [1 1 Q selbst hat diese Eigenschaften nicht, da 
es im Punkte P nebst semen Ableitungen unendlich groB 
wird.] Man kann dann die zugninde gelegte Folgerung 
des Greenschen Satzes auf den Raum T anwenden, indem 
man 17 F, TF= G setzt, und erhaltr 

Addiert man die mit l|4jr multiplizierte Gleiohnng (4) 
zu (3) nnd beachtet, daB fur alle Punkte von F G = 
ist^ so ergibt sich: 



F ~F~ 

Die Funktion 

(6) P =G-A 

heiBt die Greensche Funktion des Baumes T, der PunktP ? 
von dem aus gerechnet wird, der Pol der Greenschen. 
Funktion. Diese hat f iir alle Punkte von T die charakte- 
ristischen Eigenschaften des Potentials, mit Ausnahme des 
Pols, wo sie unendlich wird, und sie verschwindet ffir 
Punkte der GrenzflSche von T. 1st f iir eine beliebige 
Lage des Pols P der "Wert von p bekannt, so erhalt man 

15* 



228 *V. Die Eandwertaufgaben fur beliebige Fi&chen. 

mittels (5) den Wert, den V in P annimmt, falls nur die 
Werte von V an der Grenzflache F von T gegeben sind. 
Durch (5) ist also die Losung der Bandwertaufgabe fiir 
den Eaum T auf die Kenntnis der Greenschen Funktion 
dieses Eaumes zuruckgefiihrt. 

Zusatz. Der Einfachheit halber war angenommen, 
dafi T ein einf ach zusammenhangender, von einer einzigen 
geschlossenen Flache F begrenzter Eaum sei. Das Eesultat 
lafit sich obne weiteres auf einen Eaum T ausdehnen, der 
innerhalb F, aber aufierhalb der Flachen Fi , F* liegt, die 
ihrerseits beide ganz innerhalb F gelegen sind. Derm der 
Greensche Satz und seine Folgerungen gelten auch fiir 
einen solchen Eaum. In diesem Falle muJB nur G an jeder 
der Flachen F 9 JFi , JPa den "Wert 1 1 Q annehmen, tind die 
Integration in (5) ist iiber die s&ntlichen Flachen F,Fi, JRs 
zu erstrecfcen. 

Die Zahl der Flachen Fi , F* kann eine beliebige 
ohne daB sich an der Argumentation etwas andert. 



Vj LSsung fiir den Aufienraum einer geschlossenen 
Flache F. 

Der Greensche Satz und seine Folgerungen gelten 
nicht nur fiir den endlichen Eaum T, der von der ge- 
schlossenen Flache F begrenzt wird, sondern auch fiir den 
Eaum T', der sich aufierhalb F oder auch auBerhalb 
mehrerer geschlossener Flachen JF, .Fi,.., von denen jeae 
ganz auBerhalb der anderen liegt, ins Unendliche erstreckt, 
falls nur U und W in T' die fiir die Anwendung des 
Greenschen Satzes erforderlichen Eigenschaften besitzen, 
und falls auJJerdem U und W im Unendlichen sich so 
verhalten, wie Potentiale von Massen, die ganz iin End- 
lichen liegen. 

Um das zu zeigen, betrachten wir zunachst nicht den 
unendlichen Eaum T' y sondern einen endlichen Eaum 21', 
der auBen von einer Kugel K mit sehr grofiem Eadius E 
begrenzt wird, die die Flachen F,Fi,.. ganz umschlieBt 
Auf diesen endlichen Eaum ist der Greensche Satz ohne 
weiteres anzuwenden, und die darin auftretenden Ober- 
flachenintegrale sind auBer iiber die Flachen -F,jFi ; .. noch 



Kap. 2. Losung d. Randwertauf gaben m. d. GreenschenFuaktion. 229 

iiber die Kugel K zu erstrecken. In dem liber K er- 
streckten Integral 



ist nun do = R*d(o, wo da> das Flachenelement einer 
Kugel vom Eadius 1 ist; ferner ist 



-- 

wo e und ei GrSfien sind, die mit wachsendem R immer 
kleiner warden und fiir jR = oo verschwinden, wahrend C 
und d endliche, von R unabhangige GroBen darstellen. 
Denn es miissen lim (B U) und lim (R W) fiir JS = c 
endlich bleiben. Desgleichen sind, wenn c, d andere end- 
liche, von R unabhangige Gr5Ben bezeichnen, e' und e' 
GrSfien, die mit wachsendem R beliebig klein werdeu: 



da lim T-B 8 -= J und daher auch lim ( JB 2 ^-=^J , sowie 



fiir JS = oo endlich bleiben miissen (vgLTeill, 
3841). Mithin wird das Integral (7): 



(7 a) 



man nun den Kaum Ti in T' ubergehen, indem man 

R iiber alle Grenzen w^-chsen lafit, so wird = , wah- 

1 * 

rend der Faktor von endlich bleibt, also verschwindet 
Ji 

das uber die Kugel K erstreckte Integral, es bleiben nur 
die iiber die endlichen Flachen F, Fi , . . erstreckten iibrig. 
Nunmehr konnen wir auf den Eaum T' die Folgerung 
des Greenschen Satzes genau ebenso anwenden wie vor- 
her in a) auf den Eaum T und erhalten fiir T r analoge 



280 IV* Die EandwertaTifgaben ftLr beliebige Machefc. 

Kesultate. 1st 7 das Potential von Massen, die ganz aufier- 
halb T', d. h. innerhalb der geschlossenen Plachen F, Ft , . . 
liegen, ist ferner P* irgendein Punkt von T', Vp> der Wert, 
den V in P annimmt, $' der Abstand des Punktes P' von 
einem Punkte einer der Grenzflachen F,F,.., so gilt fur 
jeden Punkt P' von T' die zu (3) analogs Gleichung 



(8a) Vr = -J- 




do, 



worin die Integration uber alle Grenzsflachen F,Fi } ., von 
T' zu erstrecken ist, wahrend v die innere Norm ale der 
betreffenden Plache bezeichnet. Denn in dem Greenschen 
Satze bezeichnete N die anBere Normale des Integrations- 
ranms, und das ist die innere Noraale von F, resp. JFi , . . . 
1st nun fur den Raum T' eine Funktion G' bekannt, die 
in T aUe charakteristischen Eigenschaften des Potentials 
(auch die des Verschwindens im Unendlichen) besitzt, und 
die an jeder der Plachen F,Fi,.. denWert 1 1 p' annimmt, 
so ist 



wobei die Integration iiber dieselben Flaohen zu erstrecken 
ist wie in (3a). Aus (3 a) und (4 a) folgt 



wo 
(6a) 



die Greensohe Punktion fiir den Eaum T ist, P r deren 
Pol. ' hat fur den Eaum T dieselben Eigenschaften, 
die vorher f iir den Eaum T hatte, und dazu die Eigen- 
schaft, im Unendlichen so zu verschwinden, daB 



limr' 

IT 1 . rS= O 6 

endlich ist 



Kap. 2. Lfisung d. Randwertauf gaben m. d. GTeenschen Funktioa. 23 1 

c) Die zweite Eandwertauf gabe und die zweite 
Greensche Funktion. 

"Wir betrachten zunachst den Raum T', der sich auBer- 
halb der Flachen F,Fi,.. ins Unendliche erstreckt, nehmen 
aber an Stelle der Funktion G' von Nr. b) eine andere 
Funktion (?', die, wie G f , alle charakteristischen Eigen- 
echaften des Potentials besitzt, aber die Eigenschaft hat, 



daB an den Flachen F,Fi t .. -^- gleich -?*- wird. (p> 

haben dieselbe Bedeutung wie in b), ebeneo weiterbin 7.) 
Auch iir diese Funktion gilt die Gleiclrung(4a), d,L es ist 



Mnltipliziert man diese Gleichnng mit I|4w, addiert sie 
dann znr Gleichung (3 a) von b) xind beachtet^ daB an den 
Flachen JF,J?1 } .. 



dv dv 
wird, so folgt 



Die Funktion 
(6b) 

heifit die zweite Greensche Funktion des Eaumes T f und 
hat die gleichen Eigenschaften wie vorher V? nur ' w * r d 
an den GrenzflSchen von T die normale Ableitung von f 
gleich Null, nicht diese Funktion selbst Die Gleichung (5 b) 
18st die Aufgabe, fiir den Eaum T 1 eine Potentialf unktion 
zu bestimmen, falls deren normale Ableitungen an den 
Grenzflachen von T 1 gegeben sind, und falls fur beliebige 
Punkte P* von T' ^e zweite Greensohe Funktion be- 
kannt ist. 



232 IV. Die K-andwertaufgaben fur beliebige Flachen. 

Fiir den Innenraum T der geschlossenen Flache F mufi 
die zweite Randwertaufgabe und ebenso auch die Defini- 
tion der zweiten Greenschen Funktion etwas modifiziert 
werden. 1st V eine Potentialfunktion von T, so kann man 
V ansehen als das Potential von Massen, die ganz auBer- 
halb F liegen ; fur jecle solche Funktion V ist aber nach 
dem Satze2 des ersten Kapitels [S.217, erste Gleichung (7)] 




(N die SLuBere Normale von F). Soil daher der Wert von 
V fiir Punkte von T aus den TTerten bestimmt werden, 

die -r-rr=. an F annimmt. so diirfen diese Werte nicht be- 

o N 

liebig gewahfe werden, vielmehr sind nur solche "Werte zu- 
lassig, die der Gleichung (8) geniigen. Ist das nicht der 

Fall, sondern ist ^=. an F gleich einer beliebig gegebenen 



(endlichen und kontinuierlichen) Funktion f der Koordinaten 
der Punkte von F , so muB man die zweite Randwertauf- 
gabe anders fassen, namlicli so: An F soil 



SN 

sein, vro G eine nooh zu bestimmende Koustaate ist. Gibt 
man dieser den Wert 



so isfc die Gleichung (8) erf tillt. 

Sucht man nun fftr T eine Funktion G, die alle 
charakteristischen Eigenschaften des Potentials hat, so mufl 
auch diese der Gleichung (8) geniigen, d. h. es muB 



Kap.2, L6sungd.Randwertaufgabettm.d.GreenschenFunktion. 233 
sein. "Wiirde man verlangen, dafi an F 



SN 



wird, wo Q den. Abstand eines inneren Punktes P von T 
von dem Flaohenelement do bezeichnet, so wiirde die 
Gleichung (8 a) nicht erfiillt; denn es ist (vgl. Teil I 
S.70 und S. 153 154) 



4*. 



da Q von einem inneren Punkte ausgeht. Damit (8 a) er- 
fiillt wird, definieren wir daher f iir 9en Innenraum T von 
-F die Funktion G dadurch, daB sie in F alle charakte- 
ristischen Eigenschaften des Potentials besitzt, und daB an 
der G-renzflache F von T 




wird, wo K eine noch zu bestimmende Konstante ist. Damit 
die Gleichung (8 a) erfiillt wird, muB 

(9a) = + ^ 

sein, falls F den Flacheninhalt der Flaohe F bezeichnet 
Fiir die Funktion G gilt dieselbe Gleichung, wie fur G 
[Gl.(4), 8.227], d.h. es ist 



Aus (4 c) und der Q-leichung (3), die ja fiir unsern Eaum T 
gilt, f olgt, da fiir alle Punkte von F die Gleichung (9) gilt: 



234 IV. Die Bandwertanfgaben fur "beliebige F&chea. 



Welter ist der Wert des Integrals 

Vdo 



von der Lage des Punktes P nnabh&agig, ist also, wenn P 
seine Lage JLndert, konstant; allerdings ist der Wert dieeer 
Konstante unbekannt, da die Werte von V an F nicht 
gegeben sind. Wird diese Konstante mit Ci bezeichnet, 
so wird 

(10a) V *-*~ 

WO 

(11) @p= 

die zweite Greensche Fnnktion f tir den Innenraum 
I von F ist Durch (10 a) ist V fttr alle Punkte P von 

T, falls -^jj. an F gegeben und p bekannt ist, bis auf 



eine additive Konstante bestimmt. 

Bemerkung. Bei der Behandlung der zweiten Rand- 
wertaufgabe fiir den AuBen- und Innenraum einer Kugel 
[s. S. 123 ft] trat derselbe Unterschied in der Fassung der 
Aufgabe hervor, ebenso die Modifikation in der Definition 
der zweiten Greenschen Funktion fiir den Innenraum der 
Kugel (s. S. 128). 

d) Eigenschaften der Greenschen Funktion. 

Die erste Greensche Funktion fiir den Innenraum T 
einer geschlossenen Flache F, 



hSngt, wie ^, sowohl von den Koordinaten des Pols P ab^ 
als von den Koordinaten des Punktes Q, ftir den der Wert 



Kap.2, Ix5smigd.Eandwertaufgabenm,d.Greeiisclienrunttion. 235 

von , resp. G gesucht wird, des Aufpunktes. Das soil 
dadurch ausgedriickt werden, dafi zu 6 und als Index 
der Pol P hinzugesetzt wird, als Argument der Punkt 
Q) p(Q) und O P (Q) sollen also die Werte bezeichnen, 
die die Funktionen und G in Q annehmen, falls P der 
Pol ist. Dann gilt der Satz: 

(12) #P ($) = # OP) > p(Q)^Q(P)) 

d. h. ebenso wie Q = PQ sind die Funktionen und G 
symmetrische Funktionen der Koordinaten der Punkte P 
und Q. 

Beweis. Man beschreibe umP 
sowohl, als um Q je eine Kugel mit 
den sehr kleinen Radien <5, d . Auf 
den Raum Ta, der aus T entsteht, 
wenn man das Innere dieser Kugeln 
K y jEi aus T ausschlieflt, wende man 
die schon oben benutzte Folgerung 
des Greenschen Satzes [Teill, S.98, 
^ n """ an, indem man 



, 




(13) 



setzt, wo -4 einen beliebigen Punkt von 2i bezeichnet, ^ seinen 
Abstand von P, J? seinen Abstand von Q. Diese Funk- 
tionen U,W haben in T 3 alle fiir die Giiliigkeit des 
Greenschen Satzes erforderlichen Eigenschaften, ferner 
ist in T 2 JZ7=0, JTF=0. Die in unserer Formel auf- 
tretenden Eaumintegrale verschwinden daher; die Ober- 
Mchenintegrale sind zu erstrecken: 1. iiber die Flache J, 

2. liber die Oberflache der um P beschriebenen Kugel K , 

3. iiber die Flache der um Q beschriebenen Kugel JEi. 
Von diesen drei Integralen wird das erste =0, da an F 
die Funktionen U und W verschwinden, Es mufi daher 
die Summe aus dem zweiten und dritten Integral ver- 
schwinden. 

In dem zweiten Integral ist do~3* dw, wo wieder 
rfoi das FlSchenelement einer Kugel vom Radius 1 be- 
jseichnet, ferner ist dort ^^d, und N, die Sufiere Nonnale 



236 IV. Die Eandwertaufgaben fur beliebige Flachen. 

des Integrationsraums, hat die Richtung des abnehmenden 
Jenes zweite Integral wird somit 




worin .4 jetzt einen Puiikt von AT bezeichnet. Lafit man 
mm. d immer kleiner werden, so wird <5*= -r-d s =d be- 

liebig klein, 4^= ^ =1 



(ra(A) =r und - x - endlich bleiben. Im Grrenss:- 
^ x ' E OQ 

fall <?=*=Q geht zugleich der Punkt A in P, ^ in den Ab- 
stand QP iiber. Die Grenze des Integrals (14) fiir 5 = 
ist daher, da /fdas lx ist: 



(14a) 

Ebenso wird der G-renzwert des dritten Integrals f iir di = 
(14b) 



dem, was oben bemerkt, muB die Summe der Aus- 
driicke (14a) und (14b) versehwinden, d. h. es ist 



Der Beweis gilt ohne jede Anderung auch fiir die 
erste Greensche Funktion des AuBenraumes T' von T, 
ebenso des Aufienraumes mehrerer FlSchen. Er ]SJBt sioh 
leicht auch auf die zweite Greensche Funktion ausdehnen. 



Kap.2. Losuiigd.Raiidwertaufgabenin.d.GreensclienFiinktioii. 237 
e) Existenz der Greenschen Funktion. 

Mif dem Vorstehenden 1st die Auffindung der Werte 
von V fur irgendeinen Raum, falls die Werte von V oder 

von g-jy- an der oder den Grenzflachen dieses Raumes ge- 



geben sind, zuriickgefiihrt auf die Ermitteiung der ersten, 
reap, der zweiten Greenschen Fnnktion dieses Ramnes! 
Fur manche einfachen Fiille, wie fur RSume, die von 
Kugeln begrenzt sind, kann man diese Funktionen ermitteln 
(vgLAbschmttll). Es fragt sich nun,ob diese Greenschen 
Funktionen fur jeden von einer oder mehreren Flachen 
begrenzten endlichen oder sich ins TJnendliche erstreeken- 
den Raum existieren. Kann man ihre Existenz nachweisen, 
so ist durch die vorstehenden Betrachtungen gezeigt, dafJ 
fiir den betreffenden Raum eine Potentialfunktion (liber 
deren Definition vgl. 8. 213) durch ihre Werte an den 
Grenzflachen des Raumes oder durch die Werte ihrer nor- 
raalen Ableitungen an diesen Flachen vSllig bestimmt ist 
(im letzteren Falle f tir endliche Raume bis auf eine addi- 
tive Konstante). 

DieExistenz der erstenGreenschenFunktion hatGreen 
lediglich durch ihre physikalische Bedeutung zu begrunden 
gesucht. Diese ist fiir den Innenraum T einer geschlossenen 
Flache F folgende: Man denke F als inner e Grenze eines 
Leiters, der auBerhalb F sich ins TJnendliche erstreekt, oder 
auch eines schalenformigen Leiters, der mit derErde leitend 
verbunden ist. Man denke sich ferner in dem innerhalb I 
gegebenen PunktP die elektrische Masse 1 konzentriert 
Diese wirkt influenzierend auf den Letter, die der Masse 
in P gleichnamige Elektrizitat -wird zur Erde abgeleitet, 
die entgegengesetzte verteilt sich auf F. Das Potential 
dieser Verteilung sei U, und zwar U a fiir auiJere, fy fur 

innere Punkte von F. Dann muB U a -- fiir alle Punkte 

Q 

des Leiters = sein (Q der Abstand des Leiterpuuktes von 
P). Wegen der Eigenschaften des Flachenpotentials ist 

an F auch U t -- = 0, wShrend fur aUe Punkte inner- 
halb F t auch fiir den Punkt P, U t aJle charakteristischen 



238 IV. Die Randwertaulgaben ftir behebige Fladien. 

Eigenschaften des Potentials besitzt. Oi ist aber die 

Greenscbe Funktion fiir den Innenraum von F . Green 
schliefit: Existiert fiir den Leiter elektrisches Gleichgewicht, 
so existiert auch fiir den Innenraum von I die erste 
Greensche Funktion. 

Diese Argumentation lafit sich leicht auf den AuBen- 
raum von JP, sowie auf RSume, die von mehreren FlSchen 
begrenzt sind, fibertragen. Auch die Existenz der zweiten 
Greenscben Funktion lafit sich physikalisch begriinden. 



Kapitel 3. 
Das Diricliletsche Frinzip nebst Folgernngen. 

a) Das Dirichletsche Prinzip fur einen 
endlichen Raum. 

Rein analytisch ist die Existenz der Greenschen 
Funktion durch eine SchluBweise begriindet, die zuerst 
Dirichlet benutzt hat ; um fiir beuebige^Raume die 
Existenz und Eindeutigkeit der L8sung der erstenT&anT 
wertaufgabe nachzuweisen. Den Ausgangspunkt bildet die 
Bemerkung, daB die Laplacesche Gleichung A 17=0 die 
Lflsung einer Aufgabe der Variationsrechnung ist. Sucht 
man namlich fiir irgendeinen endlichen, von der ge- 
schlossenen Fl^che F begrenzten Raum T diejenige Funk- 
tion U, welche das iiber das Volumen von T erstreckte Integral 

< 

zn einem Minimum macht und dabei an der Grenzflache F 
gegebene Werte annimmt, so geniigt diese Funktion der 
Laplaceschen Gleichung. 

Beweis, Eine Funktion 7, deren Werte an F ge- 
geben sind, kann auf unendlich viele Arten so in das Innere 
fortgesetzt werden, daJJ sie dort nebst ihren Ableitungen 
iiberall endlich und stetig ist TJnter alien diesen Funk- 
tionen U soil diejenige gesucht werden, welche das Inte- 



Kap. 3. Das Diricbletsehe Prinzip nebsfc Folgerungen. 239 

gral (1) zu einem Minimum macbt. Diese Funktion sei 
V, und fiir 17=7 sei der Wert des Integrals (1)=A. Soil 



ein Minimum von I sein, so muB 

(3) I-L>0 

sein fiir alle von V verschiedenen Funktionen U. Setzt 
man insbesondere 

(4) U=V+TiW, 

wo h eine Konstante bezeichnet, W irgendeine FunktiLon 
der Koordinaten der Punkte von T, so nimmt I die 
Form an 

(5) I 
wo 



ist. Soil die Ungleichung (3) fiir alle mSglichen W und 
alle mSglichen kleinen Werte von h erfiillt werden, so muB 
Jf==0 sein. Denn wahlt man W so, daB fiir alle Punkte 

m ffW , BV , ^TT , 07 5F , 57 

von T-r und -= , ebenso -= tmd -= . -^ und -= 

Bx d x 9 dy By ' d * 8s 

das gleiche Vorzeichen haben, so bat M als Summe lauter 
positiver Q-r^Ben einen positiven Wert, 2 A M bat also das 
Vorzeicben von h und kann daber sowobl positiv, als 
negativ sein. Ferner ist fiir geniigend Meine h der ab- 
solute Wert von 2 h M grSJJer als h*N. Somit folgt aus 
(5), daB das Vorzeicben von I L. von dem Vorzeicben 
von ~h abhangt. Soil die Ungleicbung (3) fiir alle m5g- 
lichen h und alle mSglieben W erfiillt werden, so ist das 
nur m<5glicb, wenn M verschwindet. Ist umgekehrt M = , 
so ist (3) fiir alle mSglicben h und W erfmlt. Damit i 
ein Minimum von I sei> ist hiernacb erforderlicb 

(6) Jf 0. 



240 IV Die Eandwertaufgaben fur beliebige JFliichen, 

Nach dem Greensclien Satze [Teil I, S.96, GL(1)] 1st aber 

(7) X 

wo das Doppelintegral iiber die Flache JF, das dreifache 
ttber das Volumen von T zu erstrecken ist. Nun ist an 
der Flache F W=Q; denn alle in JBetracht kommenden 
Funktionen U sollen an F dieselben Werte haben, also 
auch die Funktionen V und V + hW, d. h. an F ist TP=0, 
das Oberflachenintegral in (7) verschwindet. Die Gleichung 
(6) reduziert sich daher auf 

(7 a) 

Daroit diese Bedingung fiir beliebige W erfullt werde, 
muB fur jedes Volumenelement von T JF=0 sein, denn 
man kann W so walilen, dafi es iiberall mit JV gleiches 
Vorzeichen hat, so dafi das Integral (7 a) die Summe von 
lauter positiven Sumraanden ist; nnd eine solche Summe 
kann nur = werden, wenn jeder einzelne Summand 
= wird. 

Wir haben somit gefunden: 

1. Jede Funktion Z7=F, welche I zu einem Minimum 
macht und an F gegebene Werte aimimmt, geniigt inner- 
halb des Raumes T der Gleichung J F= . 

2. Umgekehrt macht jede Funktion V y welche in T 
endlich und stetig ist, an der OberflSche gegebene Werte 
anniromt und der Laplaceschen Gleichimg JF=0 geniigt, 
das Integral I zu einem Minimum. Denn aus J F = f olgt 
Jf=0 f daher 7 Ji>0. 

3. Ferner kann man zeigen, dafi I nur ein Minimum 
besitzen kann. 

Angenommen namlich, es existierten zwei verschiedene 
Funktionen F und Fi , welch beide / zu einem Minimum 
machen, so setze man 

(8) 



Da 1 fiir U=Vi ein Minimum sein soil, so muB, falls h 
klein, W eine beliebige Funktion ist, / fiir U= 



Xap.3. DasDirichletsclie Prinzip nebst Folgerungen. 241 



also auch fur D r 7i + *SF + (l + *) fif grtfBer sein als 
fur Z7=Fi =7 + 8. Nun 1st 



~ * + 2 (1 + *) JIT+ (1+ Jk)*-W', 

wo Jf' und JF die Werte sind, in welche die Integrate 
Jf,JV(5a) far TF=S iibergehen. In (9) ist aber JfWO; 
denn fur U=V soil J=Ji ein Minimum sein, daher ist JF=0, 
also nach (7) Jf=0 fiir jedes W t auch fiir TF=S, Welter 
iet N' der Wert, den 'das Integral I fur U"=5 annimink 
(9) wird somit 



Das gilt fiir beliebige A, also auch fiir & = 0, Ah. es ist 



Soil nun 

* 

sein, so muB auch 
(10) 

sein; und zwar mufi diese Bedingnng sowohl fiir positive, 
als fiir negative Ji erfiillt werden. Letzteres ist unmoglich, 
Demnach fiihrt die Annahme, daB I aufler fiir Z7=F noch 
fiir eine andere Funktion UV + S ein Minimum wird, zu 
einem Widerspruch. I kann nur ein IMinimum besitzen. 
Das Resultat dieser Betrachtung, daB es fur den Eaum I 
stets eine und nur eine Funktion V gibt, die dort die 
charakteristischen Eigenschaften des Potentials hat {d. h. 
eine Potentialfunktion), und die an der Oberflache von T 
gegebene Werte annimmt, bezeichnet man als Dirichlet- 
sches Prinzip. 

Die Greensche Funktion ist ein spezieller Fall einer 
Potentialfunktion. 

Znsatz, Ist T der Raum innerhalb der geschlossenen 
Flache F , aber zugleich aufierhalb anderer geschlossener 
FlSchen JPajJPa,.., die ganz im Innern von F liegen, so 
gilt auch fiir diesen Fall die vorige Argumentation ohne 
Jede Anderiing. Nur miissen die Werte von V an alien 
FHchen F)F*,F*,.. gegeben sein. 

W&ngerin, Theorie del Potential* IL 16 



242 IV. Die Bandwertaufgaben fur beliebige Flachen. 

b) Ausdehnung auf E&ume, die sioh ins 
Unendliche erstrecken. 

Sind F,F } . t zwei geschlossene Flachen, deren jede 
ganz auBerhalb der anderen liegt, und bezeichnet T' den 
Eaum, der sich auBerhalb dieser Flachen ins Unendliche 
erstreckt, so kann man die Aufgabe, fiir den Eaurn I r 
eine Potentialfunktion zu bestimmen, die an den Fl&chen 
F und Fi gegebene Werte annimmt, mittelst der Methode 
der reziproken Kadien auf die analoge Aufgabe fiir end- 
liche E'aume zuriickfiihren. Man wahle als Transf ormations- 
zentrum einen Punkt im Innern von F. Durch die 
Transformation geht dann (vgl. Abschnitt II, Kap. 6) F in 
eine gesehlossene Flache ^ iiber^ der Aufienraum von F in 
den Innenrauin von $; die Mache Fi geht ihrerseits in 
eine geschlossene Elache ^ iiber, die, da Fi auBerhalb F 
lag, ganz innerhalb $ liegt, und der Innenraum von Fi geht 
in den Innenraum von 2>i iiber. Der Eaum T f geht somit 
durch die Transformation in den endlichen Eaum T iiber, 
der zwischen den FlS-chen p und $1 liegt. Fiir den Eaum T 
gilt das Dirichletsche Prinzip. Geniigt in diesem Eaume 
W~f(r,&,c>} (r,&,y sind Polarkoordinaten eines Punktes 
von T ffir als Pol) der Laplaceschen Grleichung und 
den Stetigkeitsbedingungen, so geniigt die Funktion 



der Laplaceschen Gleichung in dem reziproken Eaume T', 
wo p,#,y die Polarkoordinaten eines Punktes von T' sind, 
ebenf alls auf als Pol bezogen. Damit ferner V an den 
Flachen F,F gegebene Werte g (<$>&,<(>}, ^i(?,-^,^) an- 
nimmt, muB W so bestimmt werden, daB es an den 
Fl&chen $,$i die Werte 

E* 



annimmt Existiert in T stets eine und nur eine Funktion 
W, die alien Bedingungen des Dirichletschen Prinzips 
geniigt, so existiert auch fiir T' stets eine und nur eine 
Funktion F, die denselben Bedingungen geniigt 



Kap. 3. Das Dirichletsche Prinzip nebst Folgerungen. 243 

o) Folgerungen aus dem Dirichletschen 
Prinzip. 

a) Satz: Es lassen sich stets die Oberflaohen 
beliebig vieler begrenzter Eaume so mit Masse 
belegen, dafi das Potential dieser Massen an jeder 
Stelle einer jeden Oberflache einen vorgeschrie- 
benen Wert hat; und es ist nur immer eine solche 
Belegung mSglich. 

Beweis. F und Fi seien zwei geschlossene Machen, 
deren jede ganz auBerhalb der anderen liegt, T sei der 
Innenraum von F, 21 der Innenraum von Fi T r der 
Eaum, der sich auBerhalb F und 
Fi ins Unendliche erstreckt. g und 
#i seien die Werte, welche das 
G-esamtpotential der auf F und 
Fi verteilten Massen an diesen 
Flachen annehmen soil. Nach _ 15 

dem Dirichletschen Prinzip ist 

es stets und nur auf eine Weise mSglich: 1. eine Po- 
tentialfunktion V des Eaumes T zu bestimmen, die an^F^r 
wird; 2. ebenso eine Potentialfunktion 7i des Eaumes 21, 
die an Fi = gi wird; 1 eine Potentialfunktion V des Eau- 
mes T', die an Fi = gi und an F = g wird. Sind nun N 9 Ni 
die auBeren Nornxalen derPlachen F,Fi, v,vi ihre inneren 
Normalen, so bestimme man Jc und &i aus den Gleichungen 




/^M- I 

(11) l un _ + _-- 



wo lim den Wert bezeichnet, den die Differentialquotienten 
an den Plachen F , resp. Fi annehmen. Belegt man die 
Flache F mit Masse von der Dichtigkeit k , F*. mit Masse 
von der Dichtigkeit Si und nennt W, Wi die Potentiate 
dieser Massen, so stimmt W+Wi im ganzen Eaume mit 
derjenigen. Funktion U iiberein, die in T den Wert V 9 in 
21 den Wert Fi, in T' den Wert V hat Denn da an F 



16* 



244 IV. Die Bandwertaufgaben for beliebige Flkchen. 
so ist dort auch 




und Analoges gilt fiir die Flache Fi . Da aufierdem V so- 
wohl, als W+Wi die charakteristischen Eigenschaften des 
Potentials besitzen, so sind sie nach Abschnitt I, Kap. 9, 
Nr. c) von Teil I identisch. Mit Tc und fa sind auch. die 
gesamten auf F und Fi auszubreitenden Massen bestimmt. 

Der Beweis lafit sich sofort auf den Fall iibertragen, 
daB die Flache Fi nicht auBerhalb, sondern ganz inner- 
halb F liegt. Man braucht dann nur mit T den Eaum 
zwischen F und JFi, mit T' den Eaum auBerhalb F, mit 
TL % wie vorher, den Eaum innerhalb Ft zu bezeichnen. 
Zugleich nimmt dann V an zwei Flachen gegebene 
an, V nur an einer. 

Die Ausdehnung auf Eaume, die von mehr als 
Flachen begrenzt werden^ liegt auf der Hand. 



fl) Satz von der S-quivalenten Massentransposition. 

1. Ist in einem endlichen Eaume Teine beliebige 
Masse M verteilt, so kann man die Wirkung dieser 
Masse auf Punkte auBerhalb T dadurch ersetzen, 
daB man dieselbe Masse M auf der Oberflache F 
von T auf gewisse Weise verteilt; und es ist nur 
eine derartige Verteilung moglich. 

Es sei V a das Potential der gegebenen, in T, also 
innerhalb F liegenden Masse M fiir Punkte auBerhalb .F, 
es sei ferner W a das Potential irgendeiner auf F selbst 
ausgebreiteten Masse, ebenfalls fiir Punkte auBerhalb F. 
Soil die letztere Masse auf alle auBeren Punkte dieselbe 
Wirkung ausiiben wie die gegebene Masse, so miissen die 
Ableitungen von V a und W a iiberall die gleichen sein, 
oder es muJJ V a =*W a +C fiir alle auBeren Punkte sein, 
falls C eine Konstante bezeichnet. Im Unendlichen ver- 
schwinden V a und W a> wahrend die vorstehende Gleichung 



Kap. 3. Das Dirichletsche Prinzip nebst PolgerungeD. 245 

auch dort gilt; mithin mufi C=0, F a = TF a sein. Urn W a 
dieser Bedingung gemafi zu bestimmen, braucht W a nur an 
JFmitFfcUbereinzustimmen; dennnach demDirichletschen 
Prinzip gibt es fur den Raum T auBerhalb F nur eiae 
Potentialfunktion, die an F gegebene Werte annimmt. 
Bestimmt man sodann auch fiir den Innenraum I von F 
eine Potentialfunktion TF t , die an f dieselben Werte 
me V a annimmt, belegt dann F mit Masse von der 
Dichtigkeit 

<"> '" 



(N aufiere, v innere Normale von F), so sind W a und Wi 
die Potentiale dieser Massenbelegung fiir aufiere, rasp. 
innere Punkte^da das Flachenpotential durch (13) und 
die charakteristischenEigenschaften eindeutig bestimmt ist. 



Weiter folgt aus V a ^W a , daB auch limr F a ^ a 
fiir r = cx> sein mufi. lim(rF fl ) ist aber gleich der ge- 
gebenen Masse M, lim(rTF a ) gleich der Masse M', die 
auf F ausgebreitet ist; mithin ist M T =M. 

2. Die Wirkung von Massen, die ganz auBer- 
halb einer geschlossenen "Flache F liegen, auf 
Punkte im Innern von F laBt sich durchliie Wir- 
kung einer bellebigen auf F verteilten Masse er- 
setzen und zwar allemal nur auf eine Art. 

Beweis. Die gegebenen, auBerhalb F liegenden 
Massen M mogen fiir innere Punkte von F das Potential 
F t , fiir Punkte von F selbst das Potential "F besitzen. 
Soil eine auf F verteilte Masse M', deren Potential fiir 
innere Punkte Wi sei, auf alle inneren Punkte die gleiche 
Wirkung ausiiben wie M, so muB TF,=F t +(7 sein. G 
braucht hier nicht zu verschwinden, kann vielmehr einen be- 
liebigen Wert haben, und zwar fiir alle inneren. Punkte den 
gleichen. Eine solche Funktion Wi erhalt man, wenn man 
fiir den Raum T innerhalb F eine Funktion W % ' sucht, die 
der Laplace schen Grleichung geniigt, die charakteristischen 
Eigenschaften des Potentials besitzt und an F den WertT 
annimmt^ dunn eine zweite Funktion TF/', die denselben 
Bedingungen geniigt und an F iiberall den Wert 1 an- 



246 IV". Die Randwertaufgaben ftir beliebige Flftchea. 

nimmt Dann hat W l =WJ+ C W" die geforderten Eigen- 
schaften; und da WJ und Wt" durch obige Forderungen 
eindeutig bestimmt sind, so ist es auch Wi fur ein ge- 
gebenes C. Bestimmt man welter fur den Raum T* aufier- 
halb F ebenf alls zweiJPotentialfunktionen W a ' und W a ", 
deren erstere an FY, deren zweite an .F=l wird, und 
setzt Wa+CW a "=W a , so ward an PWi=*W a * Belegt 
man nun F mit Masse von der Dichtigkeit 

/IQ \ 1 r 

(13a) x-^h 



so sind TFa und TFi die Potentiale dieser Massenbelegung 
fiir- anfiere, resp. innere Punkte. Ferner ist nach Satz 4 
des Kapitels 1 (S.219) WJ 1 fiir alle inneren Punkte von 

BW' r 8W " 

F~l, daher lim ^ =s . Dagegen ist lim ^ ^ nicht 

= 0, da nach Satz 5 des ersten Kapitels (S.220) TF/ fiir 
auflere Punkte einen zwischen 1 und liegenden Wert 
hat Daher hangt der Wert von x von C ab. Fiir jeden 
Wert von C ergibt sich ein bestimmtes x, mit C andert x 
seinen Wert, damit andert auch die Masse M f , die anf I 
verteilt werden muB, ihren Wert Je nach der Wahl von 
G kann M r beliebige Werte annehmen. 

3. Beispiele fiir die aquivalente Massentrans- 
position haben wir bei beliebigen Massen, die von Kugeln 
b^renzt werden, durchgefiihrt (s.S. 110112). Analoge Bei- 
spiele fiir Massen, die von Rotationsellipsoiden begrenzt 
sind, wiirden sich mittels der im Abschnitt III aufgestell- 
ten Formeln durchfiihren lassen. Ein weiteres Beispiel 
findet sich in Teil I, S. 221224. Im allgemeinen ist die 
wirkliche ErmitteJung der Dichtigkeit der auf F zu ver- 
teilenden Masse nicht niSglich; denn das Dirichletsche 
Prinzip lehrt nur die Esistenz der oben mit "FFbezeich- 
neten Funktionen, gibt aber kein Mittel, diese Funktionen 
wirklich zu bilden. In einem Falle kann man jene 
Dichtigkeit vollstandig bestimmen, nSmlich ^ann, wenn 
innerhalb einer geschlossenen FlSche F rSumliche Massen 



Kap. 3, Das Dirichletsche Prinzip nebst Folgertmgen. 247 

derart verteilt sind, dafi ihr Potential V an F einen kon- 
stanten Wert hat, d. h. falls F erne Niveauflache jener 
Massen 1st. 

Es bezeichne wieder T den Innenraum, T l den AuBen- 
raurn von F . Das Potential -der in T enthaltenen r&uni- 
lichen Massen M sei^fiir auBere Punkte V, sein konstanter 
Wert an F selbst 7=C. Auf den Eaum T wenden wir 
die Folgerung des Greenschen Satzes an, die durch 
Gleicliung(5), 8. 98 des ersten Tells ausgedruckt wird [die 
Anwendung des Greenschen Satzes anf den ins Unend- 
liche sich erstreckenden Kaum T ist S. 228fLgerechtfertigt], 

indem wir D"=F, W= setzen, wo Q den Abstand eines 

Punktes P' von T 1 von dem in T liegenden Punkte 
bezeichnet. Diese Tunktionen haben die fiir die Giiltig- 
keit des Greenschen Satzes erforderlichen Eigenschaften, 
zugleich ist in T' JC7=0 ; JTf=0. Beachten wir noch, 
daB im Greenschen Satze N die fiufiere Normale des 
Integrationsranms bezeichnet, also die innere Iformale von 
F, und bezeichnen letztere mit v 9 so ergibt die zitierte 
Gleichung 



(14) 



Nnn hat an F V den konstanten Wert C, Gleichung (14) 
kann also so geschrieben werden 





(14a) 

F 

Ferner ist, wie bei Satz 2 des ersten Kapitels, 





(Die Ersetznng der in jenem Satze auf tretenden aoBeren 



248 IV. Die Randwertaufgabea fur beliebige Slacken. 

Normale von F durch die innere bringt die Anderung des 
Vorzeichens mit sich.) Aus (14 a) folgt daher 

37do 



Das linksstehende Integral ist nichts anderes als der Wert 
des Potentials W, den die mit Masse von der Diehtigkeit 

i 3V 



belegte FlSche F im Punkte hat; und da man dieselbe 
Gleichung (15) erhalt, wenn man ^ von irgendeinem an- 
deren Punkte des Eaumes T rechnet, so hat W f iir be- 
liebige Punkte von T denselben konstanten Wert, mit- 
hin auch f iir die Oberflache. Also hat das Potential W 
der mit Masse von der Dichtigfceit x belegten FlSche F in 
alien Punkten von F denselben konstanten Wert wie das 
Potential V der gegebenen Masse. Die gesamte auf F 
ausgebreitete Masse ist 



Andererseits ist nach dem Satze 2 des ersten Kapitels 
(S. 216), da die Massen if, deren Potential V ist, ganz 
innerhalb F liegen, 



mithin 

(17) M'=M. 

Ferner gilt fiir jeden Punkt P' des Kauines T die Q-lei- 
chung (3a) S.230: 




worin V?, den Wert bezeichnet, da das Potential V der 



Eap. 3. Das Dirichletsche Prinzip nebst Folgerungen. 

r&umlichen Massen M in P f hat, Q' den Abstand des 
Punktes P' von do. An der Flache F ist aber F=0, 
daher 




(vgl. die Entwicklung S. 216217). Mithin wird 
(18 a) Fp- 




d. h. gleich dem Werte, den das Potential W der auf F 
mit der Dichtigkeit K ausgebreiteten Masse M '= Jf in P' 
hat* Die beiden Potentiale F und W haben also in alien 
Punkten P' von 2" gleiche "Werte, und zugleich sind die 
zu beiden Potentialen gehorigen Massen gleioh. 



y) Anwendung auf das elektrische Gleiohgewicht 
eines Systems von Leitern. 

1. Einer Anzahl von isoliert aufgestellten Leitern seien 
gegebene Mengen freier Elektrizitat mitgeteilt Es soil 
untersucht werden, ob unter ihrer gegenseitigen Ein- 
wirkung und unter dem EinfluB gegebener Sufierer elek- 
trischer Krafte stets elektrisches Gleichgewicht m5g- 
lich ist. 

Der Einfachheit halber nehmen wir zwei Leiter als 
gegeben an ; die InnenrSume beider bezeichnen wir mit T 
und 21, ihre Oberflachen mit F und JFi, wShrend der 
Eaum, der sich aufierhalb F und JPi ins Unendliche er- 
streckt, T sei (s. Fig. 15, S. 243). Das Gesamtpotefntial 
der auf den Oberflachen beider Loiter verteilten elektri- 
schen Massen sei F, seine Werte an F und Fi seien resp. F 
und Fi . Ferner sei U das Potential der gegebenen aufieren 
E>afte,_die in Jin 2" gelegenen) Nichfieitern ihren Sitz 
haben, U und "Si seien die Werte von U an F und JPi . 



250 FT* Die Eandwertatu%aben fur beliebige Machen. 

Ztun elektrischen Gleichgewicht 1st erforderlich, daB 

an der Flache F 
(19) 

an der Flache 
(19 a) Ui 

ist, wo c , ci gewisse, vorlaufig noch unbekannte Konstante 
bezeichnen. Bind namlich die Bedingungen (19) und (19a) 
erfiillt, so tat das Gesamtpotential U+V aner wirkenden 
Krafte nach Satz 4 des ersten Kapitels (s. S. 219) in alien 
Punkten von T den Wert c 9 in alien Punkten von Ti den 
Wert ci . Um die Funktion V zu ermitteln, die den vor- 
stehenden Bedingungen (19) und (19 a) geniigt, verfahren 
wir folgendermafien. Wir bestimmen 1) zwei solche Be- 
legungen der Flachen F,Fi, daB das Gesamtpotential W 
beider Belegungen an F den Wert f7, an ^ den Wert 
Ui hat, was nach dem Satze a (8. 243) stets und nur 
auf eine Art mftglich ist; m und mi seien die dazu auf F 9 
resp. Fi zu verteilenden elektrischen Massen. 2) Ebenso 
bestimmen wir zwei andere Belegungen der Flacnen F 9 JPi 
derart, daB deren Gesamtpotential W f an F den Wert 1, 
an Fi den Wert hat ; die hierzu auf F und Fi zu ver- 
teilenden elektrischen Massen seien m' 9 mi. 3) Bestimmen 
wir zwei weitere Belegungen jener Flachen so, daB ihr 
Gesamtpotential W" an F den Wert ?% an F den Wert 1 
hat; die Massen dieser Belegungen seien m" und W* 
Dann geniigt die Funktion 

(20) V-*W+cW+CLW" 

den Bedingungen (19) und (19 a) und besitzt alle Eigen- 
schaften von SlSchenpotentialen. Da ferner die Massen 
bekannt sind, die auf F und F zu verteilen sind, um die 
Teilpotentiale W 9 W 9 W" hervorzubringen, so ist auch die 
fur V erforderliche Masse bekannt ; sic ist m + c w!+ c\ tn" 
fiir F } mi + cmi + cimi." fiir Ji. Sind nun M und ML die 
Massen freier Elektrizitat, die den beiden Leitern mitge- 
teilt sind ? so ist 

(21) ** *=+cm' +cm", 



Kap. 3. Das Dirichletsche Prinzip nebst Folgernngen 251 

denn durch Influenz entsteht gleichviel positive und ne- 
gative Elektrizitat, die gesamte auf der Oberflache jedes 
Leiters vorhandene elektrische Masse ist daher gleich der 
Masse der ihm mitgeteilten freien Elektrizitat. Durch (21) 
sind auch die Konstanten c und e\ bestimmt, da nach 
Satz a sowohl W, W Wi", als m,m',m" und TI,WI',WI" 
eindeutig bestimmt, M und Mi aber gegeben sind. Man 
sieht daher, daB stets elektrisches Gleichgewicht vorhanden 
ist, daB es aber nur einen derartigen Grleichgemehts- 
zustand gibt. 

Die Dichtigkeit der auf F und J?i zu verteilenden 
Massen ergibt sich aus V mittels der bekannten, schon 
wiederholt angewandten Formel. 

2. Es soil gezeigt werden, daB die elektrische Ver- 
teilung auf einem schalenf5rmigen Leiter die gleiche ist, 
wie auf einem vollen, falls die wirkenden auBeren Krafte 
ihren Sitz im Aiiflenraum haben, 

Ein schalenfOrmiger Leiter sei aufien begrenzt von der 
Flache F, innen von Fi , wobei F\ ganz innerhalb F liegt. 
Unter der Wirkung auBerer gegebener 
Krafte, deren Potential U sei, kSnnte 
sich f reie Elektrizitat auf beiden G-renz- 
flachen ausbreiten. Es sei V das Poten- 
tial der auf J, Fi das der auf It 
ausgebreiteten Elektrizitat Dann ist 
ztun elektrischen Q-leichgewicht er- 
forderlich, daB im Lmern der Schale, 
also fiir alle Punkte zwischen F und jPi, U+V+Vi 
konstant ist. Ist aber U+V+V* an Fi konstant, so 
Hat es im ganzen Innenranm von Fi denselben kon- 
etanten Wert. Da U+V+Vi sowohl innerhalb A, als 
zwischen F und j?i konstant ist, muB, wenn NL die aufiere, 
vi die innere Normale von Fi bezeichnet, 

(22) 

v * 




sein, also auch 

, _ 

+ 0. 



252 IV. Die Randwertatrfgaben fiir beliebige F&chen. 

Da die zu U und V gehorigen Massen aufierhalb F\ liegen, 
ist U+V an -Pi kontinuierlich, d. h. 



Mithin iat fiir alle Punkte von F 



Nun ist aber 



d. i. gleich der Dichtigkeit der Masse, mit der Jfi zu belegen 
ist, urn das Potential Fi zu ergeben. Nach (23 a) ist xi iiber- 
all anJi=0; d.h. auf Ft ist gar keine freie Elektrizitat 
vorhanden, Daraus folgt, dafi Ft iiberall verschwindet. Auf 
einem schalenf 5rmigen Leiter verteilt sich die Elektrizitat 
ebenso^ als ware er massiv. 

3. Anders verhalt sich die Sache, wenn die elektrischen 
Krafte, deren Potential U ist, im Hohlraum der Schale, 
also im Innern von Fi ihren Sitz haben. Zwar ist auch 
hier U+F+Fifiir alle Punkte der Schale konstant; aber die 
weiteren Schliisse werden hinfallig. Hier fuhrt folgende 
"Oberlegung zum ZieL Man kann die Wirkung der Massen ft, 
deren Potential U ist, auf Punkte auBerhalb JFi dadurch 
ersetzen, da8 man dieselbe Masse p auf gewisse Weise auf 
JFi ausbreitet (Satz ft S. 244). Ist TFi das Potential der 
so auf Fi ausgebreiteten Masse jw, so kann man fiir alle 
Punkte auBerhalb Fi , auch fiir die Punkte von F selbst, 
U durch TFi ersetzen. Es muB also in der ganzen Schale 
F-j-Fi + TFi konstant sein =c; mithin muB, da die Massen, 
von denen F+Fi + TFi herriihrt, gana auBerhalb Fi oder 
auf Fi ihren Sitz haben, F+Fa + TFi auch im ganzen 
Innenraum von Pi den Wert c haben. Infolgedessen 
gelten die obigen Gleichungen (22) und (22 a) noch, falls 
man in denselben U durch Wi ersetzt, d. h, es ist 



(22b) x. 



3 n 
Fezner ist, da F das Potential von Massen auBerhalb Ft ist, 



Kap. 3. Das Biri chletsche Prinzip nebst Folgerungen. 253 
9V . 3V 



mithin 



Die Dichtigkeit der Massenverteilung auf j?i, dieerforder- 
lich ist, urn das Potential Fi + TFi hervorzubringen, ist 
soinit iiberall auf Fi gleich Null. Inf olgedessen ist auch. 
Fi+TFk iiberall gleich Null. Fiir Punkte auBerhalb JPi 
war TFi = J7, fiir solche Punkte ist daher auch 17 -f Fi = 0. 
Ferner gehSrte zum Potential TFi die Masse j*, zu 
Fi + Wi die Masse 0, daher zu V die Masse ^. 

Weiter reduziert sich, da U -j-Fi=0 ist, die BedLngimg 
des elektrischen Gleichgewichts auf F= c , und es geniigt, 
wenn F diesen Wert c an J hat. Die Masse der auf der 
aufieren Flache F verteilten Elektrizitat sei M , die der 
der Schale mitgeteilten freien Elektrizitat Jkf, so ist M 
gleich der Summe der auf F und ft. verteilten elektrischen 
Massen, d. h. M'ii = M, M'=*p + M. Wir sehen also, 
daB die Wirkung der Krdfte, die im Hohlraum der Schale 
ihren Site haben, und deren Masse =/e ist, die ist, daB 
auf jP die Masse f* sich derartig verteilt, daB die 
Wirkung dieser Verteilung auBerhalb Fi die Wirkung der 
gegebenen Masse ^ vollstandig auf hebt. Auf der auleren 
Grenzflache F der Schale verteilt sich die um /i vermehrte 
Masse der mitgeteilten freien Elektrizitat so, daB ihr 
Potential an F konstant ist. 

Zusatz. Alle Anwendungen des Diriehletschen 
Prinzips batten sich auch ohne Benutzung dieses Prinzips 
aus der Darstellung des Potentials mittels der ersten 
Greenschen Funktion ableiten lassen. 

d) Einwande gegen das Dirichletsche Prinzip. 

Das Prinzip ist fiir gewisse Flachen und unter be- 
schrankenden Annahmen iiber die an der OberflSche ge- 
gebenen Werte der Potentialfunktion, die Randwerte^ 
unzweifelhaft richtig. Gegen seine Allgemeingultigkeit 
sind indessen Bedenken erhoben* Es ist bezweifelt, ob 
die bei der Ableitung des Prinzips gemachten Annahmen 



254 IV. Die ]&mdwertaufgabeii fur beliebige FUchen. 

f iir alle moglichen Begrenzungen des betrachteten Eaumes 
und f iir alle mftgliehen Randwerte zulassig sind. Was die 
Annahme betrifft, dafi man eine an der Grenzflache eines 
Raumes T gegebene Funktion derart in das Innere von T 
fortsetzen kann, daB sie den Stetigkeitsbedingungen ge- 
niigt, so lafit sich zeigen, dafi fur geschlossene Flachen 
mit iiberall endlicher Kriimmung (sogar auch wenn die 
Kriimmung in einzelnen Punkten in gewisser Weise un- 
endlich wird) und fiir Randwerte, die selbst Potentiale 
vonMassen sind, solcheFortsetzungen sich analytisch bilden 
lassen*). Fiir unzulassig ist auch die Annahme erklart, 
daB stets ein Minimum des Integrals (1), S. 238 existieren 
miisse. Demgegenuber hat Hilbert**) gezeigt, daB sich 
bei geeigneten einschrankenden Annahmen uber die Q-renz- 
bedingungen und die Grenzflache der Grundgedanke des 
Prinzips in engem AnschluB an dessen anschauliche Be- 
deutung so verfolgen laBt, daB daraus ein streng mathe- 
matischer Beweis fiir die Existenz der Minimalfunktion 
entsteht; und er hat das fur das logarithmische Potential im 
einzelnen durchgefuhrt. Die Hilbertschen Entwicklungen 
zu reproduzieren wiirde zu weit fiihren; wir miissen ims 
daher mit diesem BQnweise begniigen. 

Besteht danach das Prinzip auch unter gewissen Be- 
schrankungen sowohl betreffs der Natur der Grenzflache, 
als betreffs der Beschaffenheit der Randwerte zu Recht, so 
ist mit dem Nachweise der Existenz einer Funktion noch 
nicht die Frage erledigt, wie man jene Funktion wirklich 
bilden kann. Dies Ziel haben sich die neueren .Unter- 
suchungen iiber die Randwertaufgabe gestellt; sie gehen 
darauf aus, unter gewissen Voraussetzungen Potential- 
funktionen eines Raumes T aus ihren Randwerten zu 
konstruieren. Das ist zuerst C. Neumann durch seine 
Methode des arithmetischen Mittels gelungen. Die Grund- 
ziige dieser Methode sol] en im folgenden dargelegt werden 
unter gewissen Beschrankungen hinsichtlich der Beschaffen- 
heit des betrachteten Raumes T und der Randwerte. 

*) E. Heine, "frber einige Yoraussetzungen beim Beweise de$ 

DirichletschenPrinzipes. Matheuaatische Annalen IV, S.626, 1871, 

**) B. Hilbert, tJber das Dinchletsche Prinzip, Jahres- 

bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung VIII, 1899. S. 184. 

ATathematische Annalen LIX, S. 161, 1904. 



Kap. 4:. DieO.NeumaiinscheMethodedesaritliinetisclienMittels 255 

Kapitel 4. 

Die C. Neumannsche Methode des arithmetischen 
Mittels. 

a) Bezeichnungen. Ableitung eines Hilfssatzes 
iiber das Potential von Doppelbelegungen, 

Die Methode benutzt die Satze liber das Potential von 
Doppelbelegungen, die in Teil I, Abschnitt II, Kap. 4 ent- 
wickelt sind, aufierdem einen Satz, der dort nicht allge- 
mein bewiesen ist, und dessen Ableitung hier nachgeholt 
werden soil. Vorher sollen einige im folgenden Vu be- 
nutzende abgekixrzte Bezeichnungen eingefiihrt werden. 
Ist F eine geschlossene, doppelt belegte Flache, ^ das 
Moment der Doppelbelegung, U ihr Potential, so ist 

cosfi 



Darin ist ^ der Abstand des Aufpnnktes P von dem 
Punkte Q der Flache, an dem das Flachenelement d o liegt, 
li eine gegebene Fiinktion der Koordinaten von Q, die 
kiinftig mit (j.(Q) bezeichnet werden soil, N die auBere 
Flaohennormale. Unter der Kichtung von ^ verstehen wir, 
wie friiher, die Eichtnng von P naeh Q hin. Die Inte- 
gration ist iiber die Flache F zu erstrecken, 
Nun ist 

- f 



wo d <o das Flachenelement einer um P mit dem Radius 1 
beschriebenen Kugel bezeichnet (vgL Teil I, S. 66). Wir 
setzen statt dieser Gleichung die folgende: 



(1) > 

so da do) nicht den absoluten Wert des Elements der 
Kugelflache mit dem Kadius 1 bezeichnet, sondern stets 



256 IV. Die lUndwertaufgaben fur beliebige F&chen. 

das Vorzeichen von cos(^, N) hat. Ferner sollen die beiden 
Falle, daB P auBerhalb oder inncrhalb der geschlossenen 
Flache F liegt, dadurch unterschieden werden, daB zu d at 
der Index a oder i hinzugefiigt wird; entsprechende In- 
dizes sind dem U zu geben. AuBerdem soil zu [7, das ja 
eine Funktion der Koordinaten des Punktes P ist, als 
Argument P hinzugefiigt werden. Dann ist 

(2) ffa(P) 

Mit unserer Bezeichnung lauten die in Teil I, S. 70 auf- 
gestellten Satze: 

(2a) 

so daB fiir konstante "Werte jti von t*(Q), wie schon in 
Teil I, S. 154 angemerkt ist, 

(2b) Z7a(P)-0, Ui(P) = np 

wird. Fiir beliebige [i haben U a (P) und Vi(P) in alien 
Punkten P, die nicht unendlich nahe an F liegen, die 
charakteristischen Eigenschaften des Potentials einfach be- 
legter Flaohen fiir auBere Punkte (vgL Teil I, S. 165) .*) 



*) E,\ickt der Aiifpunkt ins Unendliche, so ist lim (r V) nicht 

r = oo 

nur endlich, wie an der angeftilirten Stelle bemerkt ist, sortdern 
es ist lim (r U) == . Das f olgt aus der Entstehung von 27 . Nach 

r oo 
Teil I, S. 153 ist 



wo 7 und V die Potentiate einfach belegter FMcben s.nd, Daher 
wird 



Sind nun lf,JM' die Massen, deren Potentiale F, F' sind, so ist 

lim(rF) = Jtf, lim(rF / ) = Jtf', 
r=oo r = & 

und weiter ist wegen Gleichung (2), & 152 des ersten Teils 



Kap. 4. Die (X Neumannsche Methode des aritliinetischenMittels 257 

Fiir den Fall, daB sich der Punkt P, sei es von auBen> 
sei es von innen, der Flache F beliebig nahert, sollen f ol- 
gende Bezeichntmgen eingefiihrt werden: 

(3) lim U a (P)=U a (P), lim Z7 t (P)=ff,(P). 

Von den Werten Ua, (P) , Q (P) ist zu nnterscheiden 
der Wert, den U annimmt, wemi man dem Punkte P eine 
feste Lage auf F gibt, wenn also Q den Abstand eines 
f esten Punktes P der Flache F von einem verSnderlichen 
Punkte Q dieser Flache bezeichnet. In diesem Falle soil 
U mit u (P) bezeichnet werden ; zugleich soil zn d co der 
Index F hinzugef iigt werden. Fiir Punkte der Flache F 
nimmt also U den Wert an: 



(*) 

DaB it (P) fur alle Punkte P von F einen endlichen Wert 
hat, falls nur y, (Q) Uberall endlich ist, f olgt so. Neben den 
Gleichungen (2 a) ist in Teil I, 8. JO noch eine dritte ab- 
geleitet, die in unserer Bezeichnung lautet: 



(4a) 

Fiir konstante Werte /t von p (Q) ist daher 

(4b) w(P)-2;r^. 

Ist f erner p, (Q) nicht konstant, aber iiberall auf F endlich 3 
und ist 6r der absolut gr&Bte Wert von \JL (<j) } so ist 



also endlich. _ __ 

Zwischen U a und Ui findet nach Teil I, S- 156 [GL (13) ] 
fur beliebige p die Beziehung statt: 

(5) R*(P) 



*) Diese GHeichttng setzt, wie aus ihre* AHeitung hervorgelit, 
Toraus, daB die Flaehe F im Punkte P eiae "bestimmte Taaigential- 
ebene hat. Die Gleiclmnff bedarf einer Modifikation, wenn das 
Biclxt der Fall ist, wenn also die Mftche F in P eine Kante oder 
Ecke hat. Auf diese Modifikatron soil hier nicht eingegangen 



Wangerin, Tlieoxie des Potentials IL 17 



258 IV. Die Randwertaufgaben fiir beliebige Fkchen. 
Fiir konstante ft folgt ferner aus (2b) und (4b) 
(6) 



Diese Gleichung gilt nun, wie sogleich nachgewiesen wer- 
den soil, fiir beliebige endliche p. Aus ihr und (5) folgt: 



Zur Ableitung der Gleichungen (6 a) [und damit von 
(6)] kniipf en wir an die in Teil I, S. 70^ aufgestellte all- 
gemeine Gleichung (II) an. Wir wenden sie auf den Innen- 
raum T einer geschlossenen Flacbe F an, indem wir zu- 
gleich f= 1 setzen, so mrd 



Darin ist die Integration links iiber T, die Integration 
rechts iiber F 211 erstrecken; p ist eine in T endliche, 
stetige und einwertige Funktion, die iiberall eine endliche 
Ableitung nach Q hat. K hat, je nachdem der Punkt P, 
von dem an Q gerechnet wird, auBerhalb T, innerhalb T 
oder auf der Grenzflache F von T liegt, resp. den "Wert 

0, 47r(p) ?==0 ; Ssr^^o. 

Wahlt man die Funktion y so, daB sie an F in f.t (Q) iiber- 
geht (womit zugleich vorausgesetzt wird, daB ^60) an F 
stetig ist), ih. setzt man, die an F gegebene Funktion 
IJL (Q) in das Innere von T beliebig fort, nur derart, daB 
die Fortsetzung <p in T die obengenaointen Eigenschaf ten 
besitzt, so wird 'das Flachenintegral das Potential einer 
Doppelbelegung, und die Gleichung (II) gibt, wenn wir 
die einzelnen FRlle betreffs der Lage von P sondern: 



(7) 



Kap.4. DieC.KeumannsclieMetbodedesarithmetisohenMittels. 259 



In der dritten Gleichung (7) 1st (>)$=$*= p(P), und laBt 
man_in den beiden ersten Gleichungen (7) U a in ?7 a , U t 
in U t ubergehen, so wird in der zweiten Gleichung eben- 
f alls (<p)o =o = p (P) - Daher f olgen aus den Gleichungen (7) 
sofort die Gleichungen (6 a), falls man noch zeigen kann, 
daB, mag P von auBen oder innen sich F nahern oder 
von vornherein auf F liegen, die Integrate in alien drei 
Gleichungen (7) denselben Wert haben. 

Der fehlende Nachweis betreffs 
der Eaumintegrale laBt sich f olgender- 
maBen fuhren. Um einen Punkt M 
der Elache F beschreibe man eine 
Kugel mit dem kleinen Radius d und 
bezeichne den Teil des jRaumes T, 
der innerhalb der Kugel liegt, mit 21 , 
den auBerhalb der Kugel liegenden 
Teil von T mit 2s. Das iiber den 
Ratim T erstreckte Integral zerfallt 
dann in zwei andere: 




Biff. 17. 



Ti 



1st mm P em innerhalb der Kugel liegender, dem Kugel- 
mittelpunkte M unendlich naher Punkt, so hat das iiber 
2a erstreckte Integral, das sich fur Punkte auBerhalb Ta 
kontinuierlich andert, in P und M nur unendlich wenig 
verschiedene Worte, und f fir den Fall, daB P in M fallt, 
hat es nur einen bestimmten Wert. Ferner sei G der 

absolut groBte Wert, den ~- in 21 annimmt^ so ist 



(7b) 



Weiter ist das iiber eine voile Kugel erstreckte Integral 
/// \ ^ach Teil I, S. 57 kleiner als 4r mal dem Kugel- 

radius. 21 ist nut ein Teil des Kugelinnern, das iiber- 21 

17* 



260 IY- Die Randwertaufgaben fur beliebige Flachen. 

erstreckte Integral der rechten Seite von (7b) ist daher 
noch kleiner, oder es ist 



(7c) 

" Ti 

1st 8 beliebig klein, w&hrend P immer innerhalb der Kugel 
bleibt, so dafi PM ein Bruchteil von 8 ist, so wird fiir 
PM=Q auch 8 = S daher das Integral der linken Seite 
von (7c) = 0. 

Damit ist gezeigt, dafi falls C^ in Ua, Ui in Ui iiber- 
geht, d. h. falls P sich von auBen oder innen dem f esten 
Punkte P der Flache nahert, endlich auch in f*(P) die 
Eaumintegrale in (7) denselben Wert haben. 

Zusatz 1. Aus den Formeln (7) folgt, da% wenn/i(P) 
sich auf der Flache F kontinuierlicli andert, dasselbe auch 
fiir Ca(P), F t (P) und u(P] gilt. 

Sind nSmlich P und P' zwei sehr nahe Punkte der 
Flache F, beide innerhalb der vorher beschriebenen Kugel, 
und zerlegt man das Kaumintegral wie vorher, so wird 



21 
analog 



Nun sind, wie yorher gezeigt, die absoluten Werte von 
i und %!/ beliebig klein, ^venn nnr 8 klein genug ist; damit 
ist MI Ma' beliebig klein. ^3 tte' und ts Ws ; sind aber 
beliebig klein, da u% und s sich kontinuierlich Sndern, 
mithin wird, wenn nur P und P' nahe genug und zugleich 
d klein genug gewEhlt wird, w(P) u(P) beliebig klein. 
Q-enau ebenso ist der Beweis fiir ^(P) und ^(P). 

Zusatz 2. Die vorstehenden Resultate, die fur ge- 
schlossene Flachen F abgeleitet sind, gelten auch fiir un- 
geschlossene Flachen. 

Ist a eine ungesehlossene Flache, so er^nze man sie 
auf irgendeine Weise durch Hinzufugung einer zweiten 



Kap.4. DieC.NeumajmscheMetliadedesaritlimetisclieiiMittels. 261 

Flaehe. </ zu einer geschlossenen Flaehe F 9 ferner wahle 
man die Doppelbelegung von a* so, daB ihr Moment liber- 
all kontinuierlich 1st, sich aueh an der Grenze von a und a 1 
kontinuierlich an das gegebene Moment ^ von <y an- 
schliefit. Wie die Flache F, zerfallt aueh das Potential 
ihrer Doppelbelegung in zwei Teile U~ U a + U*. Fiir 
U= U a +U<? gelten die Gleichungen (6 a). Iigendein 
Punkt P yon a ist f iir Uj ein ^uBerer Punkt. U<? andert 
sich daher kontinuierlich beim Durchgang des Aufpunktes 
durch die Flaehe <7. Die durch die Gleichungen (6 a) an- 
gegebene JLnderung von U + U</ kann spmit nur dadurch 
zustande kommen, daB jene Gleichungen fiir U a .allein 
gelten. 

Benierkung. Aueh die Gleichungen (6) und (6aj 
bediirfen einer Modifikation fiir solche Elachenpunkte P ; 
in denen die Flache F irgendwelche Singularitaten 
besitzt. 

Die Kesultate, die unter der Annahine einer stetigen 
Tunktion p(Q) abgeleitet sind, lassen sieh unschwer auf 
den Fall ausdehnen, daB ^(Q) auf der Flaehe abteilungs- 
stetig ist, 



b) Die bei der Methode des arithmetischen Mittels 
auftretenden Potentiale von Doppelbelegungen. 

Es soil die Methode des arithmetischen Mittels unter 
den f olgenden speziellenVoraussetzungen entwickelt werden: 

1. Die geschlossene Flaehe F sei iiberall stetig gekriimmt 
uud iiberall nach aufien konvex, so daB, wenn man in irgend- 
einem Punkte P von F eine Tangentialebene konstruiert^ 
die Flaehe mit der Tangentialebene nur den Eeriihrungs- 
punkt gemein hat und ganz auf einer Seite der Tangential- 
ebene liegt. 

Ist diese Voraussetzung erfiillt, so ist dwj? fiir aHe 
Punkte Q der FlSche und fiir jede Lage des Punktes P 
auf F positiv; denn der Winkel (Q > N) kann dann nur 
Werte zwischen und %n ajinehmen. 

2. Ist f(P) der Wert, den die (fiir den Innen- oder 
den Aufienraum T von F) zu bestimmende Potentialfunktion 



262 IV. Die Bandwertaufgaben fur beliebige FlacHen. 

fiir Punkte P der Flache selbst annimmt, so soil f(P) 
eine iiberall endliche uiid stetige Funktion des Ortes auf 
der Flache sein, 

Auf Erweiterungen der Methode a) dahin, daB die 
Funktion f(P) die Bedingang 2. nur abteilungsweise er- 
fullt, b) daB die Flache F aus verschiedenen Flatten- 
stiicken zusammengesetzt ist, oder daB F Kanten oder 
Spitzen hat, c) auf den Fall, daB T auBer von j? noch von 
mehreren innerhalb F liegenden geschlossenen Flachen 
begrenzt ist, oder auch, daB T den anBerhalb mehrerer 
FLachen J,JS\,.. liegenden Raum bezeichnet, soil hier 
nicht eingegangen werden. 

Die Methode besteht im folgenden. Aus der an der 
Flache F gegebenen Funktion f (P) bilde man eine Reihe 
anderer Funktionen, zuerst die Funktion 



daraus die weiteren 



wobei jedesmal iiber die Flache F za integrieren ist oder 
auch iiber die Halbkugel, auf der die Projektionen du^ 
der Flachenelemente do von F liegen. Die Integrale (8) 
und (8 a) sind Potentiale von Doppelbelegungen fiir den 
speziellen Fall, daB der Aufpunkt auf d,er Flache selbst 
E^gt- f(P) iat nichts anderes als die vorher mit u(P\ 
bezeichnete Funktion fiir den Fall, daB das Moment der 

Doppelbelegung ^f(Q) *ist Analoge Bedeutung habeix 



fiT\ ...... Aus dem S.260, Zusatz 1 ErCrterten fokL 

daB, wenn f(p) eine stetige Funktion des Ortes auf der 
FlSche ist, dasselbe auch fiir f,/",-,/ w gilt. 

Welter bilde man fiir dieselben Doppelbelegungen, die 
in (8) und (8 a) auftreten, die Potentiale fiir auBere und 
mnere Punkte: 



Kap.4> DieC.NeumaxmscheMethode des arithmetischenMittels. 263 



(9) 



Dann ist ; wenn wir die Bezeichnung S. 257 beibehalteu, 
f(P)=f (P) 3 u'(P)=f"(P), u"(P)=f"(P),...., 



( } 

und die Gleichungen (6 a), 8.258 ergeben: 



(P) = f<*+*> (P) - fW (P) ; 



iW (P) -fO+T) (P) +/W (P) . 

Bemerkung. Die Bezeichnung der Methode als 
Methode des arithmetischen Mittels ist aus folgender 
Eigenschaft der Integrale (8), (8 a), (9) entnommen. du^ 
ist das M&chenelement einer mit dem Radius 1 urn den 
ioneren Punkt P beschriebenen Kugel. Denkt man sich 
auf d(x*i denjenigen "Wert f(Q) aufgetragen, den f an 
dem Oberflaehenelement do, dessen Projektion dwi ist^ 
hat, so ist das iiber die ganze Kugelflacne erstreckte 
Integral 



das arithmetische Mittel aller Werte, die die 
auf der Kugel hat; d. h. jenes arithmetische Mittel ist 
Aaaloges gilt fur *l7 f '(F), 



264 IV; 'Die Randwertaufgaben fur beliebige Fl&chen. 

Auch die Funktionen f,f' 9 .. kann man als solche arith- 
metisohe Mittel auf einer Halbkugel auffassen, und auch 
70, E70'>-" lassen sich, mit gewissen Konstanten multipli- 
ziert, "ahnlieh deuten, 

* 
c) Haupteigenschaften der Potentiale frf", ,f&\ 

Es soil gezeigt werden, daJB die Funktionen / W (P) 
mit wachsendem n einer Konstanton zustreben, daB also 



ist 

Fiir den Fall, dafi f konstant ist = c , wird 



ferner U a = U* = U a "=... =0, 

Ui=Ui'=Vi"*=... =2c. 

Ist aber f(Q) nicht konstant, so sei G der groBte, K 
der kleinste Wert von f (Q), so daB 



Da fur alle Punkte C i^id fiir jede Lage des Punktes P 
auf F da>F positiv ist (vgl. S. 261), so ist 



d.h. wegen (8) und (4 a) 
(11) ff-f 

Mithin liegt / r (P) fiir alle Punkte P der Fl&che zrwiscb 
dem grofiten und kleinsten "Werte von /"(P). Das gilt au 
fiir ,den gr<5Bten Wert G 1 von f (P\ sowie fizr 
kleinsten Wert K'] d.h. es ist ' 

(llaj G>G'>K'>K. 

Weiter teile man die Flache F in- zwei GteMete J^ 
derart, dafl 

in Pi 
in ,, 



Kap.4. DieC.NeumannsclieMetkodedesaritlimetificlieiiMittels. 265 
1st. Dann zerfallt auch /'(P) in zwei Summanden: 



IS 



Setzt man im ersten Integral rechts K an Stelle von 

Xf \ TT" 

im zweiten aber ^ , so erhalt man rechts zu Kleines, 

A 

d.h. es wird 



ebenso wird 



Da aber 



1st, so kann man die beiden letzten Ungleicirangen so 
schreiben : 



/ I do)p+ I dcop= I dwp 



oder wegen (4 a) 



(12) 



-JJdo) Fy 



JZ 



Diese Ungleichungen, in denen P ein beliebiger Punkt der 
Flache F ist, wenden wir auf zwei verschiedene Punkte 
an, die erste auf einen Punkt Pi , die zweite auf einen 
Punkt Pe . Wir unterscheiden diese verschiedenen Lagen von 



266 IV* Die Eandwertaufgaben fur beliebige FUchen. 

P auch in der Bezeichnung von dwp } indem wir dafiir 
im ersten Falle d a)^ l \ ira zweiten d WF setzen ; so lauten 
die Ungleichungen (12): 



(12a) 



Ji 



Pi war nun ein beliebiger Punkt von JP; wir wahlen 
seine Lage speziell so, daB in Pi die Funktion f (P) den 
kleinsten Wert K', den sie in F annehmen kann, hat, 
wShrend Pa so gewablt wird, dafi in ihm die Fimktion 
/"(P) ihren grSfiten Wert G r hat, so folgt aus (12 a) 



(13) 



G'<G- 



G- 



G-E 



nnd hieraus durch. Subtraktion: 

(i8a> <?'-#'<(<?-z) ji-^[yy, 

Nun ist jedes der beiden Integrate auf der rechten 
Seite von (13 a) positiv, aber kleiner als 2;r; denn nach 
(4 a) ist 

lid topW 

LL 
F 

mithin 

Lf' 

d. h. 2^r ? vermindert urn eine positive Gr5Be, also 
Somit haben wir 



< -1- [ffdwj + II d co/2>] < 1 9 



T2 



Kap.4. Z)ieC.NeumanzLSclieMetlioded6sarithmetischenMittels 267 
ebenso 



daier 

oder es 1st 
(14) 



Der zweite Faktor der rechten Seite von (13 a) 1st also 
ein positiver echter Bruch I 

(14a) 

IT 
und (13 a) geht in 

(15) G'-K'<(G-K)l 

iiber. Ebenso ergeben sich, wenn 6f" und K" den gro'Bten 
und kleinsten Wert von /*', ff //f und JE'" den grSfiten und 
kleinsten Wert von /"",... bezeichnen, die Ungleichungen: 



(16a) 



wo A,',*", ..,i (9l "" 1) sSmtlich positive echte Briiche sinA 1st 
ferner T der grb'Bte der echten Briiche 1,1',!",...., so ist 
auch 



(16 b) 

folglich 
(16) ' 



268 IV. Die Randwertaufgabea fur beliebige Flacken. 

and da >l ein echter Bruch, daher lim^ = 0, ist auoh 

= oo 

(16 a) lim (GW W) = . 



Sind aber der grofite und kleinste Wert einer stetigeii 
Funktion gleich, so ist diese erne Konstante, oder es ist 

(16b) lim/W(P) = C, 

n oo 

wo C eine Konstante ist. 

Folgerungen. Nach (lla) ist 



ebenso (?'> 6"> K" 

mithin 



In gleicher Weise ergibt sich, wenn p , q beliebige positive 
.Zahlen sind 



, 



Die Funktion i ftt'+fl)(P) ist kleiner als 6P^+*, daher erst 
recht kleiaer als 6K* } , andererseits is 
d. h. wir haben 



folglich 



d. L. 

oder wegen (16) 

(17) 

LaBt man in (17) g = oo werden, so wird wegen (16 b) 

(17a) 



d) Losung der ersten Eandwertaufgabe fur den 
Innenraum T der Flache F. 

Aus den Eunktionen Z, Z7/ , . . [S. 263, GL (9) ] bilde 
man die endliche Summe 



(18) /) = c?+ U t (P) - ^'(P) + Ui"(P) ~ Z7'"(P) + . . 



Kap.4. DieG.NeumannsclieMetliodedesarithnietisclienMittels. 269 

* 

wo n eine ungerade ganze Zahl ist, die durch (16 b) 
bestimmte Konstante. Die rechte Seite von (18) kann 
man, wenn man fur die Ui ihre Werte setzt, auch so 
sehreiben: 



(18a) W-O+VW-fW + rW-f" () + .- 



"Diese Funktion Qfi hat fur alle inneren Punkte P von F 
die eharakteristischen Eigensehaften des Potentials einer 
einfach belegten Flache, da die einzelnen Summanden der 
rechten Seite von (18) diese Eigenschaft haben (vgL S. 256). 
QJ& ist also fiir alle Innenpunkte von F nebst alien 
Ableitungen endlich und stetig, und Qj geniigt der 
Laplaceschen Differentialgleichung. Kiickt ferner der 
Aufpunkt P von innen beliebig nahe an F heran und 
uennen wir den Wert, den ^ (n) dabei anmmmt, ^ (n) , so ist 



<1. i. wegen der Gleichungen (10) 



- if" (p) + r (p)] + . . + i/w 



oder 
(18b) 

Wir wollen nun untersuchen, was aus ^ 4 (n) und Q^ wird, 

wenn man von einer endliehen Zahl von Summanden 2u 

n = c iibergeht, Dazu betrachten wir die unendlicte 

Eeihe 

(19) m -f(Q) + f "W)-f(fy + ..... , 

nennen S n die Summe der (+l) ersten Glieder ( nn- 
gerade), E n den Eest der Eeihe 

(19a) J B= 



270 IV. Die Randwertaufgaben fur beliebige Flachen. 



Nach (17) ist der absolute Wert der einzelnen Differenzen 



) (G-K), 

daher 

| R | < (G-K)l n+l [1+7+7+ . . ] 
oder 



1~^~ A 

Da A ein positiver echter Brucli ist, folgt ans (20) 
(20a) lim | E n \ = , lim 8 n bleibt endHch. 

n=*oo w=oo 

Die unendliche Eeihe (19) ist also konvergent, ihre Summe 
ist encQich, und wenn man diese endliche Summe mit dui 
multipliziert und iiber F integriert, erhalt man eben- 
falls Endliches. Fiihrt man die Bezeichnung ein 

(21) limA (w) = ^z, 

71=00 

so hat also JQ t f iir alle inneren Punkte P einen endlichen 
"Wert ; und QI hat, wie Q alle charakteristischen Eigen- 
schaften des Potentials* Nennt man ferner QI den Wert, 
den Q % annimmt, wenn sich P der Flache I beliebig nahert, 
so wird nach (18b) und (16b) 

(22) ^=lim ^ C7l) = C+f(P) - C= 



Die Funktion (21) ist somit die Losung der ersten 
Eandwertaufgabe fiir den Innenraum T von F. 

e) Losung der ersten Eandwertaufgabe fiir den 
AuBenraum T 1 von F. 

a) Bestimmung einer Fundamentalfunktion dieses 
Eaumes. 

Aus den Doppelbelegungspotentialen U a , U a ', . . . (S. 263) 
bilde man die endliche Summe 



(23) oj = -U a (P) - 17.' (P) - U." (P) - . . . - 17.W, 



4. DieC.NeumanruscheMetliodedesaritlimetisclienMittelg. 271 

in der n eine beliebige ganze Zahl ist. Die rechte Seite 
von (23) kann man, wenn man fiir die U a ihre Werte ein- 
setzt, auch so schreiben: 



oder auch ; da nach (2 a) J J d w a = ist ; 

~F 

(23b) W = + 



vro G wiederum die durch (16 b) definierte Konstante ist. 
Die Funktion $ a w> hat fiir alle Punkte P des AuBen- 
raumes T r von F die charakteristisohen Eigenschaften der 
Potentialf unktion, da die einzelnen Summanden von (23) 
diese Eigensehaf ten haben. Bezeichnet man ferner mit 
^j n) den Wert, in den & a w iibergeht, wenn P der Flache 
F beliebig nahekommt, so wird mit Berucksichtigung der 
Gleichung (10), S. 263 



fa (P)] 



Auch hier gehen wir von der endlichen Eeihe $< zur 
unendlichen Eeihe iiber. Dazu untersuchen wir die un- 
endliche Eeihe 

(24) C -f(Q) + C-f'(Q) + C-f"(Q) + ... 

und nennen die Summe der n + 1 ersten Glieder S B ', den. 
Eest Bn' also 



(24a) R n '=> 
Nach (17 a) ist 

(G-K) , 



272 IV. Die Eandwertaufgaben ftir beliebige Flaehen. 

daher \B'\< (& 

oder fG 

(25) !*'|< (g 



Da i ein echter Bruch, folgt atis (25) : 

(25 a) lim |J? n '| = 0, lim S n ' bleibt endlick 

71=00 W=00 

Aus (23 b) ergibt sich daher, daB 
lim ff fl 



n=oo 



T 
endlich ist. Wir fiihren die Bezeichnung ein 

(26) lim a w= """" " 

?J 00 

so folgt aus (23 c) 

(27) ^ 
Die Funktion 

(28) 

nimmt daher an F den gegebenen Wert f(P) an. Diese 
Funktion hat ferner im AuBenraum I' von F alle charak- 
teristischen Eigenschaften der Potentialfunktion; nur wird 
im Unendlichen $ a = 0, da dort samtliche U a verschwinden, 
und die Funktion (28) hat daher im Unendlichen den 
Wert C. Der Funktion (28), die C. Neumann eine 
Fundamentalfunktion des Kaumes 2" nennt, fehlt so- 
mit eine wesentliche Eigenschaf t der gesuchten Potential- 
funktion. 

) Bildung der Potentialfunktion des AuBenraums 
aus der Fundamentalfunktion (28), 

Wir bestimmen die Funktionen /',/"', . . (Seite 262) fiir 
eine spezielle Annahme iiber die gegebene Funktion f(P\ 
und zwar nehmen wir 



Kap. 4. Die C. Nenmannsclie Methode des arithmetisclien Mittels. 273 

wo Epo und JQO die Abstande der Flacnenpunkte P,Q 
von einem innerbalb I gelegenen, im iibrigen beliebig 
anzunebmenden Punkte bezeicbnen. Die aus denWerten 
(29) entstebenden Funktionen /",/",,. sollen mit y>' 9 <p" 9 ... 
bezeichnet werden zum Unterschiede von den %us einem 



beliebig gegebenen f entstehenclfm. Wir setzen also 
(30) ^(j)- 



Den konstanten "VVert, dem ^ Cn) (P) mit wachsenden n zu- 
strebt [s. Gl. (16b)] ? nennen wir P, also 

(30 a) lim^(P) = r. 

Die Potentiale der bier anftretenden Doppelbelegungen 
wollen wir zum Unterscbied von den allgemeinen mit 
W a y Wd , . . bezeichnen, also 



Wfl 



m welcben Gleicbungen P ein Punkt von T' 1st, also 
auBerbalb F liegt ; und die Werte, die diese Punktionen 
annehmen, wenn P der Mache F beliebig nahe kommt, 
seien, analog wie f riiher, 

(31a) Wa(P], W a '(P),.., W^.(P),... 

Weiter bilden wir (fiir auBere Punkte) die Fnnktion 



(32) H a (P) + W *( p ) + W(P) + W." (P)+- .(in ini). 



Pie Konvergenz der recbtsstehenden Reihe folgt ja aua 
oben.Erorterten. Riickt der Punkt P beliebig Bate 

Wangerln, Theoii^ des Potentaala IL * IS 



274 IV. Die Randwertaufgaben fur beliebige Flachen. 

an die Flache heran, was durch H a (P) bezeichnet werden 
soil, so wird nach (27) 



daher 
(32a) 

Bildet man jetzt die weitere Funktion 

(38) 

wo $ a fur beliebig gegebene Werte von f die durch (26) 
definierte Funktion ist ? C der Grenzwert von f n (P) fiir 
w = c, so wird nach (32 a) und (27) fur Punkte, die der 
Grenzflaehe beKebig nahe liegen, 

(33a) X a(P) = ^jL + f(P^-C=f(P). 

X a (P) geniigt danach, da $ a und n a (P) im Unendlichen 
verschwinden, alien Forderungen und ist die gesuchte 
Potentialf unktion des Aufienraums. 

Aus X a und Q % ergibt sich auf bekannte Weise die 
Dichtigkeit, mit der man die Flache F belegen muB, damit 
das Potential dieser Belegung an F den Wert f(P) hat. 

y) Bedeutung der in /?) auftretenden Hilf s- 
f unktion 



n a (P) ist ebenfalls das Potential von Massen, die 
F verteilt sind; denn es hat fiir den ganzen AuBenraum / 
charakteristischen Eigenschaften des FlachenpotentiaLsT An 
F selbst nimmt nach (32 a) n a den konstanten Werti T an. 
Das Potential dieser Massen hat daher fur alle/ inneren 
Punkte von F ebenfalls den konstanten Wert J?* Ferner 
folgt aus (32) 
(34) 



da nach S. 256, Anmerkung lira (rW a ), lim (rTT a V.. 

r oo r= GO 

samtlich verschwinden. Mi thin stellt U a das Potential 



Kap.4. DieC.NeumannsclieMetliodedesaritlxmetisclieiiMittels. 275 

das sich ergibt, wenn man die Masse 1 auf F so verteilt 
daB ihr Potential an F einen konstanten Wert hat. Mit der 
Ermittelung von It a ist zugleich die Aufgabe gelost, die 
Verteilung f reier Elektrizitat von* der Masse 1 auf ernem 
Leiter, dessen Grenzflache F ist, zu bestimmen, falls kerne 
auBeren Kraft e einwirken. Die Dichtigkeit x der Massen- 
belegung ist, da das Potential innerhalb F konstant ist, 



C. Neumann nennt diese Belegung die ^natiirliche Be- 
legung" der Flacjie F, * die Diclatigkeit der naturlichen 
Belegung. 

1st die Masse M statt 1 auf F so zu verteilen, dafi 
ihr Potential an F konstant ist, so ist ihr Potential fur 
auBere Punkte Mff a , fur,innere Punkte hat es den kon- 
stanten Wert MI\ und die Dichtigkeit ist MX. 



d) Die G-reensche Funktion fiir den Innen- 
raum von F . 

Bildet man, von /(#) = - ausgehend, die Potentiate 

-UQO 

der Doppelbelegungen fur innere Punkte von F: 

(35) w.- 



und daraus die Funktion 

(35a) B t 'r+W t -W t '+W t "-W t " H +... in infin., 

so wird au der FlSche F naoli (22) 

(35b) -Q 



/ hat im. ganzen Innern von F die charafcteristischen 
Eigenschaf ten der Potentialf unktion und mxomt an F den 

Wert ^= an. wo JSpo den Abstand eines Punktes,P auf F 

18* 



276 IV, Die Bandwertaufgaben fur beliebige Flachen. 
voneinembeKebigenlnnenpunkteObezeichnefc* ^' = 1st 



mithin die erste Greensche Funktion fur den Innenraum 
T von I mit dem Pole . 



f) Anwendung der allgemeinen Formeln auf eine 
Kugelflache. 

Die Polarkoordinaten eines Punktes Q der Kugel- 
"flache seien B,#i,j?i, die eines iin Innen- oder AiiBen- 
raum gelegenen Punktes P seien r,#,{0. Die gegebenen 
Werte der Potentialf unktion an der Kugel, 
entmekle man nach Kngelfunktionen: 

(36) 

dann hat das Potential der doppelt belegten Kugelflache, 
deren Moment p=* f(&i , ^) ist, naoh S. 105, Gl. (14) fiir 



innere und aufiere P unite die "Werte 
(37) f.OT- 



da in der letzteren Summe das Glied n verschmndet, 
Daher wird 



und 

/ 37b ) 
( b; 



Kap.4. DieC.NetunannflcheMethodedesanthmetisclieiiMittels. 277 

Um die Potentiale der Doppelbelegung vom Moment 

-$f(P) zu bilden, hat man, wie die Vergleichung von 

(36) und (37 b) zeigt, in (37) nur - Y n (&,<p) an 

i*flt -p 1 

Stelle von Y n (& } y>) zu setzen, so dafi 



und 



wird In gleicher Weise kann man mit der Bildung der 
U fortfahren und erhalt: 



(37c) 



Geht man zur Grenze fur #= oo iiber, so wird . i\j+i 

= fiir alle n>0 ; dagegen wird fiir n = jenes Grlied 
1 , mithin wird 

(38) lim/Cf+^JPj^Zo, 

^) 00 

und die Kugelfunttion 7o 1st eine Konstante. Die 
allgemein mit C bezeichnete Konstante hat hier den 
Wert To. 



278 IV. Die Kandwertaufgaben fur beliebige Flachen. 
Ferner wird 



(da das Grlied fiir w = versctwindet), d. L nach Aus- 
der Summation wird 



(39) A- 

Ferner wird 

\+i 

) 

?i-f 1 



Zur Bildung der Punktion n& nmfi man von dem speziellen 

Werte f(Q) = ausgehen, wobei ein innerer Punkt 

J^QO 

der Kugel ist Sind dessen Koordinaten ro,-5'o,po(ro< S\ 
so ist 

1 1 



cos y =cos ^ cos ^ +sin * x sin # cos (ffiyj) , 
und wenn man I\EQQ nach Potenzen von ro entwickelt, 

() 



Kap.4. DieC.NeumannscheMetliodedesantliinetischenMittels, 279 

An Stelle der allgemeinen Funktion 7 n (3i,^i) tritt Her 
also die Funktion 



an Stelle von Y n (& } <p) somit die Funktion 



WO 

cos (5=cos # cos # +sin #sin$ cos (<p 
1st Demnach wird 



und 

(43) lim^+D(P) = l, d.L r=l. 



Die Koustante 7 1 hat hier den Wert . Die Funktionen 

H 

W a) Wa,"* ergeben sich aus den obigen U a , U a ',.., indem 
man an Stelle von Y n (d-,<p) den Ansdruok (42) 6etzt. 
Ferner ist (fiir Punkte aufierhalb der Kugel) 



daher 



280 IV. Die Randwertaufgaben fur beliebige Flaclien. 
Endlich wird 



Die sich hier ergebenden Losungen der ersten Kandwert- 
aufgabe fi f [GL (39)] fiir das Innere, Xa [GL (45)] Mr den 
AnBenraum der Kugel sind genau die gleichen wie die 
S. 117 abgeleiteten. 

Die Dichtigkeit der ^naturlichen Belegung" der Kugel 
ist nach (34 a) 

(46) .-; 1 ''^ ' 



der konstante Potentialwerfc der natiirlichen Belegung ist 

an der Kugel und im tmern =-=, der Potentialwert fiir 

1 A 

Pankte auBerhdb . 
r 

Die FuBktionen F t ,Tf a ',.. [GL(8B), S.275] werden 
fiir die Kugel 




(17) 

daher 




Kap.4. BieC.NeumannsclieMetliodedesaritlxinetisclieiiMittels. 281 

einAiisdruck, der mit demAusdruck fur 6? [S.I 19, GL (20)] 
iiberebastimmt, so daB 

(48a) ft' 



fur innere Punkte P die Greensche Funktion mit dem 
Pole ist. 

Zusatz. Die Formeln fiir f (P), f'(P) 9 .,. waren 
oben (S. 276, GL 37 b) mittels der allgemeinen Gleichtoig 



hergeleitet. Es soil nunmehr fiir dea Ausdruck f (P) 
[Gl. (37b)] eine direkte Herleitung gegeben werden. 

In dem Ausdruck (8), S. 262 f iir f (P) ist zunSchst 
dco F fiir die Kngel zu bildea. Dazu betrachten wir das 
gleichschenklige Dreieck, das die beiden Punkte P,Q der 
En^elfl&che und den Kugelmittelpunkt M zu Beken hat 
Darin ist PQ = Q und der Winkel (Q,N) ist der Scheitel- 
des Winkels PQM, daher 



COS 



Driickt man ^ durch die Polarkoordinaten der Punkte 
PyQ aus, so ist ; da hier auch rB ist ; 

(> 2 =2 E* (1 cosy), cosy=cos#cos-#i+sin#sm^eos(pL y). 
Ferner ist do das Flachenelement der Kugel bei Q } daher 

cos((),N)do sin ^i d-^i d 01 

~ i i.i ss ........ i M 

and 

(49) / 

cosy 

In diesem iiber die Kugelflache zu erstreckenden Integral 
f iihre man (analog wie in Teil I y S. 108) statt 




282 IV. Die Randwertaufgaben fur beliebige Flachen. 

Variable y } l ein ; indem man ds neue Polarachse den durch 
P gehenden Kugelradius nimmt. War g der Punkt, in dem 
die alte Polarachse die Kugel trifft, so wird in dem 
spharischen Dreieck 0PQ, sP = #, 8Q = &i, PQ = y, 
2j.Qg P=(pi (p*} Nimmt man ^#P() = A, so kann man 
mittels bekannter Eormeln der sph'arischen Trigonometrie 
#1 und <pi v durch y,k und & ausdriicken. In den neuen 
Variaheln wird das Flaohenelement der Kugel si 
zugleich gehe jf(#i,^i) in $ (y?A) iiber, so wird 

(49.) 

^ ' 



Ent-wickelt man ^(y,A) nach Kugelfunktionen. 

(50) #to,Q=$Znto,Z), 

so hat Z n die Form 

(50 a) Z (y , A) = fj P n , r (cos y) [A nv cos (v X) + B nv sin (v X) ] , 

v Q 

daher 




Das Integral auf der rechten Seite von (51) hat aber, wie 
sogleich gezeigt werden soil, den Wert 2 ]/2 : (2 n + 1), so dafi 

(51a) ' 



wird. Dabei ist zu beachten, daB in Z nv die Koeffizienten 
Konstante in bezug auf y,h sind, aber 



*) VgL Figur 3, S. 8, in der nur A,B durch P, zu er- 

setzen sind. 



Kap 4. DieC.Neumaimsc^eMethodedesajitlimetisclienMttels. 283 

ihrerseits von &,<p abhangen. Denn driickt man #1,^1 
durch y,l aus, so enthalten diese Ausdriicke auBerdem# 7 e?. 
Auch in der Funktion ^(y,l), die aus /*(#i,??i) entsteht, 
treten daher neben y,h noch & ,<p auf, infolgedessen auch 
ia Z n (y 3 fy. Um den Zusammenhang von A n r mit den 
fruheren T n [Gl. (36), S.276] zu ermitteln, beachten mr 
daB, da ffa , JPI) == jfr ^ , l\ auch 



ist. Multipliziert man (52) mit P n (cosy) mal dem Flslchen- 
element der Kngel vom Eadius 1 und integriert liber die 
Kugelflache, so kann man dies Flaehenelement sowohl 
durch sin-^-i dfa d<pi, als durch sinydydl ausdriicken. 
Die Integralsatze der Kugelfunktionen ergeben dann 




Setzt man fiir Z n (y,fy die Reihe (50 a) und integriert nach 
A> so wird die rechte Seite von (52 a) 



& 



n ^ (cos y) P n (cosy) smydy 




7T 





es ist 
(53) 
tmd wegen (5 la) 

(54) 

womit die friihere Gleichung (37 b) direkt aus der Defini- 
tion von f (P) hergeleitet ist. 



284 IV. Die Bandwertaufgaben fur beliebige Flachen. 

Beweis der benutzten Hilfsformel. 
Pdr <1, -1 <;<+! 1st 



daher 

1 +1 



(55) 



Das linksstehende Integral laBt sich ausf uhren, und zwar ist 



daher 



Setzt man diesen Ausdruck in (55) ein, so wird 



und darin miissen die Koeffizienten von a n beiderseits 
gleich sein, d. L 

,_ />(*) dx 2V2 

(o7) 



Das ist aber, wenn man noch re durch cosy ersetzt, unsere 
Hilfsformel. 



JKap. 5, Z-uruckfuhning aui eine Integralgleiclrung. 285 

Kapitel 5. 

Znruckfiilirung der ersten Randwertaufgabe auf eine 
Integralgleiclrang. 

Der Aufgabe, fiir einen endlichen, von einer ge- 
schlossenen IPlache F begrenzten Kaum T eine Potential- 
funktion zu finden, die in den Punkten P der Ma"clie I 
den Wert f(P) annimmt, sucht man dadurch 211 geniigen, 
daB man eine Doppelbelegung von F bestimmt, deren 
Potential alien Bedingungen geniigt. Das Moment der 
Doppelbelegung sei </>(Q), doq das Plachenelement von I 
im. Punkte Q, so ist ihr Potential 1) fiir ianere Punkte 
PI von F 



(1) Di(PO -/ J<f>(Q}-^do Qf 

2) fiir Punkte P von J 1 



(2) 



worin JE?Qp t und EQP den Abstand des Punktes Q von P t) 
resp. P bezeichnen, Eiickt der Punkt P 7 an die FlS,che F, 
also in einen der Punkte P, so soil die linke Sejte von 
(1) mit Ui (P) bezeiehnet werden. Dann ist [vgL Gl. (6a), 

8. 258] 

(3) 




Andererseits soil 'U l (P)^f(P) sein, 
d. h. es soil sein 

(4) 



oder, falls man filr u(F) den Ausdruck (2) setzt, 



286 IV. Die Eandwertaufgaben fur beliebige Flachen 

d-. 1 




Damit haben wir zur Bestimmung der unbekannten 
Funktion $ eine Integralgleiehung gewonnen, d. h. eine 
Gleichung, in der die unbekannte .Funktion sowohl expli- 
zite, als unter einem Integralzeichen auftritt. 

Die Behandlung solcher Integralgleichxmgen bildet 
eine nenerdings viel bearbeitete Theorie., auf die Her nicht 
naher eingegangen werden kann. Es sollte nur der Zu- 
sammeiihang der Randwertaufgabe rait jener Theorie 
erortert werden. 



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Verzeichnis der zur Zeit vorliegenden Bande: 



2 Gnudziige der ebenenGeometrievon 
F Bohnert. Geb. M. 3 80. 

3 Ebene und sphansche Trigonome- 
tric von F. Bohnert 2 Auflage 
Geb.M.5 

4 Elementare Stereometric von F. Boh- 
nert. 2 Aufl Geb. M. 2.40. 

7 Ebene Geometric der Lage von Rud. 

Boger. Geb. M 5 
10 Ditferential- und Integralrechnung 

I. Teil: Differentialrechnung von W 
Franz Meyer, 2 Aufl Geb. M 10 . 

15 Einleitung in die Astronomic von 
A v. Flotow Mit 1 Tafel Geb. M. 8 . 

18 Geschichte der Mathematik I. Teil 
von S. Giinther Geb M 9 60 

19 Wahrscheinllchkeits- und Ausgleich- 
un&srechnungvonN Herz Geb M 8.. 

23 Geodasie von A Galle Geb M 8 . 
25 Analytlsche Geometric des Raumes 

II. Teil : Die Flachen zweiten Grades 
von Max Simon. Geb M. 5 40 

27 Geometrische Transformationen 

I. Teil : Die projektiven Transforma- 
tionen nebst ifiren Anwendungen von 
Karl Doehlemann. Oeb. M, 10 

28 Geometrische Transformationen 

II. Teil: Die quadratischen u. hdheren, 
birationalen Punkttransformationen 
von Karl Uoehlemann. Geb. M 10 

29 Allgemelne Theorie der Raumkurven 
und Flachen I. Teil von Viktor Kom- 
merell und Karl Kommerell. 2 Aufl. 
Geb M.480. 

30 Elliptische Funktionen I.Teil : Theorie 
der elliptischen Funktionen aus ana- 
lytischen AusdrQcken entwickelt von 
Karl Boehm. Geb M.9.60 

31 Theorie der algebraischen Funktionen 
und inrer Integrate von E Landfnedt 
Geb. M. 8 50 

33 Allgememe Formen- und Invarianten- 
theorie I. Teil: Bindre Formen von 
W. Franz Meyer. Geb M. 9.60. 

34 Limengeometrie mit Anwendungen 
I. Teil von Konrad Zmdler. Gebunden 
M. 12.. 

35 Mebrdlmensionale Geometric I.Teil: 
Die linearen Raume von P H Schoute. 
Geb M. 10.. 

36 Mehrdimensionale Geometriell.Teil: 
Die Polytope von P. H. Schoute. Geb. 

37 Lehrbuch der Mechanik I.Teil: Kine- 
tnatifc von Karl Heun. Geb. M.S. . 



38 Angewandte Potentialtheorie in ele- 
mentarer Behandlung I. Teil von 
E Gnmsehl. Geb M. o. 

40 Mathematische Optik von J. Classen. 
Geb M 6 -. 

41 Theorie der Elektrizitat und des 
Magnetismus I.Teil: Elektrostatik 
und Elektrokinetik von J. Classen. 
Geb MS. 

42 Theorie der ElekrHzitdt und des 
Magnetismus II. Teil: Magnetismus 
u. Elektromagnetismus von J Classen. 
Geb M 7. 

44 Allgemeine Theorie der Raumkurven 
und Fldchen U. Teil von Viktor Kom- 
merell und Karl Komrnerell 2 Aufl. 
deb M 5 80 

45 NIedere Analysis H. Teil: Funktionen, 
Potenzreihen, Gleichungen von Herm. 
Schubert 2 Aufl Geb. M. 4 80 

46 Thetafunktionen undhyperelliptische 
Funktionen v E Landtfnedt Geb.M.4.50. 

48 Thermodynamik II. Teil von W.Voigt 
Geb. M. 10 

49 Nichteuklidlsche Geometric von H. 
Liebmann 2. Aufl Geb M 7.50. 

51 Limengeometrie mit Anwendungen 
II. Teil von Konrad Zmdler. Geb. M 8 . 

54 Analytische Geomeirie auf der Kugel 
von Rich. Heger. Geb. M. 4 40. 

55 Gruppen- und Substitutionentheorie 
von Eugen Netto. Geb. M 5 20. 

56 Spezielle ebene Kurven von Hemnch 
Wieleitner. Geb. M.12 . 

57 Komplex-Symbolik v. Roland Weitzen- 
bock Geb. M 4.80. 

58 Theorie des Potentials u. der Kugel- 
funktionen I. Teil von A. Wangenn. 
Geb M 760. 

61 Elliptische Funktionen I. Teil : Theorie 
der elliptischen Integrate; Umkehr- 
problem von Karl Boehm. Geb. M. 6. 

62 Spezielle Flachen und Theorie der 
Stranlensysteme von Vikt. Kommerell 
und Karl Kommerell Geb. M. 6 . 

63 Geschichte der Mathematik H. Teil: 
Von Cartesms bis zur Wende des 
IS.Jahrhunderts I Halfie: Anthmetik, 
Algebra, Analysis von H. Wieleitner 
Gtb. M, 6.50 Der Schlufjband er- 
schfint Ende 1920 

65 Darstellende Geometric I. Teil von 
Theod Schmid 2 Aufl. Grb M.14. , 
Der Schlugband erschemt Ende 1920. 



Auf die Bande 3 und 65 gelangt ein Verleger-Teuerungszuschlag 
von 50/o, auf alle anderen ein solcher von 100/o zur Anrechnung 1 ," 



Date Due 



Demco 293-5 



Carnegie Institute of Technology 

Library 
Pittsburgh, Pa. 





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